Voorbeeld van 'n besprekingsvraag oor normale verspreiding
Die normale verspreiding, ook bekend as die Gaussiese verspreiding, is die mees gebruikte waarskynlikheidsverspreiding in statistiek. Hierdie verspreiding het 'n simmetriese klokvorm, wat aandui dat die data rondom die gemiddelde gerangskik is en die waarskynlikheid van uiterstes (waardes ver van die gemiddelde) laag is.
In hierdie artikel sal ons verskeie voorbeeldprobleme wat die normale verspreiding behels, bespreek en hoe om dit op te los. Ons sal begin deur 'n paar basiese konsepte bekend te stel en dan aanbeweeg na meer komplekse voorbeelde.
Basiese beginsels van normale verspreiding
Die normale verspreiding is 'n kontinue verspreiding met twee parameters: die gemiddelde en die standaardafwyking (SA). Die gemiddelde bepaal die middelpunt van die verspreiding, terwyl die standaardafwyking die breedte van die verspreiding bepaal.
Belangrike eienskappe van die normale verspreiding:
1. Simmetrie: Die normale verspreiding is simmetries om die gemiddelde.
2. Empiriese Reël (Empiriese Reël):
– Ongeveer 68% van die data lê binne een standaardafwyking van die gemiddelde.
– Ongeveer 95% van die data lê binne twee standaardafwykings van die gemiddelde.
– Ongeveer 99.7% van die data lê binne drie standaardafwykings van die gemiddelde.
Voorbeeldvrae en bespreking
Voorbeeldvraag 1: Berekening van die Z-telling
Vraag: 'n Eksamen het 'n gemiddelde telling van 70 met 'n standaardafwyking van 10. 'n Student kry 'n telling van 80. Wat is die student se Z-telling?
Oplossing:
Die Z-telling is 'n maatstaf van hoeveel standaardafwykings 'n waarde van die gemiddelde is.
Z-telling formule:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Dimana:
– \(X \) is die waargenome waarde.
– \( \mu \) is die gemiddelde.
– \( \sigma \) is die standaardafwyking.
Dit is bekend:
– \(X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Toepassing van die formule:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Dus, die student se Z-telling is 1, wat beteken dat 'n telling van 80 een standaardafwyking bo die gemiddelde is.
Voorbeeldvraag 2: Waarskynlikheid van 'n Sekere Waarde
Vraag: In 'n normale verspreiding met 'n gemiddelde van 100 en 'n standaardafwyking van 15, wat is die waarskynlikheid om 'n waarde onder 85 te vind?
Oplossing:
Die stappe:
1. Bereken die Z-telling vir die waarde \( X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Gebruik 'n Z-tabel of statistiese sakrekenaar om die waarskynlikheid te vind wat ooreenstem met 'n Z-telling van -1. In 'n Z-tabel is die waarskynlikheid van 'n Z-telling van -1 ongeveer 0.1587.
Dus, die waarskynlikheid om 'n waarde onder 85 te vind, is 0.1587 of 15.87%.
Voorbeeldvraag 3: Gebruik van Empiriese Reëls
Vraag: Dit is bekend dat die verspreiding van wiskundetoetspunte in skole 'n normale verspreiding volg met 'n gemiddelde van 75 en 'n standaardafwyking van 8. Watter proporsie studente het tussen 67 en 83 punte behaal?
Oplossing:
Langkah-langkah:
1. Bereken die Z-telling vir die waardes 67 en 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Volgens empiriese reëls dek waardes tussen -1 SD en +1 SD van die gemiddelde ongeveer 68% van die populasie.
Dus, die persentasie studente wat tussen 67 en 83 behaal het, was ongeveer 68%.
Voorbeeldvraag 4: Berekening van waardes vanaf persentiele
Vraag: As die gemiddelde lengte van volwasse mans in 'n land 175 cm is met 'n standaardafwyking van 7 cm, watter lengte is by die 90ste persentiel?
Oplossing:
Langkah-langkah:
1. Vind die Z-telling wat ooreenstem met die 90ste persentiel. Gebaseer op die Z-tabel, is die Z-telling naaste aan 0.9000 ongeveer 1.28.
2. Gebruik die formule om die waarde van \(X \) te bereken:
[X = µm + Z × sigma]
[X = 175 + 1.28 × 7]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
So, die hoogte in die 90ste persentiel is ongeveer 183.96 cm.
Voorbeeldvraag 5: Waarskynlikheid van 'n Sekere Interval
Vraag: Aangesien die verspreiding van pasgeborene se gewigte 'n normale verspreiding volg met 'n gemiddelde van 3.5 kg en 'n standaardafwyking van 0.5 kg, wat is die waarskynlikheid dat 'n baba tussen 3 kg en 4 kg weeg?
Oplossing:
Langkah-langkah:
1. Bereken die Z-telling vir die waardes 3 kg en 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Die waarskynlikheid vir 'n Z-telling tussen -1 en 1 gebaseer op die Z-tabel is ongeveer 0.6826 of 68.26%.
Dus, die waarskynlikheid van 'n baba wat tussen 3 kg en 4 kg weeg, is ongeveer 68.26%.
Afsluiting
Die normale verspreiding is 'n fundamentele konsep in statistiek wat van kardinale belang is en baie werklike toepassings het. In hierdie artikel het ons die basiese konsepte van die normale verspreiding verduidelik en verskeie voorbeelde opgelos om ons begrip te verdiep.
Om die normale verspreiding te verstaan is nie net belangrik vir statistiek nie, maar ook vir verskeie praktiese velde soos sielkunde, ekonomie en ander sosiale wetenskappe. Met genoeg oefening kan die oplos van normale verspreidingsprobleme meer intuïtief word en datagedrewe besluitneming bevorder.
