Voorbeeldvrae en bespreking van produkmomentkorrelasie
Produk-Moment Korrelasie, ook bekend as Pearson Korrelasie, is 'n statistiese metode wat gebruik word om die sterkte en rigting van 'n lineêre verband tussen twee veranderlikes te meet. Hierdie metode is nuttig in verskeie velde, van akademiese navorsing en besigheidsanalise tot die evaluering van eksperimente in die natuurwetenskappe. Hierdie artikel sal verskeie voorbeeldprobleme en hul oplossings vir die berekening van Produk-Moment Korrelasie bespreek.
Inleiding
Voordat ons met die voorbeeldvrae begin, is dit 'n goeie idee om die basiese konsep van Produkmomentkorrelasie te verstaan. Die algemene formule wat gebruik word om die Pearson-korrelasiekoëffisiënt (\(r\)) te bereken, is:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \(n \) is die aantal datapare.
– \( \sum{XY} \) is die som van die produkte van \( X \) en \( Y \).
– \( \sum{X} \) is die som van die veranderlikes \( X \).
– \( \sum{Y} \) is die som van die veranderlikes \(Y \).
– \( \sum{X^2} \) is die som van die kwadrate van die veranderlike \(X \).
– \( \sum{Y^2} \) is die som van die kwadrate van die veranderlike \(Y \).
Pearson se korrelasiekoëffisiënt (\(r \)) is altyd tussen -1 en 1. 'n Positiewe korrelasie dui aan dat beide veranderlikes in dieselfde rigting beweeg, terwyl 'n negatiewe korrelasie aandui dat soos een veranderlike toeneem, die ander afneem. As \(r = 0 \), dan is daar geen lineêre korrelasie tussen die twee veranderlikes nie.
Voorbeeldvraag 1
data
Die volgende is die wiskunde- en fisika-eksamenpuntdata vir 5 studente:
| Student | Wiskunde (X) | Fisika (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Stappe om op te los
1. Berekening van belangrike komponente:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– (\sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Voer die volgende in die formule in:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Berekening van resultate:
– Teller: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Noemer:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \ongeveer \sqrt{976856} \ongeveer 989.36 \)
[r = \frac{626}{989.36} \ongefeer 0.633 \]
Dus is die Pearson-korrelasiekoëffisiënt tussen die wiskunde- en fisika-toetspunte 0.633, wat aandui dat daar 'n matige positiewe korrelasie tussen die twee veranderlikes is.
Voorbeeldvraag 2
data
Die volgende is data oor verkoopswaarde en advertensie-uitgawes oor 6 maande by 'n maatskappy:
| Maand | Advertensies (X) | Verkope (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Stappe om op te los
1. Berekening van belangrike komponente:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000 \2500) + (1800 \2100) + (2200 \2700) + (2400 \2900) + (2300 \3000) + (2500 \3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Voer die volgende in die formule in:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Berekening van resultate:
– Teller: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Noemer:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \ongeveer \sqrt{9343200000000} \ongeveer 3056246.20 \)
[r = \frac{3000000}{3056246.20} \ongefeer 0.981 \]
Dus is die Pearson-korrelasiekoëffisiënt tussen advertensie-uitgawes en verkoopswaarde 0.981, wat aandui dat daar 'n baie sterk positiewe korrelasie tussen die twee veranderlikes is.
Afsluiting
Die Pearson-korrelasiekoëffisiënt (\(r\)) is 'n baie nuttige hulpmiddel om die lineêre verband tussen twee veranderlikes te verstaan. In die voorbeelde wat verskaf word, sien ons hoe om die \(r\)-waarde te bereken en te interpreteer. 'n Hoër korrelasie (nader aan 1 of -1) dui op 'n sterker verband, terwyl 'n laer korrelasie (nader aan 0) 'n swakker verband aandui. Dit is belangrik om daarop te let dat korrelasie nie oorsaaklikheid impliseer nie; dit dui bloot aan dat daar 'n verband tussen die twee veranderlikes is.
