Voorbeeldvrae oor rekenkundige reekse
Rekenkundige rye is 'n fundamentele konsep in wiskunde wat gereeld in verskeie probleme voorkom, beide in hoërskool en hoër onderwys. Hierdie konsep behels 'n ry getalle waar elke term die resultaat is van die optel of aftrek van 'n konstante getal van die vorige term. In hierdie artikel sal ons verskeie voorbeeldprobleme en hul oplossings bespreek om die konsep van rekenkundige rye verder te verstaan.
Verstaan rekenkundige reekse
'n Rekenkundige reeks is 'n reeks wat 'n konstante verskil (verskil) tussen twee opeenvolgende terme het. Byvoorbeeld, as 'n rekenkundige reeks die eerste term _(a) en die verskil _(d) het, dan kan die terme soos volg geskryf word:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
As ons die nde term van hierdie reeks wil vind, is die formule vir die nde term (\(U_n\)):
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Intussen kan die som van die eerste n terme van 'n rekenkundige reeks (\(S_n\)) bereken word met behulp van die formule:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Voorbeeldvrae en bespreking
Voorbeeldvraag 1
Vraag: Gegewe 'n rekenkundige reeks met die eerste term _(a = 5)_ en die gemene verskil _(d = 3)_. Vind die 10de term van die reeks.
Bespreking:
Om die 10de term (\(U_{10}\)) te vind, kan ons die nde termformule gebruik:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 ⋅ 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
So, die 10de term van die reeks is 32.
Voorbeeldvraag 2
Vraag: Vind die som van die eerste 15 terme van die rekenkundige reeks waarvan die eerste term _(a = 4)_ is en die gemene verskil _(d = 7)_ is.
Bespreking:
Om die som van die eerste 15 terme (\(S_{15}\)) te vind, kan ons die formule vir die som van die eerste n terme gebruik:
[S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
[S_{15} = 15/2 (2 ⋅ 4 + 14 ⋅ 7)]
[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
[S_{15} = 15 ⋅ 53]
\[ S_{15} = 795 \]
Dus, die som van die eerste 15 terme van die reeks is 795.
Voorbeeldvraag 3
Vraag: Dit is bekend dat die 5de term van 'n rekenkundige reeks 20 is en die 12de term 48. Vind die eerste term (\(a\)) en die gemene verskil (\(d\)) van die reeks.
Bespreking:
Uit die gegewe voorwaardes:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Ons het twee lineêre vergelykings met twee veranderlikes wat ons kan oplos:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Vanuit vergelyking 1 kan ons \(a\) uitdruk in terme van \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Nou vervang ons \(a\) in vergelyking 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[7d = 28 \]
\[d = 4 \]
Nou vervang ons die waarde van \(d\) in die vergelyking \(a = 20 – 4d\):
[a = 20 – 4 ⋅ 4]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
So, die eerste term van die reeks is 4 en die gemene verskil is 4.
Voorbeeldvraag 4
Vraag: Hoeveel terme word benodig vir 'n rekenkundige reeks met die eerste term _(a = 2_) en die gemene verskil _(d = 5_) om tot 200 op te som?
Bespreking:
In hierdie geval moet ons die som van die eerste n terme (\(S_n\)) vind wat gelyk is aan 200. Gebruik die formule vir die som van die eerste n terme:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Vervang die waardes van \(a\) en \(d\):
[\frac{n}{2} (2 ⋅2 + (n-1) ⋅5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Dit is 'n kwadratiese vergelyking. Om dit op te los, verander ons die vorm daarvan:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Gebruik die kwadratiese formule \(ax^2 + bx + c = 0\):
[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
In hierdie geval (a = 5), (b = -1) en (c = -400):
[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Die waarde van 8001 is naby 89.42, dan:
[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Ons neem die positiewe waardes:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \ongefeer \frac{90.42}{10} \]
\[ n \ongeveer 9.042 \]
So, die aantal terme wat benodig word, is 9 terme (indien afgerond).
Afsluiting
Rekenkundige rye is 'n belangrike onderwerp in wiskunde. 'n Deeglike begrip van die eerste term, gemene verskil, nde term en som van die eerste n terme is van onskatbare waarde vir die oplossing van 'n wye verskeidenheid probleme. Deur die voorbeelde en besprekings hierbo te gebruik, word gehoop dat lesers 'n beter begrip van die basiese konsepte van rekenkundige rye sal kry.
