Voorbeeldvrae oor rekenkundige rye
Rekenkundige rye is 'n fundamentele konsep in wiskunde wat gereeld in verskeie eksamens en werklike toepassings voorkom. 'n Rekenkundige ry is 'n reeks getalle met 'n konstante verskil tussen elke twee opeenvolgende terme. In hierdie artikel sal ons die konsep van rekenkundige rye in meer diepte ondersoek deur middel van verskeie voorbeeldprobleme, vergesel van omvattende verduidelikings.
Definisies en Notasies
Voordat ons by die voorbeeldprobleme ingaan, is dit belangrik om die notasie te verstaan wat dikwels in rekenkundige rye gebruik word. As \(a\) die eerste term is en \(d\) die gemene verskil (konstante verskil) is, dan kan die rekenkundige ry geskryf word as:
[a, a+d, a+2d, a+3d, ∫, a+(n-1)d]
Die nde term (Un) van hierdie reeks kan geformuleer word as:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Die volgende is 'n paar voorbeeldvrae en hul besprekings om dit makliker te maak om rekenkundige rye te verstaan.
Voorbeeldvraag 1
Vraag:
Gegewe 'n rekenkundige ry met die eerste term _(a = 5)_ en die gemene verskil _(d = 3)_. Bepaal die 10de term van die ry.
Bespreking:
Deur die algemene formule vir die nde term te gebruik, naamlik \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) ≥ 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
So, die 10de term van die ry is 32.
Voorbeeldvraag 2
Vraag:
Gegee 'n rekenkundige ry met die vyfde term 20 en die agtste term 35. Bepaal die eerste term \(a\) en die gemene verskil \(d\) van die ry.
Bespreking:
Uit die vraag weet ons:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Trek beide vergelykings af om \(a\) uit te skakel:
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[3d = 15 \]
\[d = 5 \]
Nou vervang ons \(d = 5\) om \(a\) te vind:
[a + 4 ≈ 5 = 20]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
So, die eerste term van die ry is 0 en die verskil is 5.
Voorbeeldvraag 3
Vraag:
Wat is die som van die eerste 20 terme van 'n rekenkundige ry waarvan die eerste term _(a = 2)_ en die gemene verskil _(d = 4)_ is?
Bespreking:
Die som van die eerste n terme van 'n rekenkundige ry kan bereken word met behulp van die formule:
[S_n = \frac{n}{2} \linker(2a + (n-1)d \regs) \]
Vir hierdie lyn:
[S_{20} = \frac{20}{2} \links(2 ⋅2 + (20-1) \cdot 4 \regs) \]
\[ S_{20} = 10 \links( 4 + 76 \regs) \]
[S_{20} = 10 ⋅ 80]
\[ S_{20} = 800 \]
Dus, die som van die eerste 20 terme van die ry is 800.
Voorbeeldvraag 4
Vraag:
Die derde term van 'n rekenkundige ry is 15 en die sewende term is 27. Vind die 12de term van die ry.
Bespreking:
Eerstens moet ons die waardes \(a\) en \(d\) vind. Uit die vraag weet ons:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Trek beide vergelykings af om \(a\) uit te skakel:
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[4d = 12 \]
\[d = 3 \]
Nou vervang ons \(d = 3\) om \(a\) te vind:
[a + 2 ≈ 3 = 15]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Gebruik die nde termformule om die 12de term te vind:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
So, die 12de term van die ry is 42.
Voorbeeldvraag 5
Vraag:
'n Rekenkundige ry met eerste term \(a\) en gemene verskil \(d\) het 'n som van die eerste 10 terme, naamlik 55. As \(d = 1\), bepaal die eerste term \(a\).
Bespreking:
Gegewe \(d = 1\) en \(S_{10} = 55\). Gebruik die formule vir die som van die eerste terme:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Vir n = 10:
[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
So, die eerste term van die ry is 1.
Afsluiting
Rekenkundige rye is 'n fundamentele konsep in wiskunde wat uiters nuttig is in verskeie velde. In hierdie artikel het ons verskeie voorbeelde van rekenkundige rye en hul oplossings bespreek. 'n Goeie begrip van die formules en basiese eienskappe van rekenkundige rye sal baie nuttig wees om verskeie tipes probleme wat met hierdie onderwerp verband hou, op te los.
Deur voorbeelde soos die bogenoemde te oefen, word gehoop dat jy meer bekwaam en vinniger sal word in die oplos van probleme wat rekenkundige rye behels.
