የቀረውን ቲዎሪ በሂሳብ ውስጥ መጠቀም
የቀረው ቲዎሪም በተለያዩ የሂሳብ ዘርፎች ውስጥ ቁልፍ ምሰሶ የሆነ የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳብ ሲሆን ይህም አልጀብራ፣ የቁጥር ቲዎሪ እና የተከፋፈለ ሂሳብን ያካትታል። ይህ ፅንሰ-ሀሳብ በአንደኛ ደረጃ ደረጃ ብቻ ሳይሆን በተራቀቀ የሂሳብ ጥናት እና ልማት ውስጥም ጉልህ አተገባበር አለው። ይህ ጽሑፍ የቀረውን ቲዎሪ በጥልቀት ይዳስሳል፣ ፍቺውን፣ አፕሊኬሽኖቹን እና በተለያዩ ሁኔታዎች ውስጥ እንዴት እንደሚሰራ ለመረዳት በርካታ ምሳሌዎችን ይሸፍናል።
የቀረውን ቲዎሪ መረዳት
የቀረው ቲዎሪ በፖሊኖሚያል አልጀብራ ውስጥ ቲዎሪ ነው። ይህ ቲዎሪ አንድ ፖሊኖሚያል \( P(x) \) በቢኖሚያል \( (x - c) \) ከተከፈለ፣ የቀረው \( P(c) \) ነው። ማለትም፣ ለፖሊኖሚያል \( P(x) \) \( P(x) \) በ \( x - c \) ከተካፈልን የሚከተለውን ቅጽ እናገኛለን፡
\[ P(x) = (x – c)Q(x) + R \]
የት \( Q(x) \) ፖሊኖሚያል ኩዊቲንት ሲሆን \( R \) ደግሞ የቀረው ነው። በቀሪው ቲዎሪ መሠረት \( R \) የፖሊኖሚያል ተግባር እሴት ሲሆን \( x = c \)፣ ወይም በሂሳብ ኖታ ውስጥ፡
\[ R = P(c) \]
የቀረው ቲዎሪ ማረጋገጫ
ይህንን ቲዎሪ በተሻለ ለመረዳት፣ በአጭሩ እናረጋግጥ። ፖሊኖሚያል \( P(x) \) እንዳለን እና በ \( (x - c) \) እንከፍለዋለን። ከዚያም የሚከተለውን መጻፍ እንችላለን፡
\[ P(x) = (x – c)Q(x) + R \]
የት \( R \) የክፍፍሉ ቀሪ ክፍል ነው። \( (x – c) \) የመጀመሪያ ዲግሪ ቢኖሚያል ስለሆነ፣ የቀረው \( R \) ቋሚ መሆን አለበት (ምክንያቱም የቀረው ደረጃ ከፋፋይ ደረጃ ያነሰ መሆን አለበት)። እንተካ \( x = c \):
\[ P(c) = (c – c)Q(c) + R \]
\[ P(c) = 0 \cdot Q(c) + R \]
\[ P(c) = R \]
ስለዚህ፣ የቀረው \( R \) ከ \( P(c) \) ጋር እኩል መሆኑን ተረጋግጧል።
የቀረውን ቲዎሪ የመጠቀም ምሳሌ
የቀረውን ቲዎሪ ተግባራዊነቱን ለመረዳት ተጨባጭ ምሳሌ እንመልከት።
ምሳሌ 1፡
ፖሊኖሚያል እንዳለን እንበል። \( P(x) = x^3 – 4x^2 + 6x – 24 \)። ይህንን ፖሊኖሚያል በ \( x – 2 \) መከፋፈል እንፈልጋለን።
የመጀመሪያው እርምጃ የ \( P(2) \) እሴት ማግኘት ነው፡
\[ P(2) = 2^3 – 4 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 – 24 \]
\[ P(2) = 8 – 16 + 12 – 24 \]
\[ P(2) = -20 \]
ስለዚህ፣ \( P(x) \) በ \(x – 2 \) መከፋፈል የቀረው -20 ነው።
ምሳሌ 2፡
ፖሊኖሚያል እንዳለን እንበል። \( P(x) = 2x^4 + 3x^3 – x + 5 \)። ይህንን ፖሊኖሚያል በ \( x + 1 \) መከፋፈል እንፈልጋለን።
የመጀመሪያው እርምጃ የ \( P(-1) \) እሴት ማግኘት ነው፡
\[ P(-1) = 2(-1)^4 + 3(-1)^3 – (-1) + 5 \]
\[ P(-1) = 2(1) + 3(-1) + 1 + 5 \]
\[ P(-1) = 2 – 3 + 1 + 5 \]
\[ P(-1) = 5 \]
ስለዚህ፣ \( P(x) \) በ \(x + 1 \) መከፋፈል የቀረው 5 ነው።
የሪዘንድ ቲዎሪ አተገባበር
የተቀረው ቲዎሪ በተለያዩ የሂሳብ ዘርፎች ብዙ አፕሊኬሽኖች አሉት። ከዋና ዋናዎቹ አፕሊኬሽኖች መካከል የሚከተሉት ይገኙበታል፡
1. ፖሊኖሚያል ምክንያቶች፡
\( P(c) = 0 \) ከሆነ፣ \( x – c \) የ \( P(x) \) ፋክተር ነው። ይህ ትላልቅ እና የበለጠ ውስብስብ ፖሊኖሚያሎችን በማካተት ረገድ ይረዳል።
2. የፖሊኖሚያል ግምገማ፡
የቀረውን ቲዎሪ በመጠቀም፣ ረጅም ክፍፍል ሳናደርግ በአንድ የተወሰነ ነጥብ ላይ የአንድ ፖሊኖሚያል ዋጋ በፍጥነት መገምገም እንችላለን።
3. የቅናሽ ስልተ-ቀመር፡
በቁጥር ቲዎሪ እና ስልተ ቀመሮች፣ የቀረው ቲዎሪ ቀሪዎችን በፍጥነት ለማግኘት ጥቅም ላይ ይውላል፣ ይህም በሞዱላር መቀነስ እና ትላልቅ ቁጥሮችን በሚያካትቱ ስሌቶች ውስጥ ጠቃሚ ነው።
4. የስር ሙከራ፡
ይህ ቲዎሪ የፖሊኖሚያሎችን ሥሮች ለመፈተሽ ጥቅም ላይ ይውላል፣ ይህም በሳይንሳዊ ኮምፒውቲንግ ውስጥ የበርካታ የቁጥር ስልተ ቀመሮች መሠረት ነው።
የቻይና ቀሪ ቲዎሪ
ከፖሊኖሚያሎች አውድ ውስጥ ከተቀረው ቲዎሪ በተጨማሪ፣ በቁጥር ቲዎሪ ውስጥ ሰፊ አተገባበር ያለው “የቻይና ቀሪ ቲዎሪ”ም አለ።
አንዳንድ የተኳኋኝነት እኩልታዎች አሉን እንበል፦
\[ x \equiv a_1 \ (\text{mod} \n_1) \]
\[ x \equiv a_2 \ (\text{mod} \n_2) \]
\[ \vdots \]
\[ x \equiv a_k \ (\text{mod} \n_k) \]
\(n_1፣ n_2፣ \ldots፣ n_k \) ሁለት እጥፍ የኮፕሪም ቁጥሮች (ከ1 በስተቀር ምንም የጋራ ምክንያቶች የሌሏቸው ጥንድ ቁጥሮች) ሲሆኑ፣ የቻይናው የቀሪ ቲዎሪም ልዩ የሆነ የመፍትሄ ሞዱሎ \(N \) መኖሩን ያረጋግጣል፣ \(N \) የ\(n_1፣ n_2፣ \ldots፣ n_k \) ውጤት ነው።
የቻይና ቀሪ ቲዎሪ አጠቃቀም ምሳሌዎች
የሚከተለው የኮንግሩኔሽን ስርዓት አለን እንበል፡
\[ x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 3) \]
\[ x \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5) \]
\[ x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 7) \]
እነዚህን ሁሉ እኩልታዎች የሚያሟላ የx እሴት ማግኘት አለብን። 3፣ 5 እና 7 ኮፕራይም ስለሆኑ፣ የቻይና ቀሪ ቲዎሪ መጠቀም እንችላለን።
የመጀመሪያው እርምጃ \(N \) ማስላት ነው፡
\[ N = 3 \ ጊዜ 5 \ ጊዜ 7 = 105 \]
ሁለተኛው እርምጃ ለእያንዳንዱ ሞጁሊ \(N_i \) ማስላት ነው፡
\[ N_1 = \frac{N}{3} = 35 \]
\[ N_2 = \frac{N}{5} = 21 \]
\[ N_3 = \frac{N}{7} = 15 \]
ሦስተኛው እርምጃ የ \(N_i \) ሞዱሎ ተዛማጅ ሞዱሊን ማባዛት ተገላቢጦሽ ማግኘት ነው፡
\[ 35x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3) \implices x = 2 \]
\[ 21x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5) \implices x = 1 \]
\[ 15x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \implices x = 1 \]
ከዚያም ሁሉንም ነገር አንድ ላይ አስቀምጥ፦
\[ x = a_1N_1x_1 + a_2N_2x_2 + a_3N_3x_3 \]
\[ x = 2 \cdot 35 \cdot 2 + 3 \cdot 21 \cdot 1 + 2 \cdot 15 \cdot 1 \]
\[ x = 140 + 63 + 30 = 233 \]
በመጨረሻም፣ ሞዱሎ ኤን እንወስዳለን፡
\[ x \equiv 233 \ (\text{mod} \ 105) \]
\[ x = 233 – 2 \cdot 105 \]
\[ x = 23 \]
ስለዚህ የውህደት ስርዓቱ መፍትሄ \( x = 23 \) ነው።
ከሲምፑላን
የቀረው ቲዎሪ በአልጀብራ እና በቁጥር ቲዎሪ ውስጥ ኃይለኛ እና ሁለገብ መሳሪያ ነው። በጥሩ ግንዛቤ ውስብስብ ስሌቶችን ማፋጠን እና በሂሳብ ውስጥ ለተጨማሪ ትንተና መንገድ ሊጠርግ ይችላል። አፕሊኬሽኖቹ በቻይና የቀሪ ቲዎሪ ውስጥ እንደሚታየው ፖሊኖሚያል ግምገማ፣ ፋክተራይዜሽን፣ የኢንቲጀር ስልተ ቀመሮችን እና የኮንግሩንስ ስርዓቶችን መፍታትን ያካትታሉ። ይህንን ቲዎሪ በማጥናት የተለያዩ የሂሳብ ችግሮችን በብቃት እና በብቃት የመፍታት ችሎታችንን ማሻሻል እንችላለን።
