極值點範例問題及討論：最小收益值和最大收益值
確定極值點，即函數達到最小值或最大值的點，是微積分和數學分析的核心概念。本文將透過幾個涉及最小值和最大值的例題，探討如何找到並分析極端值點。
主題定義和定理
在討論例題之前，我們需要先了解一些基本概念和定理：
1. 臨界點：是函數 \( f(x) \) 的一階導數 \( f'(x) \) 為零或不存在時 \( x \) 的值。
2. 最大回傳值：是 \( f(x) \) 的值大於該點附近 \( f(x) \) 的值。
3. 最小回傳值：是 \( f(x) \) 的值小於該點附近 \( f(x) \) 的值。
4. 費馬定理：若函數 \( f \) 在 \( c \) 處有局部極值，且導數 \( f'(c) \) 存在，則 \( f'(c) = 0 \)。
例題 1：二次函數
首先，我們從一個簡單的二次函數開始：
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
蘭卡-蘭卡:
1. 求函數 \( f'(x) \): 的一階導數
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. 解 \( f'(x) = 0 \) 來求臨界點：
\[
4x – 4 = 0 表示 x = 1
\]
3. 求函數在臨界點的值：
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. 利用二階導數來確定點的性質：
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
由於 \( f”(1) > 0 \)，點 \( x = 1 \) 是一個局部極小值點。
例題 2：多項式函數
現在我們來嘗試一個更複雜的多項式函數：
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
蘭卡-蘭卡:
1. 求函數 g'(x) 的一階導數：
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. 解 \( g'(x) = 0 \) 來求臨界點：
\[
3x² – 6x = 0 表示 3x(x – 2) = 0 表示 x = 0 或 x = 2
\]
3. 求函數在臨界點的值：
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2³ – 3(2)² + 2 = -2
\]
4. 利用二階導數來確定點的性質：
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{局部最大值})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{局部最小值})
\]
因此，\( g(x) \) 在 \( x = 0 \) 處有局部最大值，在 \( x = 2 \) 處有局部最小值。
例題3：超越函數
我們來看一個涉及指數運算的函數：
\[ h(x) = xe^{-x} \]
蘭卡-蘭卡:
1. 求一階導數 \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. 透過求解 \( h'(x) = 0 \) 來找出臨界點：
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]
3. 求函數在臨界點的值：
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. 利用二階導數來確定點的性質：
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
由於 \( h”(1) < 0 \)，點 \( x = 1 \) 是局部極大值點。例題 4：有理函數 最後，我們計算有理函數：\[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]
