Voorbeeldvrae en bespreking van die toepassing van integrale in die berekening van die oppervlakte van 'n plat vlak
In wiskunde-onderrig word integrale dikwels in kalkulus teëgekom. Een van die bekendste toepassings van integrale is die berekening van die area onder 'n kromme of vlak. Hierdie artikel sal verskeie voorbeeldprobleme bespreek en die toepassing van integrale op die berekening van die area van 'n vlak bespreek.
Inleiding tot Teorie
Voordat ons aanbeweeg na die voorbeeldprobleem, kom ons kyk na die basiese konsep van die berekening van die area onder 'n kromme met behulp van integrale. As ons 'n funksie f(x) het wat kontinu is op die interval [a, b], dan is die area onder die kromme y = f(x) van x = a tot x = b:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometries beteken dit dat ons die oppervlakte van 'n baie dun reghoek van x = a tot x = b optel.
Voorbeeldvraag 1
Vraag
Bereken die area onder die kromme y = x² in die interval [1, 3].
Bespreking
Om die oppervlakte te bereken, gebruik ons die integraal:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Ons begin deur die anti-afgeleide van \(x^2 \) te vind. Die anti-afgeleide van \(x^2 \) is \( \frac{x^3}{3} \). Dan word die integraal:
\[ L = \links[ \frac{x^3}{3} \regs]_{1}^{3} \]
Onthou dat ons die anti-afgeleide op die limiete van die integraal moet evalueer:
[L = (3^3}{3) – (1^3}{3)]
[L = (27/3) – (1/3)]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Dus, die area onder die kurwe y = x² van x = 1 tot x = 3 is:
\[ \frac{26}{3} \, \text{oppervlakte-eenheid} \]
Voorbeeldvraag 2
Vraag
Bepaal die oppervlakte van die gebied wat begrens word deur die kromme y = x³ en die lyne x = 1 en x = 2.
Bespreking
Om die oppervlakte te bereken, gebruik ons die integraal:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Soos gewoonlik begin ons deur die anti-afgeleide van \(x^3 \) te vind. Die anti-afgeleide van \(x^3 \) is \( \frac{x^4}{4} \). Die integraal word:
\[ L = \links[ \frac{x^4}{4} \regs]_{1}^{2} \]
Evalueer die limiete van die integraal:
[L = (2^4}{4) – (1^4}{4)]
[L = (16/4) – (1/4)]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Dus, die area onder die kurwe y = x³ van x = 1 tot x = 2 is:
\[ \frac{15}{4} \, \text{oppervlakte-eenheid} \]
Voorbeeldvraag 3
Vraag
Bepaal die oppervlakte van die gebied wat begrens word deur die krommes y = x² + 1 en y = 2x + 2 in die interval x = 0 tot x = 1.
Bespreking
Eerstens moet ons die snypunte vind om die limiete van die integrasie te bepaal. Die oplossing vir \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Deur die kwadratiese formule te gebruik:
[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 pm \sqrt{2} \]
Vir die boonste en onderste limiete tussen 0 en 1 hoef ons egter nie die kwadratiese oplossing te gebruik nie, net die gewone integraallimiet van 0 tot 1. Bereken vervolgens die oppervlakte van die boonste y-kromme minus die onderste y-kromme volgens hierdie limiete:
[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funksievereenvoudiging:
[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Volgende vind ons die anti-afgeleide:
Die anti-afgeleide van (-x²) is (-x³}{3).
Die anti-afgeleide van (2x) is (x^2).
Die anti-afgeleide van (1) is (x).
Sodat,
[L = \links. \links(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \regs) \regs|_0^1 \]
Volgende evaluering:
\[ L = \links[\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \regs] – \links[\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \regs] \]
\[ L = \links[\frac{1}{3} + 1 + 1 \regs] – \links[ 0 \regs] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Dus, die oppervlakte van die gebied wat begrens word deur die krommes y = x² + 1 en y = 2x + 2 op die interval [0, 1] is:
\[ \frac{5}{3} \, \text{oppervlakte-eenheid} \]
-
Uit die voorbeelde hierbo kan ons sien hoe integrale gebruik kan word om die area onder 'n kromme of tussen twee krommes te bereken. Met 'n behoorlike begrip van die basiese konsepte van integrale en anti-afgeleide tegnieke, word die berekening van hierdie areas baie sistematies en doeltreffend. Hopelik het hierdie artikel ons begrip van die toepassing van integrale in die werklike wêreld verhoog, veral op die gebied van die meting van die area van vlak oppervlaktes.
