電場強度問題範例
電場強度是物理學中的一個基本概念，它描述了空間中某一特定點的電場強度。電場由電荷產生，並能影響場內的其他電荷。為了更好地理解這個概念，讓我們來看看一些與電場強度相關的例子以及如何解答它們。
電場基礎知識
在講解範例之前，我們先來回顧一下電場的基本概念。空間中某一點的電場強度（\(E\)）定義為該點單位電荷（\(q\)）所受到的力（\(F\)）：
\[ E = \frac{F}{q} \]
迪瑪納：
– \(E\) 是電場強度（N/C 或 V/m），
– \(F\) 是電荷所受到的電場力 (N)，
– \(q\) 是測試電荷的大小 (C)。
如果電場源是一個點電荷 \(Q\)，那麼距離該電荷 \(r\) 處的電場強度由下列公式給出：
\[ E = \frac{k \cdot |Q|}{r^2} \]
迪瑪納：
– \(k\) 是庫侖常數 (\(8.99 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\))，
– \(Q\) 是源電荷 (C)，
– \(r\) 是從源電荷到觀測點的距離（公尺）。
例題 1：點電荷所產生的電場
問題：一個電荷量為 5 × 10⁻⁶ C 的電荷 Q 位於原點 (0,0)。計算距離該電荷 2 公尺處的電場強度。
解決方案：
根據點電荷的電場方程，我們可以計算出電場強度如下：
\[ E = \frac{k \cdot |Q|}{r^2} \]
請輸入\(k\)、\(Q\)和\(r\)的值：
\[ E = \frac{8.99 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{2^2} \]
\[ E = \frac{8.99 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{4} \]
\[ E = \frac{44.95 \times 10^3}{4} \]
\[ E = 11.2375 \times 10^3 \]
\[ E = 11,237.5 \, \text{N/C} \]
因此，距離電荷 2 公尺處的電場強度為 \(11,237.5 \, \text{N/C}\)。
例2：電場的疊加
問題：兩個電荷，\(Q_1 = 4 \times 10^{-6} \, \text{C}\) 和 \(Q_2 = -3 \times 10^{-6} \, \text{C}\) 相距 3 公尺。計算兩電荷中點處的電場強度。
解決方案：
首先，我們計算每個電荷在中點所產生的電場。
對於電荷 \(Q_1\):
\[ r_1 = \frac{3}{2} = 1.5 \, \text{m} \]
\[ E_1 = \frac{k \cdot |Q_1|}{r_1^2} \]
\[ E_1 = \frac{8.99 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{1.5^2} \]
\[ E_1 = \frac{35.96 \times 10^3}{2.25} \]
\[ E_1 = 15.9822 \times 10^3 \]
\[ E_1 = 15,982.2 \, \text{N/C} \]
對於電荷 \(Q_2\):
\[ r_2 = 1.5 \, \text{m} \]
\[ E_2 = \frac{k \cdot |Q_2|}{r_2^2} \]
\[ E_2 = \frac{8.99 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-6}}{1.5^2} \]
\[ E_2 = \frac{26.97 \times 10^3}{2.25} \]
\[ E_2 = 11.9822 \times 10^3 \]
\[ E_2 = 11,982.2 \, \text{N/C} \]
由於 \(Q_1\) 為正，\(Q_2\) 為負，它們在中點的電場方向相反。因此，我們將這兩個電場相加：
\[ E = E_1 + E_2 \]
\[ E = 15,982.2 + 11,982.2 \]
\[ E = 27,964.4 \, \text{N/C} \]
因此，兩個電荷中點的電場強度為 \(27,964.4 \, \text{N/C}\)。
例3：偶極子產生的電場
問題：一個電偶極子由兩個相距 1 cm 的電荷組成，電荷量分別為 ±4 × 10⁻⁶ C。計算距離偶極子中心 1 公尺處，沿偶極子軸線方向的電場強度。
解決方案：
沿著偶極子軸線的電場強度（當距離夠大，遠大於偶極電荷之間的距離）由下式給出：
\[ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3} \]
其中 \(p\) 為電偶極矩 (\(p = q \cdot d\))，\(d\) 為偶極電荷之間的距離，\(r\) 為偶極子中心到觀測點的距離。
首先，計算偶極矩：
\[ p = q \cdot d \]
\[ p = 4 \times 10^{-6} \cdot 0.01 \]
\[ p = 4 \times 10^{-8} \, \text{C m} \]
然後，計算電場強度：
\[ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3} \]
\[ E = \frac{8.99 \times 10^9}{1} \cdot \frac{2 \times 4 \times 10^{-8}}{1^3} \]
\[ E = 8.99 \times 10^9 \cdot 8 \times 10^{-8} \]
\[ E = 7.192 \times 10^2 \]
\[ E = 719.2 \, \text{N/C} \]
因此，在偶極子軸線上距離偶極子中心 1 公尺處的電場強度為 \(719.2 \, \text{N/C}\)。
結論
理解電場強度在物理學及其應用中至關重要。以上範例展示如何運用電場的基本原理來計算各種電荷分佈中的電場強度。這類練習題對於理解庫侖定律和電場疊加的概念及其應用非常有幫助。透過理解和練習更多題目，我們可以加深對各種系統中電相互作用的理解。
