أسئلة نموذجية تناقش المتسلسلات الهندسية
المتتابعات الهندسية مفهوم أساسي في الرياضيات، يُدرَّس عادةً في المرحلة الثانوية. تتكون هذه المتتابعات من مجموعة من الأعداد، كل عدد منها هو حاصل ضرب العدد السابق له في ثابت يُعرف باسم "النسبة". ستتناول هذه المقالة عدة أمثلة ومناقشات حول المتتابعات الهندسية، بهدف مساعدة القراء على فهم هذا المفهوم بشكل أفضل.
فهم المتسلسلات الهندسية
المتتابعة الهندسية هي سلسلة من الأعداد تتكون من ضرب عدد أول (أ) بنسبة ثابتة (ر). وبشكل عام، يكون الشكل العام للمتتابعة الهندسية كما يلي:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
هنا:
- "أ" هو الحد الأول في المتتالية.
– "r" هي نسبة أحد الحدود إلى الحد السابق.
- "n" هو الحد النوني في المتتالية.
Contoh Soal dan Pembahasan
دعونا نناقش بعض الأمثلة لفهم المزيد عن المتتابعات الهندسية.
مثال على السؤال 1
سؤال:
بفرض وجود متتالية هندسية حدها الأول (أ) يساوي 3 ونسبتها (ر) تساوي 2، حدد ما يلي:
1. الحد العاشر من المتتابعة.
2. مجموع الحدود الستة الأولى من المتتالية.
مناقشة:
1. يمكن حساب الحد الخامس (U5) باستخدام صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية، وهي:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
بإدخال القيم a = 3 و r = 2 و n = 5 في الصيغة:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
إذن، الحد الثاني عشر من المتتالية هو 48.
2. يمكن حساب مجموع أول 6 حدود (S6) من متتالية هندسية باستخدام صيغة مجموع أول n حد، وهي:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
بإدخال القيم a = 3 و r = 2 و n = 6 في الصيغة:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
S_6 = 189
إذن، مجموع الحدود الستة الأولى من المتتالية هو 189.
مثال على السؤال 2
سؤال:
متتابعة هندسية حدها الثالث 27 وحدها الخامس 243. حدد قيمة الحد الأول (a) والنسبة (r).
مناقشة:
بفرض أن U3 = 27 و U5 = 243. باستخدام صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
للأطفال دون سن الخامسة:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
للأطفال دون سن الخامسة:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
بمقارنة المعادلتين (1) و(2) لاستبعاد a:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ أو } r = -3 \]
استبدل قيمة r في المعادلة (1):
إذا كانت قيمة r تساوي 3:
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
[27 = a ⋅ 9]
\[أ = 3 \]
إذا كانت قيمة r تساوي -3:
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
[27 = a ⋅ 9]
\[أ = 3 \]
إذن، الحد الأول (أ) هو 3، والنسبة (ر) يمكن أن تكون 3 أو -3.
مثال على السؤال 3
سؤال:
أوجد المجموع اللانهائي للمتسلسلة الهندسية التالية إذا كان الحد الأول (أ) يساوي 8 والنسبة (ر) تساوي 1/2.
مناقشة:
يمكن حساب المجموع اللانهائي للمتسلسلة الهندسية باستخدام الصيغة التالية:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
بإدخال a = 8 و r = 1/2 في الصيغة:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
إذن، المجموع اللانهائي للمتسلسلة الهندسية هو 16.
مثال على السؤال 4
سؤال:
متتابعة هندسية حدها الثاني 12 وحدها الرابع 108. حدد النسبة والحد الأول للمتتابعة.
مناقشة:
بفرض أن \( U_2 = 12 \) و \( U_4 = 108 \). باستخدام صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية:
لـ \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
لـ \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
بمقارنة المعادلتين (1) و(2) لاستبعاد a:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ أو } r = -3 \]
استبدل قيمة r في المعادلة (1):
إذا كانت قيمة r تساوي 3:
[12 = a ⋅ 3]
\[أ = 4 \]
إذا كانت قيمة r تساوي -3:
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
[أ = -4]
إذن، يمكن أن يكون الحد الأول (أ) 4 أو -4، ويمكن أن تكون النسبة (ر) 3 أو -3.
استنتاج
المتتابعات الهندسية مفهوم رياضي هام يُستخدم بكثرة في مجالات متنوعة. بفهم أساسياتها وممارسة مهارات حل المسائل، يُمكننا أن نُصبح أكثر كفاءة في فهم هذا المفهوم وتطبيقه. تتضمن هذه المقالة أمثلةً عديدةً ومناقشاتٍ لمساعدة القراء على فهم المتتابعات الهندسية بشكل أعمق. نأمل أن تكون هذه المقالة مفيدة!
