統計學中的克魯斯卡爾-沃利斯檢驗
Kruskal-Wallis檢定是一種非參數統計方法，用於比較三個或更多組之間的差異。在許多研究中，研究人員常常希望確定幾個組別在特定變數上的值是否有顯著差異。如果資料滿足常態性和變異數齊性的假設，單因子變異數分析（ANOVA）通常是首選。然而，當這些假設不成立時——例如，數據不服從常態分佈、存在極端異常值或測量尺度為序數尺度——Kruskal-Wallis檢定則是強大且廣泛使用的替代方法。
定義和基本概念
Kruskal-Wallis檢定（通常寫作Kruskal-Wallis H檢定）是Mann-Whitney U檢定的擴展，使其能夠處理兩個以上的組別。其基本原理是比較資料的“秩”，而非實際值。由於它是基於秩的，因此此檢定不需要資料服從常態分佈，並且對異常值的影響相對較小。
直觀地說，如果幾個組別的資料分佈相同，則各組的資料排名將隨機混合。相反，如果某些組別的資料值偏高或偏低，則排名會聚集在一起，從而產生更大的檢定統計量。
Kruskal-Wallis檢定何時使用？
Kruskal-Wallis檢定適用於以下情況：
1. 組數≥3，研究者想要比較各組中心位置（通常是中位數）的差異。
2. 資料不符合變異數分析的假設，特別是殘差的常態性假設。
3. 順序資料尺度（例如滿意度分數：從非常不滿意到非常滿意）或非常態區間/比率資料。
4. 獨立樣本，表示一個組的成員與其他組的成員沒有配對或關聯。
舉例來說：一位研究人員想使用 1-5 分的李克特量表比較三家不同醫院的病患服務滿意度。由於數據是有序的，因此 Kruskal-Wallis 檢定是合適的選擇。
Kruskal-Wallis檢定的假設
儘管 Kruskal-Wallis 檢定是非參數檢驗，但它仍然有幾個重要的假設：
1. 觀察獨立性：每組資料必須來自不同的個體。
2. 反應變數必須至少是有序的：資料必須是可排序的。
3. 各組之間的分佈形狀應相似：如果分佈形狀差異很大，則解釋這些差異會更加複雜。此檢定通常被解釋為中位數的差異，但只有在分佈形狀相似的情況下，中位數解釋才是最合適的。
Kruskal-Wallis檢定中的假設
在 Kruskal-Wallis 檢定中，待檢驗的假設是：
– H0（零假設）：所有組別的分佈（或中位數）相同。
– H1（備擇假設）：至少存在一個組別的分佈（或中位數）不同。
需要注意的是，當原假設H0被拒絕時，Kruskal-Wallis檢定僅表明“存在差異”，但並未具體說明哪些組別之間存在差異。這需要進一步的檢驗（事後檢定）。
計算步驟
總而言之，Kruskal-Wallis檢定的步驟如下：
1. 將所有組別的資料合併。
2. 按數值從小到大排序。若出現並列數值，則取平均排名。
3. 將各組的排名相加。
4. 計算檢定統計量 H。
一般的H統計公式為：
\[
H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} – 3(N+1)
\]
信息：
– \(N\) = 所有觀測值的總和
– \(k\) = 組數
– \(n_i\) = 第 i 組的觀測值數量
– \(R_i\) = 第 i 組中的排名數
然後將 H 值與自由度為 k-1 的卡方分佈 (\(\chi^2\)) 進行比較。如果 p 值小於顯著水準（例如 0,05），則拒絕 H0。
範例
假設一位講師想要了解三種學習方法（A、B 和 C）在統計測驗成績上是否有差異。收集資料後發現，由於存在多個極端值，這些分數並不服從常態分佈。於是，這位講師採用了 Kruskal-Wallis 檢定。
如果檢定結果顯示 p 值為 0,01（小於 0,05），則可以得出結論：至少兩種學習方法之間存在顯著差異。然而，講師尚不清楚方法 A 是否優於方法 B 或方法 C。這就需要事後分析。
Kruskal-Wallis 事後檢驗
如果 Kruskal-Wallis 檢定結果顯著，下一步就是進行兩兩比較。一些常用的方法包括：
1. Dunn 檢定：最常用於事後 Kruskal Wallis 檢定。
2. 採用校正（Bonferroni、Holm 或 Benjamini-Hochberg）進行成對 Mann-Whitney 檢驗，以控制重複檢定造成的誤差。
此項修正的目的是防止因進行多次比較而增加 I 類錯誤（在沒有差異的情況下聲稱存在差異）的機率。
效應量
除了顯著性之外，許多現代研究還強調效應量，以幫助讀者理解差異的大小。一些常與 Kruskal-Wallis 模型相關的效果量包括：
– 基於 H 的 Eta 平方 (η²):
\[
eta^2 = frac{H – k + 1}{N – k}
\]
– ε²（ε）作為一種更保守的替代方案。
效應量有助於解釋差異是小、中或大，而不僅僅是「顯著與否」。
優點與局限性
克萊比漢
1. 不需要假設常態性。
2. 適用於有序資料。
3. 對異常值具有更強的穩健性，優於參數方法。
限制
1. 不進行事後檢驗，無法顯示哪些組別之間有差異。
2. 若各組的分佈形狀相似，則以中位數差異來解釋最為有效。
3. 如果實際數據是常態且同質的，則 ANOVA 可以更有效（更高的功效）。
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Kruskal-Wallis檢定是推論統計學中的重要工具，特別適用於研究者處理不符合參數方法假設的資料。此檢定採用基於秩的方法，能夠更靈活地比較三個或更多組別數據，尤其適用於有序數據或非常態分佈數據。然而，使用該檢定仍需理解其假設、結果解釋，並考慮事後分析以識別真正不同的組對。透過結合p值、效應量和適當的後續分析，Kruskal-Wallis檢定能夠在從健康、教育到商業和社會科學等眾多研究領域得出穩健且相關的結論。
