أمثلة على أسئلة تناقش المتتابعات والمتسلسلات
المتتابعات والمتسلسلات مفاهيم أساسية في الرياضيات، تُدرس بكثرة من المرحلة الابتدائية وحتى الجامعة. المتتابعة هي مجموعة من الأعداد مرتبة وفق قاعدة محددة، بينما المتسلسلة هي مجموع حدود تلك المتتابعة. في هذه المقالة، سنناقش عدة أمثلة ونتناول المتتابعات والمتسلسلات.
مثال 1: المتتابعة الحسابية
سؤال:
بفرض وجود متتابعة حسابية حدها الأول (أ) = 3 وفرقها (د) = 5، حدد ما يلي:
1. الحد العاشر من المتتابعة.
2. مجموع أول 20 حدًا من المتتالية.
مناقشة:
الفصل الدراسي الخامس 1.
صيغة الحد النوني في المتتابعة الحسابية هي:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
بالنسبة للحد العاشر (U_10):
\[
U₁₀ = 3 + (10-1) × 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. مجموع الحدود الثمانية الأولى
صيغة مجموع أول n حد (S_n) من متتابعة حسابية هي:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
بالنسبة لمجموع أول 20 حدًا (S_20):
\[
S₂₀ = 20/2 (2 × 3 + (20 - 1) × 5) = 10 (6 + 95) = 10 × 10¹ = 10¹₀
\]
مثال 2: المتسلسلات الهندسية
سؤال:
بفرض وجود متتالية هندسية حدها الأول (أ) = 4 ونسبتها (ر) = 2، حدد ما يلي:
1. الحد العاشر من المتتابعة.
2. مجموع أول 8 حدًا من المتتالية.
مناقشة:
الفصل الدراسي الخامس 1.
صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية هي:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
بالنسبة للحد العاشر (U_6):
\[
U₆ = 4 × 2^(6-1) = 4 × 2⁵ = 4 × 3² = 128
\]
2. مجموع الحدود الثمانية الأولى
صيغة مجموع أول n حد (S_n) من متتالية هندسية هي:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
بالنسبة لمجموع أول 8 حدًا (S_8):
\[
S₈ = 4 (2⁸ - 1) / (2 - 1) = 4 (256 - 1) / (1) = 4 × 255 = 1020
\]
مثال 3: متسلسلة هندسية لانهائية متقاربة
سؤال:
إذا كانت لدينا متسلسلة هندسية حدها الأول (أ) = 1 ونسبتها (ر) = 1/2، فما هو مجموع المتسلسلة اللانهائية؟
مناقشة:
صيغة مجموع متسلسلة لانهائية (S_∞) لمتسلسلة هندسية متقاربة هي:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
لذا بالنسبة لهذه السلسلة:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
مثال 4: متتابعات ومتسلسلات الأعداد المربعة
سؤال:
بفرض وجود متتالية من الأعداد المربعة حدها الأول (U_1) = 1، وحدها الثاني (U_2) = 4، وحدها الثالث (U_3) = 9، حدد الحد الخامس لهذه المتتالية. هل هذه المتتالية حسابية أم هندسية؟ اشرح.
مناقشة:
الفصل الدراسي الخامس 1.
نمط متتالية الأعداد المربعة هو:
\[
U_n = n^2
\]
بالنسبة للحد العاشر (U_5):
\[
U₅ = 5² = 25
\]
2. نوع الخط
للتحقق مما إذا كانت هذه المتتالية حسابية أم هندسية، تحقق من الفرق بين الحدود (الفرق المشترك) والنسبة بين الحدود:
– الفرق بين المصطلحات (د):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
بما أن الفرق ليس ثابتًا، فإن هذه المتتالية ليست حسابية.
– نسبة القبائل (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
بما أن النسبة بين الحدود ليست ثابتة، فإن هذه المتتالية ليست هندسية.
إذن، فإن هذا التسلسل من الأعداد المربعة ليس تسلسلاً حسابياً ولا تسلسلاً هندسياً، بل هو تسلسل خاص يتبع نمط الأعداد المربعة.
مثال 5: متسلسلة حسابية لانهائية
سؤال:
هل من الممكن حساب مجموع متسلسلة حسابية لانهائية؟ إذا كان ذلك ممكناً، فأعطِ مثالاً. وإذا لم يكن ممكناً، فاشرح السبب.
مناقشة:
على عكس المتسلسلات الهندسية، فإن المتسلسلات الحسابية اللانهائية عادةً لا يكون لها مجموع نهائي. وذلك لأن كل حد يتزايد أو يتناقص خطيًا، وبالتالي يستمر المجموع في النمو إلى ما لا نهاية.
على سبيل المثال، لنفترض متسلسلة حسابية لانهائية حدها الأول يساوي 1 وفرقها المشترك يساوي 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + ...
\]
إذا حاولنا جمعها، يتضح أن المتسلسلة لن تتقارب إلى قيمة ثابتة، بل ستقترب من اللانهاية. لذلك، فإن مجموع متسلسلة حسابية لانهائية يكون، بشكل عام، لانهائيًا ولا يمكن حسابه مثل متسلسلة هندسية متقاربة.
-
في هذه المقالة، تناولنا العديد من الأمثلة العملية وناقشنا المتتابعات والمتسلسلات. استعرضنا المتتابعات الحسابية والهندسية، وتعرفنا على كيفية حساب الحد النوني ومجموع حدودها الأولى، وأجبنا على أسئلة حول المتسلسلات اللانهائية. نأمل أن يمنحك فهم هذه المفاهيم الأساسية والأمثلة مزيدًا من الثقة عند دراسة المتتابعات والمتسلسلات في الرياضيات.
