Voorbeeldvrae oor variansie en standaardafwyking van groepdata
Inleiding
In statistiek is variansie en standaardafwyking twee statistiese maatstawwe wat noodsaaklik is om die verspreiding, of verspreiding, van data vanaf die gemiddelde te verstaan. Variansie meet hoe ver die data vanaf die gemiddelde versprei is, terwyl standaardafwyking die vierkantswortel van die variansie is, wat 'n maatstaf bied wat in dieselfde eenhede as die oorspronklike data is.
Definisie
– Variansie (σ² of S²): Is die gemiddelde van die kwadrate van die verskille tussen elke datawaarde en die gemiddelde van die data.
– Standaardafwyking (σ of S): Is die vierkantswortel van die variansie.
Formule vir Variansie en Standaardafwyking van Groepdata
Vir groepdata gebruik ons die frekwensie van die data in elke klas. Hier is die formule:
Varian
[ S^2 = \frac{ \som f_i \linkerkant ( x_i – \bar{x} \regs)^2 }{ N-1 } \]
Standaardafwyking
[S = \sqrt{S^2} \]
Waar:
– \( f_i \) = frekwensie van elke klas.
– \(x_i \) = middelpunt van elke klas.
– \( \bar{x} \) = die gemiddelde van die groepdata.
– \(N \) = totale aantal data.
Voorbeeldvrae en bespreking
Neem aan dat ons gewigsdata het vir 'n groep mense wat in klasse gegroepeer is.
| Gewigsinterval (kg) | Frekwensie (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Die eerste stap is om die middelpunt van elke klas (\(x_i \)) te bepaal en dan die gemiddelde (\(\bar{x} \)) te bereken.
1. Berekening van die middelpunt (\(x_i\))
\[ \tex{Middelpunt} = \frac{\tex{Ondergrens} + \tex{Boongrens}}{2} \]
| Gewigsinterval (kg) | Frekwensie (f) | Middelpunt (\(x_i\)) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Berekening van die gemiddelde (\( \bar{x} \)\)
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Totale aantal data \( N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
[\sum f_i x_i = (2 x 52) + (5 x 57) + (8 x 62) + (7 x 67) + (3 x 72)]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
So, die gemiddelde (\( \bar{x} \)):
[\bar{x} = \frac{ 1570 }{25 } = 62.8 \]
3. Berekening van Variansie (\(S^2\))
Ons moet \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) bereken:
\[
\begin{belyn}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{belyn}
\]
Vermenigvuldiging met frekwensie:
\[
\begin{belyn}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 keer 33.64 = 168.2
& 8 keer 0.64 = 5.12
& 7 keer 17.64 = 123.48
& 3 keer 84.64 = 253.92
\end{belyn}
\]
\[
∫som f_i(x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Nou kan ons die variansie (\( S^2 \)) bereken:
[S^2 = \frac{788.4}{25 – 1} = \frac{788.4}{24} \ongeveer 32.85 \]
4. Berekening van standaardafwyking (\(S\))
Standaardafwyking (\(S\)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
[S = 32.85 = ongeveer 5.73]
Afsluiting
Uit die voorbeelddata hierbo het ons:
– Berekening van die gemiddelde liggaamsgewig: 62.8 kg
– Berekening van variansie: 32.85 kg²
– Berekening van die standaardafwyking: 5.73 kg
Die interpretasie van die standaardafwyking is dat die gemiddelde afwyking van die gewigsdata van die gemiddelde ongeveer 5.73 kg is. Dit dui die verspreiding van die data relatief tot die gemiddelde aan, wat kan help om af te lei hoe veranderlik ons data is.
'n Deeglike begrip van variansie en standaardafwyking is noodsaaklik, veral vir diegene wat in statistiek, navorsing en toetsing werk, aangesien hulle probeer om data in die vorm van groepe of verspreidings te verstaan. Om te weet hoe om hierdie twee maatstawwe te bereken en te interpreteer, kan help met beter besluitneming gebaseer op die beskikbare data.
