向量範例問題

25 個向量問題範例

1. 兩個力相互垂直，大小分別為 3 N 和 4 N。這兩個力的合力大小為…
彭巴哈桑
已知：
F₁ = 3 N，F₂ = 4牛
問題：這兩個向量的合向量是什麼？
回答 ：
只有兩個向量，而且這兩個向量互相垂直，所以可以用勾股定理來求解。
2. 若向量 A 的長度為 4 個單位，則它與水平面的夾角為 30°。^o 如果 x 軸為正方向，則向量在 x 軸和 y 軸方向上的大小為…
彭巴哈桑
已知：
A = 4 個單位，角度 = 30°^o
問：A_x 和 A_y ?
回答 ：
3. 兩個力向量 F₁ 和 F₂ 兩個力矩分別為 5 N 和 12 N 的力，它們接觸點相同，且彼此成 60° 角，這兩個力矩的合力為…
彭巴哈桑
已知：
F₁ = 5 N，F₂ 力 = 12 牛頓，角 = 60°^o
問題：這兩個向量的合向量是什麼？
回答 ：
只有兩個向量，而且這兩個向量並不互相垂直（它們之間的夾角為 60°）。^o因此，此問題的解法使用了餘弦公式。
4. 在₁ = 20 個單位和 v₂ = 20 個單位。合向量有多大？

彭巴哈桑
計算分量向量：
v_1x = v₁ cos 30^o = (20)(½√3) = -10√3
v_1y = v₁ 罪過30^o = (20)(½) = 10
v_2x = v₂ cos 30^o = (20)(½√3) = 10√3
v_2y = v₂ 罪過30^o = (20)(½) = 10

v_x = v₁x + v₂x = -10√3 + 10√3 = 0
v_y = v₁y + v₂y = 10 + 10 = 20

描述：v_1x 負號是因為 v 的方向。_1x 向左，沿負 x 軸方向。_2x 為正值，因為方向向右，即沿 x 軸正方向。_1y 和 v_2y 因為它的方向向上，即沿 y 軸正方向，所以為正。為了確定每個分量向量的方向以及分量向量是正還是負，請按照例題 2 所示，在 x 軸和 y 軸上繪製分量向量。

計算合向量：
合向量的大小為 20 個單位

5. 一個孩子向北跑了 80 米，然後向東跑了 80 米，再向南跑了 20 米。 位移 孩子所做的是…

A. 60 米
B. 80 米
C. 100 米
D. 120 米
E. 180 米

彭巴哈桑

位移向量

使用勾股定理：
東北
正確答案是 C

6. 布迪向東走了6米，然後向南走了6米，最後又向東走了2米。布迪與起始位置的位移是…

A. 20 米
B. 14 米
C. 12 米
D. 10 米
E. 8 米

彭巴哈桑

使用勾股定理：

東南方向
正確答案是D。

7.

圖中側面三個力的合力是…

A. 24 N
B. 16 N
C. 12 N
D. 10 北
東 4 北

彭巴哈桑
已知 :
F₁ = 20 牛頓，F 之間的角度₁ x 軸 = 0
F₂ = 20 牛頓，F 之間的角度₂ x 軸 = 60
F₃ = 24 牛頓，F 之間的角度₃ x 軸 = 60
問 三個力的合力（F）₁，F₂ 和 F₃)
Jawab :

力向量在 x 軸和 y 軸上的分量
F_1x = (F₁)(cos 0) = (20)(1) = 20。為正值，因為它與座標軸方向相同。 x 正極（向右）
F_1y = (F₁)(sin 0) = (20)(0) = 0
F_2x = (F₂)(cos 60) = (20)(0,5) = -10。為負值是因為它與座標軸方向相同。 x 負值（向左）
F_2y = (F₂)(sin 60) = (20)(0,5√3) = 10√3。為正數，因為它與軸線方向相同 y 正（向上）
F_3x = (F₃)(cos 60) = (24)(0,5) = -12。為負值是因為它與座標軸方向相同。 x 負值（向左）
F_3y = (F₃)(sin 60) = (24)(0,5√3) = -12√3。為負值是因為它與軸線方向相同。 y 負（向下）
力向量在 x 軸和 y 軸上的分量的合力
F_x =F_1x - F。_2x - F。_3x = 20 – 10 – 12 = -2
F_y =F_1y + F_2y - F。_3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3
第三結果 向量量 格雅
正確答案是 E。

8.

力向量 F₁，F₂和 F₃ 位於笛卡爾座標系中，如圖所示：
這三個向量的合向量是…

A. √26 N
B. √76 N
C. √84 N
D. √168 N
E. √204 N

彭巴哈桑
已知 :
F₁ = 12 牛頓，F 之間的角度₁ x 軸 = 30
F₂ = 10 牛頓，F 之間的角度₂ x 軸 = 90
F₃ = 8 牛頓，F 之間的角度₃ x 軸 = 30
問 三個力向量的合力（F）₁，F₂ 和 F₃)
Jawab :
力向量在 x 軸和 y 軸上的分量
F_1x = (F₁)(cos 30) = (12)(0,5√3) = 6√3。為正，因為它與座標軸方向相同。 x 正極（向右）
F_1y = (F₁)(sin 30) = (12)(0,5) = 6。為正，因為它與軸線方向相同 y 正（向上）
F_2x = (F₂)(cos 90) = (10)(0) = 0。
F_2y = (F₂)(sin 90) = (10)(1) = -10。為負值是因為它與軸線方向相同。 y 負（向下）
F_3x = (F₃)(cos 30) = (8)(0,5√3) = -4√3。為負值是因為它與座標軸方向相同。 x 負值（向左）
F_3y = (F₃)(sin 30) = (8)(0,5) = -4。為負值是因為它與軸線方向相同。 y 負（向下）
力向量在 x 軸和 y 軸上的分量的合力
F_x =F_1x + F_2x - F。_3x = 6√3 + 0 – 4√3 = 2√3
F_y =F_1y - F。_2y - F。_3y = 6 – 10 – 4 = -8
三個力向量的合力
正確答案是 B。

9. 看一下旁邊的圖片。這三個力的合力大小為…
一個0
B. 2√3 N
C. 4√3 N
D. 8√3 N
東 12√3 北
彭巴哈桑
已知 :
F₁ = 4 牛頓，F 之間的角度₁ x 軸 = 30
F₂ = 6√3 牛頓，F 之間的角度₂ x 軸 = 0
F₃ = 2 牛頓，F 之間的角度₃ x 軸 = 90
問 三個力的合力的大小（F）₁，F₂ 和 F₃)
Jawab :
力向量在 x 軸和 y 軸上的分量
F_1x = (F₁)(cos 30) = (4)(0,5√3) = 2√3。為正，因為它與座標軸方向相同。 x 正極（向右）
F_1y = (F₁)(sin 30) = (4)(0,5) = 2。為正，因為它與軸線方向相同 y 正（向上）
F_2x = (F₂)(cos 0) = (6√3)(1) = -6√3。為負值是因為它與座標軸方向相同。 x 負值（向左）
F_2y = (F₂)(sin 0) = (6√3)(0) = 0。
F_3x = (F₃)(cos 90) = (2)(0) = 0。
F_3y = (F₃)(sin 90) = (2)(1) = -2。為負值是因為它與軸線方向相同。 y 負（向下）
力向量在 x 軸和 y 軸上的分量的合力
F_x =F_1x - F。_2x + F_3x = 2√3 – 6√3 + 0 = -4√3
F_y =F_1y + F_2y - F。_3y = 2 + 0 – 2 = 0
三個力向量的合力
正確答案是C。

10. 一個孩子向西直走 10 米，然後向南走 4 米，再向東走 13 米。孩子相對於初始位置的位移是…
A. 西南方向 4 米
B. 南側 5 米
C. 東南方向 5 米
D. 東側 10 米
東南方向 10 米

彭巴哈桑

正確答案是C。

11. 圖中側面三個力的合力是…

A. 1,0 N
B. 1,5 N
C. 1,9 N
D. 2,0 北
東 2,3 北
彭巴哈桑
計算每個分量向量的大小：
F_1x = 10牛
F_1y = 0
F_2x = -10 cos 60 = – (10)(0,5) = – 5 N
F_2y = 10 sin 60 = (10)(0,87) = 8,7 N
F_3x = -12 cos 60 = – (12)(0,5) = – 6 N
F_3y = -12 sin 60 = – (12)(0,87) = – 10,4 N
求合向量：

12. 圖中顯示了某一感興趣點的三個向量。每個向量的大小分別為：
|V₁ | = 30 個單位
|V₂ | = 30 個單位
|V₃ | = 40 個單位
這三個向量的合向量的大小為…
A. 30個單位
B. 40個單位
C. 50個單位
D. 90個單位
E. 110個單位
彭巴哈桑
已知：
V₁ = 30，V 之間的角度₁ x 軸 = 30^o
V₂ = 30，V 之間的角度₂ x 軸 = 30^o
V₃ = 40，V 之間的角度₃ x 軸 = 0^o
問題：三個向量的合向量（V）₁，V₂ 和 V₃)
回答 ：
力向量在 x 軸和 y 軸上的分量
V_1x =（V₁)(cos 30^o) = (30)(0,5√3) = 15√3。為正值是因為它與 x 軸正方向相同（向右）。
V_1y =（V₁)(sin 30^o) = (30)(0,5) = 15。為正值，因為它與正y軸方向（向上）相同。
V_2x =（V₂)(cos 30^o) = (30)(0,5√3) = -15√3。為負值是因為它與負 x 軸方向相同（向左）。
V_2y =（V₂)(sin 30^o) = (30)(0,5) = 15。為正值，因為它與正y軸方向（向上）相同。
V_3x =（V₃)(cos 0^o) = (40)(1) = 40。為正值是因為它與 x 軸正方向相同（向右）。
V_3y =（V₃)(sin 0^o) = (40)(0) = 0

13. 兩個力（接觸點）相互垂直，大小分別為 12 N 和 5 N。這兩個力的合力大小為…
A. 17 N
B. 15 N
C. 13 N
D. 9 北
東 7 北
彭巴哈桑
已知：
樣式 1 (F₁) = 12 牛頓
樣式 2 (F₂) = 5 牛頓
求：兩力的合力（ΣF）
回答 ：
這兩個力相互垂直，因此合力可以用勾股定理計算。

14. 下圖顯示了某一感興趣點的三個向量。每個向量的大小分別為：
|V₁| = 30 個單位
|V₂| = 30 個單位
|V₃| = 40 個單位
這三個向量的合向量的大小為…
A. 30個單位
B. 40個單位
C. 50個單位
D. 90個單位
E. 110個單位
彭巴哈桑
已知：
v₁ = 30 個單位，形成 30 度角^o 向負 x 軸方向移動。
v₂ = 30 個單位，形成 30 度角^o 向正x軸方向。
v₃ = 40 個單位，形成 0 度角^o 向正x軸方向。
Q：合成向量
回答 ：
計算向量分量：
v_1x = v₁ cos 30^o = (30)(0,5√3) = -15√3（負號是因為它與負 x 軸方向相同）
v_1y = v₁ 罪過30^o = (30)(0,5) = 15（正號是因為它與y軸正方向相同）
v_2x = v₂ cos 30^o = (30)(0,5√3) = 15√3（正號是因為它與 x 軸正方向相同）
v_2y = v₂ 罪過30^o = (30)(0,5) = 15（正號是因為它與y軸正方向相同）
v_3x = v₃ cos 0^o = (40)(1) = 40（正號是因為它與 x 軸正方向相同）
v_3y = v₃ 罪過0^o = (40)(0) = 0

15. 下圖所示三個力的合力為…
A. 0 N
B. 2 N
C. 2√3 N
D. 3 北
東 3√3 北
彭巴哈桑
已知：
F₁ 3 牛頓的力與 60 度角成正比^o 向正 x 軸
F₂ 3 牛頓的力與 0 度角成正比^o 向負 x 軸
F₃ 6 牛頓的力與 60 度角成正比^o 向負 y 軸
問：合力
回答 ：
計算分量向量：
F_1x =F₁ cos 60^o = (3)(0,5) = 1,5 N（正號是因為方向與 x 軸正方向一致）
F_1y =F₁ 罪過60^o = (3)(0,5√3) = 1,5√3 N（正號是因為方向與 y 軸正方向一致）
F_2x =F₂ cos 0^o = (3)(1) = -3 N（負號是因為它沿著 x 軸負方向）
F_2y =F₂ 罪過0^o = (3)(0) = 0
F_3x =F₃ cos 60^o = (6)(0,5) = 3 N（正號是因為方向與 x 軸正方向一致）
F_3y =F₃ 罪過60^o = (6)(0,5√3) = -3√3 N（負號是因為它沿著y軸負方向）

16. 兩個力向量 F₁ 和 F₂ 兩個力矩分別為 15 N 和 9 N 的力，它們接觸點相同，且彼此成 60° 角，這兩個力矩的合力為…
A. 15 N
B. 20 N
C. 21 N
D. 24 北
東 30 北
彭巴哈桑
已知：
樣式 1 (F₁) = 15 牛頓
樣式 2 (F₂) = 9 牛頓
角度 (θ) = 60^o
問題：兩個向量的合向量
回答 ：
有兩個向量，它們之間的夾角為 60 度。^o 因此，可以使用餘弦公式計算合向量：

17. 圖中側面三個力的合力是…
A. 24 N
B. 16 N
C. 12 N
D. 10 北
東 4 北
彭巴哈桑
已知：
F₁ = 20 牛頓，F 之間的角度₁ x 軸 = 0
F₂ = 20 牛頓，F 之間的角度₂ x 軸 = 60
F₃ = 24 牛頓，F 之間的角度₃ x 軸 = 60
問題：三個力的合力（F）₁，F₂ 和 F₃)
回答 ：
力向量在 x 軸和 y 軸上的分量
F_1x = (F₁)(cos 0) = (20)(1) = 20。為正值，因為它與 x 軸正方向相同（向右）。
F_1y = (F₁)(sin 0) = (20)(0) = 0
F_2x = (F₂)(cos 60) = (20)(0,5) = -10。為負值是因為它與負 x 軸方向相同（向左）。
F_2y = (F₂)(sin 60) = (20)(0,5√3) = 10√3。為正值，因為它與正y軸方向（向上）相同。
F_3x = (F₃)(cos 60) = (24)(0,5) = -12。為負值是因為它與負 x 軸方向相同（向左）。
F_3y = (F₃)(sin 60) = (24)(0,5√3) = -12√3。為負值是因為它與負 y 軸方向相同（向下）。

18 一個物體從 E 點移動到 F 點，最終到達 G 點。下圖顯示了 10 個單位的位移…

彭巴哈桑

點座標 E = x, y = 1, 1

點座標 F = x, y = 9, 1

點座標 G = x, y = 9, 7

EF長度 = 9-1 = 8

FG長度 = 7-1 = 6

EG的長度 =

正確答案是 A。

19 一個人開車從A地向北行駛30公里到達B地，然後繼續向東行駛60公里到達C地，最後到達D地，D地向南行駛110公里。這輛車從A地到D地的位移是…

A. 200公里

B. 140公里

約120公里

D. 100公里

東 80 公里

彭巴哈桑

AA' = 60 公里

A'D = 110 公里 – 30 公里 = 80 公里

正確答案是D。

20 安迪開車從A市向北行駛100公里到達B市，然後繼續向東行駛60公里到達C市，最後向南行駛20公里到達D市。這輛車的位移是…

A. 10公里

B. 20公里

約80公里

D. 100公里

東 180 公里

彭巴哈桑

D'D = 60 公里

AD' = 100 公里 – 20 公里 = 80 公里

正確答案是D。

21 2年4月在雅加達舉行的「城市馬拉松節」活動共設4個跑步組別，即以下組別： 全程馬拉松 （42公里），類別 半程馬拉松 本次馬拉鬆比賽分為21公里、10公里和5公里三個組別，各組別的賽道都已確定。比賽起點位於蓬卡諾體育中心，終點位於國家紀念碑（Monas）。參賽選手之一安德里參加了比賽。 全程馬拉松 他只能沿著從 A、B、C 點到其他點的路線行進，例如 圖 2.

如果 1 個方格代表 1 公里，那麼安德里的總位移是…

A. 26公里

B. 20公里

約12公里

D. 10公里

東 8 公里

彭巴哈桑

下側長度 = 8 公里，前側長度 = 6 公里。

利用勾股定理，位移 = R = 10 公里

正確答案是D。

22 一個人開車從A地向北行駛30公里到達B地，然後繼續向東行駛60公里到達C地，最後到達D地，D地向南行駛110公里。這輛車從A地到D地的位移是…

A. 200公里

B. 140公里

約120公里

D. 100公里

東 80 公里

彭巴哈桑

AA' = 60 公里

A'D = 110 公里 – 30 公里 = 80 公里

正確答案是D。

23 安迪開車從A市向北行駛100公里到達B市，然後繼續向東行駛60公里到達C市，最後向南行駛20公里到達D市。這輛車的位移是…

A. 10公里

B. 20公里

約80公里

D. 100公里

東 180 公里

彭巴哈桑

D'D = 60 公里

AD' = 100 公里 – 20 公里 = 80 公里

正確答案是D。

單位向量

24. 2000/2001年全國統考題
一個原本位於參考點的物體以速度 v = (2i − 1,5h) m/s 移動。^-1物體移動 4 秒後，移動了…的距離。
A. 2 米
B. 10 米
C. 12 米
D. 14 米
E. 25 米
彭巴哈桑
已知：
水平方向速度（v）_x) = 2 公尺/秒
垂直方向的速度（v）_y) = 1,5 公尺/秒
時間間隔 (t) = 4 秒
Q：物體的位移
回答 ：
計算物體的合速度（v）：

25. 2007/2008年度全國統考題 P4 第3題
向量 F₁ = 14 N 和 F₂ 如圖所示，將一個力矩為 10 N 的物體放置在直角座標系中。如果以單位向量 R = i + j 表示，則合力向量為…
A. 7i + 10√3 j
B. 7i + 10j
C. 3i + 7√3 j
D. 3i + 10j
E. 3i + 7j
彭巴哈桑
計算分量向量：
F_1x = (F₁)(cos 60^o) = (14)(0,5) = -7 N（負號是因為它在 x 軸負方向上）
F_1y = (F₁)(sin 60^o) = (14)(0,5√3) = 7√3 N（正號是因為它在 y 軸正方向上）
F_2x = 10牛
F_2y = 0
計算合成分量向量：
F_x =F_1x + F_2x + F_3x = -7 + 10 = 3 N
F_y =F_1y + F_2y + F_3y = 7√3 + 0 = 7√3 N
若以單位向量表示，則所得向量為：
R = 3i + 7√3j
正確答案是C。

 

問題來源：

高中/職業高中國家考試物理試題

向量問題
1. 兩個力相互垂直，大小分別為 5 N 和 12 N。這兩個力的合力大小為…（答案：13 牛頓)
2. 若向量 B 的大小為 10 個單位，則它與水平方向的夾角為 60°。^o 若以 x 軸為正方向，則向量在 x 軸和 y 軸方向上的大小為…（答案：B_x = 5，B_y = 5√3 )
3. 兩個力向量 F₁ 和 F₂ 這兩個力的大小分別為 3 N 和 4 N，它們接觸點相同，且夾角為 60°，這兩個力的合力為…（答案：F = √37Ň)
4. 在₁ = 50 個單位和 v₂ = 50 個單位。合向量有多大？

(答案：v = 50√2個單位)
5. 一個孩子向北直走 80 米，然後向東走 80 米，再向南走 20 米。孩子相對於初始位置的位移是…
(答：東北方向 100 米)
6. 下圖所示三個力的合力為…
（答案：6 N）