康普頓效應討論題範例
康普頓效應是量子物理學中的關鍵現象。這項發現不僅加深了我們對光波粒二象性的理解，也為輻射的量子理論提供了強而有力的證據。本文將回顧康普頓效應及其基本原理，並提供一些應用此概念的例題及解答。
理解康普頓效應
康普頓效應以其發現者亞瑟·H·康普頓的名字命名，是指光子（光粒子）與電子碰撞時波長變化的一種現象。碰撞後，光子將其部分能量傳遞給電子，導致光子的波長增加（或頻率降低）。
波長的這種變化稱為康普頓位移，可以用以下公式表示：
\[
\Delta \lambda = \lambda' – \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
在哪裡：
– \(\Delta \lambda\) 是光子波長的變化量，
– \(\lambda\) 是光子的初始波長，
– \(\lambda'\) 是碰撞後光子的波長，
– \(h\) 是普朗克常數 (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\))，
– \(m_e\) 是電子的質量 (\(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\))，
– \(c\) 是光速（\(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)），
– \(\theta\) 是光子的散射角。
範例問題及討論
問題 1
波長為 0,1 nm 的光子撞擊一個靜止的電子。碰撞後，光子沿著與原始方向成 90° 角的方向散射。計算碰撞後光子的波長！
討論：
我們都知道：
– 初始波長，\(\lambda = 0.1 \, \text{nm} = 0.1 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– 散射角，\(\theta = 90^\circ \)
利用康普頓位移方程式：
\[
\Delta \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
代入普朗克常數、電子質量和光速的數值：
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}(1 – \cos 90^\circ)
\]
因為 \(\cos 90^\circ = 0\),
\[
Δλ = （6.626 × 10⁻³⁴）/（9.109 × 10⁻³¹ × 3 × 10⁸）
\]
\[
Δλ = （6.626 × 10⁻³⁴）/（2.7327 × 10⁻²²）
\]
\[
Δλ = 2.43 × 10⁻¹² m = 0.00243 nm
\]
因此，碰撞後的波長為：
\[
λ' = λ + Δλ = 0.1 nm + 0.00243 nm = 0.10243 nm
\]
問題 2
波長為 \( \lambda = 0.05 \, \text{nm} \) 的光子以角 \( \theta = 120^\circ \) 散射。求散射後光子的波長。
討論：
我們都知道：
– 初始波長，\(\lambda = 0.05 \, \text{nm} = 0.05 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– 散射角，\(\theta = 120^\circ \)
利用康普頓位移方程式：
\[
\Delta \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
代入普朗克常數、電子質量和光速的數值：
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}(1 – \cos 120^\circ)
\]
因為 \(\cos 120^\circ = -0.5\),
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}(1 – (-0.5))
\]
\[
Δλ = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}(1 + 0.5)
\]
\[
Δλ = （6.626 × 10⁻³⁴）/（2.7327 × 10⁻²²）× 1.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \times 10^{-12} \, \text{m} \times 1.5 = 3.645 \times 10^{-12} \, \text{m} = 0.003645 \, \text{nm}
\]
因此，碰撞後的波長為：
\[
λ' = λ + Δλ = 0.05 nm + 0.003645 nm = 0.053645 nm
\]
問題 3
若散射後光子的波長為 0.045 nm，則散射角為 \(60^\circ\)，求散射前光子的波長。
討論：
我們都知道：
– 碰撞後的波長，\(\lambda' = 0.045 \, \text{nm} = 0.045 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– 散射角，\(\theta = 60^\circ \)
利用康普頓位移方程式：
\[
\Delta \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 – \cos \theta)
\]
代入普朗克常數、電子質量和光速的數值：
\[
\Delta \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}(1 – \cos 60^\circ)
\]
因為 \(\cos 60^\circ = 0.5\),
\[
Δλ = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}(1 – 0.5)
\]
\[
Δλ = （6.626 × 10⁻³⁴）/（2.7327 × 10⁻²²）× 0.5
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \times 10^{-12} \, \text{m} \times 0.5 = 1.215 \times 10^{-12} \, \text{m} = 0.001215 \, \text{nm}
\]
碰撞後的波長是已知的：
\[
λ' = λ + Δλ
\]
因此，散射前的波長為：
\[
λ = λ' – Δλ = 0.045 nm – 0.001215 nm = 0.043785 nm
\]
結論
理解康普頓效應有助於我們更好地理解量子物理學中光子和電子之間的相互作用。這種由散射引起的波長偏移體現了光的波粒二象性，並強化了輻射的量子理論。以上例子是康普頓方程式的直接應用，可以幫助我們理解基本概念並計算各種條件下的波長變化。
