Bernoulli se Beginsel en Vergelykingsmateriaal
Wanneer ons redelik vinnig motorfiets ry, blaas die klere wat ons dra agter op. As jy nog nie motorfiets kan ry nie, let op jou ouers of vriende wat motorfietse ry. Die agterkant van hul klere blaas gewoonlik agter op wanneer die motorfiets vinnig ry. Soms wanneer die wind hard waai, kan die huisdeur vanself toemaak. Al waai die wind buite die huis, terwyl die deur binne die huis is.
Dit kan verduidelik word met behulp van Bernoulli se beginsel. Daniel Bernoulli (1700–1782) het 'n beginsel ontdek wat gebruik kan word om sommige van die bogenoemde dinge te verduidelik.
Bernoulli se Beginsel
Bernoulli se beginsel bepaal dat waar die vloeistofvloeisnelheid hoog is, die vloeistofdruk laag is. Omgekeerd, as die vloeistofvloeisnelheid laag is, word die druk hoog. Wanneer 'n motorfiets vinnig beweeg, is die lugsnelheid voor en langs jou liggaam hoog. Dus word die lugdruk laag. Die agterkant van jou liggaam word geblokkeer deur die voorkant van jou liggaam, dus verander die lugsnelheid agter jou liggaam nie na hoog nie (reg agter jou liggaam). Gevolglik word die lugdruk agter jou liggaam groter. Omdat daar 'n verskil in lugdruk is, waar die lugdruk reg agter jou liggaam groter is, stoot die lug jou hemp agtertoe, wat dit laat lyk asof dit agter uitgepof is.
Wat van 'n deur wat vanself toemaak wanneer die wind hard buite waai? Die lug buite beweeg vinniger as die lug binne. Gevolglik is die lugdruk buite laer as die lugdruk binne. As gevolg van hierdie drukverskil, waar die lugdruk binne hoër is, word die deur na buite gedruk. Met ander woorde, die deur beweeg van 'n plek met hoër lugdruk na 'n plek met laer lugdruk.
Bernoulli se vergelyking
Voorheen het ons van Bernoulli se beginsel geleer. Bernoulli het hierdie beginsel ook kwantitatief ontwikkel. Om die Bernoulli-vergelyking af te lei, neem ons bestendige, laminêre vloeistofvloei, onsaampersbaarheid en lae viskositeit aan, wat geïgnoreer kan word.
In die bespreking van die Kontinuïteitsvergelyking het ons geleer dat die vloeistofvloeitempo ook kan wissel na gelang van die dwarssnitarea van die vloeibuis. Gebaseer op die Bernoulli-beginsel wat hierbo verduidelik is, kan vloeistofdruk ook wissel na gelang van die vloeistofvloeitempo. Vloeistofdruk kan ook wissel na gelang van die hoogte van die vloeistof. Die verband tussen druk, vloeitempo en vloeihoogte kan verkry word uit die Bernoulli-vergelyking.
Die Bernoulli-vergelyking is baie belangrik omdat dit gebruik kan word om vliegtuigvlugte, hidroëlektriese kragsentrales, pypstelsels, ens. te analiseer. Om die Bernoulli-vergelyking wat ons sal aflei, algemeen van toepassing te maak, sal ons aanvaar dat die vloeistof deur 'n vloeibuis met ongelyke dwarssnitoppervlaktes en ook verskillende hoogtes vloei (sien die figuur hieronder). Om die Bernoulli-vergelyking af te lei, pas ons die arbeid- en energiestelling toe op die vloeistof in die vloeibuisgebied. Vervolgens sal ons die hoeveelheid vloeistof en die arbeid wat verrig word om die vloeistof te beweeg, bereken.
Die ondeursigtige kleur in die vloeibuis in die beeld dui op vloeistofvloei terwyl die wit kleur geen vloeistof aandui nie.
Die vloeistof in dwarssnitarea 1 (linkerkant) vloei 'n afstand L1 en dwing die vloeistof in dwarssnit 2 (regterkant) om 'n afstand L2 te beweeg . Omdat die dwarssnitarea 2 aan die regterkant kleiner is, is die vloeistofvloeitempo aan die regterkant van die vloeibuis groter (Onthou die kontinuïteitsvergelyking). Dit veroorsaak 'n drukverskil tussen dwarssnit 2 (regterkant van die vloeibuis) en dwarssnit 1 (linkerkant van die vloeibuis) - Onthou Bernoulli se beginsel. Die vloeistof aan die linkerkant van dwarssnit 1 oefen 'n druk P1 uit op die vloeistof aan die regterkant en verrig werk van:
Dan kan die vergelyking W1 geskryf word as:
W 1 = p 1 A 1 L 1
By dwarssnit 2 (regterkant van die vloeibuis) is die arbeid wat op die vloeistof verrig word:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Die negatiewe teken dui aan dat die toegepaste krag teenoor die bewegingsrigting is. Dus doen die vloeistof werk regs van seksie 2. Daarbenewens doen die swaartekrag ook werk op die vloeistof. In die bogenoemde geval word 'n sekere massa vloeistof van seksie 1 so ver as L1 na seksie 2 so ver as L2 beweeg , waar die volume vloeistof by seksie 1 (A1L1 ) = die volume vloeistof by seksie 2 (A2L2 ) . Die werk wat deur swaartekrag verrig word , is:
W3 = − mg ( u2 − u1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Die negatiewe teken is as gevolg van die vloeistof wat opwaarts vloei, teenoor die rigting van swaartekrag. Dus, die totale arbeid wat op die vloeistof verrig word, soos in die figuur hierbo getoon, is:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Die arbeid-energie-stelling stel dat die totale arbeid wat op 'n stelsel verrig word, gelyk is aan die verandering in sy kinetiese energie. Dus kan ons Arbeid (W) vervang met die verandering in kinetiese energie (EK2 - EK1 ).
Ons kan die vergelyking hierbo herskryf as:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Massa van vloeistof wat 'n afstand L1 by dwarssnit A1 vloei = massa van vloeistof wat 'n afstand L2 vloei ( snit A2 ) . ' n Massa vloeistof, sê maar m, het 'n volume van A1 L1 en A2 L2 waar A1 L1 = A2 L2 ( L2 is langer as L1 ).
Nou vervang ons, of ons vervang m in die vergelyking hierbo met m = ρ AL:
Dit is die Bernoulli-vergelyking. Ons het die Bernoulli-vergelyking afgelei gebaseer op die arbeid-energie-beginsel, dus is dit 'n vorm van die Wet van Energiebehoud.
Inligting:
P = Druk
ρ = Digtheid van vloeistof
v = Vloeistofvloeisnelheid
g = Versnelling as gevolg van swaartekrag
h = Hoogte van die vloeibuis/pyp vanaf die grondoppervlak
Die linker- en regterkant van die Bernoulli-vergelyking hierbo kan na enige twee punte langs die vloeibuis verwys, dus kan ons die vergelyking hierbo herskryf as:
Hierdie vergelyking bepaal dat die totale som van die hoeveelhede in die vergelyking dieselfde waarde dwarsdeur die vloeibuis het.
Kom ons kyk nou na Bernoulli se vergelyking vir sommige gevalle.
Bernoulli se vergelyking vir vloeistowwe in rus
'n Spesiale geval van Bernoulli se vergelyking is vir vloeistowwe in rus (statiese vloeistowwe). Wanneer 'n vloeistof in rus is, het dit geen snelheid nie. Dus, v1 = v2 = 0. In die geval van 'n vloeistof in rus, kan Bernoulli se vergelyking geformuleer word as:
As h² ‐ h¹ = h, dan kan hierdie vergelyking geskryf word as:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoulli se vergelyking vir vloeibuise of pype van dieselfde hoogte
As die hoogte van die vloeibuis of -pyp dieselfde is, word die Bernoulli-vergelyking verander na:
