旋轉動力學範例題

11 個旋轉動力學問題範例

時尚瞬間

1. 一根很輕的桿，長 140 公分。有三個力作用在這根桿上，每個力的大小為 F。₁ = 20 牛頓，F₂ = 10 N，且 F₃ = 40 N，方向和位置如圖所示。使桿繞其質心旋轉的力矩大小為…

A. 40 牛頓米

B. 39 牛頓米

C. 28 牛頓米

D. 14 牛頓米

E. 3 牛頓米

彭巴哈桑

已知：

桿的質心位於桿的中間。

桿的長度 (l) = 140 公分 = 1,4 米

樣式 1 (F₁) = 20 N，力臂 1 (l₁) = 70 公分 = 0,7 米

樣式 2 (F₂) = 10 N，力臂 2 (l₂) = 100 公分 – 70 公分 = 30 公分 = 0,3 米

樣式 3 (F₃) = 40 N，力臂 3 (l₃) = 70 公分 = 0,7 米

問： 使桿繞其質心旋轉的力矩的大小

回答 ：

力矩1使桿順時針旋轉。因此，力矩1為負值。

τ₁ =F₁ l₁ = (20 N)(0,7 m) = -14 N·m

力矩2使桿逆時針旋轉。因此，力矩2為正值。

τ₂ =F₂ l₂ = (10 N)(0,3 m) = 3 N·m

力矩3使桿順時針旋轉。因此，力矩3為負值。

τ₃ =F₃ l₃ = (40 N)(0,7 m) = -28 N·m

合力矩：

Στ = -14 牛頓米 + 3 牛頓米 – 28 牛頓米 = – 42 牛頓米 + 3 牛頓米 = -39 牛頓米

力矩的大小為 39 牛頓米。負號表示桿逆時針旋轉。

正確答案是 B。

2. 如圖所示，桿 AB（質量忽略不計）水平放置，並受到三個力的作用。 合力矩 當桿繞著 D 點的軸旋轉時，作用在桿上的力是…（sin 53）^o = 0,8）

A. 2,4 牛頓米

B. 2,6 牛頓米

C. 3,0 牛頓米

D. 3,2 牛頓米

E. 3,4 牛頓米

彭巴哈桑

已知 :

旋轉軸或樞軸位於 D 點。

F₁ = 10 N 和 l₁ = r₁ sin θ = (40 cm)(sin 53^o) = (0,4 米)(0,8) = 0,32 米

F₂ = 10√2 N 和 l₂ = r₂ sin θ = (20 cm)(sin 45^o) = (0,2 公尺)(0,5√2) = 0,1√2 公尺

F₃ = 20 N 和 l₃ = r₁ sin θ = (10 cm)(sin 90^o) = (0,1 米)(1) = 0,1 米

問 合力矩

Jawab :

τ₁ =F₁ l₁ = (10 N)(0,32 m) = 3,2 Nm

（正值，因為該力矩會使物體逆時針旋轉）

τ₁ =F₂ l₂ = (10√2 N)( 0,1√2 m) = -2 Nm

（為負值，因為此力矩會導致物體順時針旋轉）

τ₁ =F₂ l₂ = (20 N)(0,1 m) = 2 Nm

（正值，因為該力矩會使物體逆時針旋轉）

合力矩：

Στ = τ₁ – τ₁ + τ₃

Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3,2 牛頓米

正確答案是D。

3. 桿AB（質量忽略不計）水平放置，並受到如圖所示的三個力的作用。當桿繞D點旋轉時，作用在桿上的合力矩為…（sin 53）^o = 0,8）

A. 2,4 牛頓米

B. 2,6 牛頓米

C. 3,0 牛頓米

D. 3,2 牛頓米

E. 3,4 牛頓米

彭巴哈桑

已知 :

旋轉軸位於 D 點。

F 之間的距離₁ 以及旋轉軸（r）。_AD) = 40 公分 = 0,4 米

F 之間的距離₂ 以及旋轉軸（r）。_BD) = 20 公分 = 0,2 米

F 之間的距離₃ 以及旋轉軸（r）。_CD) = 10 公分 = 0,1 米

F₁ = 10 牛頓

F₂ = 10√2 牛頓

F₃ = 20 牛頓

沒有53^o = 0,8

問 ：桿繞D點軸旋轉時所產生的合力矩

Jawab :

計算每個力產生的力矩。

力矩 1

在₁ = (F₁)(r_AD 罪過53^o) = (10 N)(0,4 m)(0,8) = 3,2 Nm

力矩 1 為正，因為力矩 1 所引起的桿的旋轉方向是逆時針方向。

力矩 2

在₂ = (F₂)(r_BD 罪過45^o) = (10√2 N)(0,2 m)(0,5√2) = -2 Nm

力矩 2 為負值，因為力矩 2 所引起的桿的旋轉方向與時鐘指針的旋轉方向相同。

力矩 3

在₃ = (F₃)(r_CD 罪過90^o) = (20 N)(0,1 m)(1) = 2 Nm

力矩 3 為正，因為力矩 3 所引起的桿的旋轉方向是逆時針方向。

合力矩

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3,2 – 2 + 2

Στ = 3,2 牛頓米

正確答案是D。

轉動慣量

4. 觀察圖中兩個用導線連接的球。導線長度 = 12 米，l₁ 已知導線長度為 4 米，且導線的質量忽略不計，則該系統的轉動慣量大小為…

A. 52,6 kg m²

B. 41,6 kg m²

C. 34,6 kg m²

D. 22,4 kg m²

E. 20,4 kg m²

彭巴哈桑

已知 :

球 A 的質量 (m)_A) = 0,2 kg

球 B 的質量 (m)_B) = 0,6 kg

球 A 與旋轉軸之間的距離 (r)_A) = 4 米

球 B 與旋轉軸之間的距離 (r)_B) = 12 – 4 = 8 米

問 : 轉動慣量 （I）系統

Jawab :

球A的轉動慣量

I_A = (米_A)(r_A²) = (0,2)(4)² = (0,2)(16) = 3,2 kg m²

球B的轉動慣量

I_B = (米_B)(r_B²) = (0,6)(8)² = (0,6)(64) = 38,4 kg m²

粒子系統的轉動慣量 :

我=我_A +我_B = 3,2 + 38,4 = 41,6 kg m²

正確答案是 B。

牛頓第二定律（轉動定律）

5. 考慮下圖所示的均勻實心輪。一條繩子纏繞在輪子的邊緣，然後用 6 N 的力 F 拉動繩子的一端。若輪子的質量為 5 kg，半徑為 20 cm，則輪子的角加速度為…

A. 0,12 rad s ^{- 2}

B. 1,2 rad s ^{- 2}

C. 3,0 rad s ^{- 2}

D. 6,0 rad s ^{- 2}

E. 12,0 rad s ^{- 2}

彭巴哈桑

已知：

拉力 (F) = 6 牛頓

車輪質量 (M) = 5 kg

車輪半徑 (R) = 20 公分 = 20/100 公尺 = 0,2 米

問： 車輪的角加速度（α）

回答 ：

計算力矩：

τ = FR = (6 牛頓)(0,2 公尺) = 1,2 牛頓米

計算轉動慣量：

實心圓盤狀輪子的轉動慣量公式為 1/2 MR² = 1/2 (5 kg)(0,2 m)² = 1/2 (5 kg)(0,04 m²) = 1/2 (0,2) = 0,1 kg m².

利用旋轉動力學公式計算角加速度：

τ = 我 α

α = τ / I = 1,2 / 0,1 = 12 弧度·s^-2

正確答案是 E。

6. 一個質量為 8 公斤、半徑為 10 公分的實心圓盤滑輪纏繞在一條繩子的邊緣上，繩子的一端繫著一個 4 公斤的重物（g = 10 公尺/秒²）。^-2 負載向下運動的加速度為…

A. 2,5毫秒 ^{- 2}

B. 5,0毫秒 ^{- 2}

C. 10,0毫秒 ^{- 2}

D. 20,0毫秒 ^{- 2}

E. 33,3毫秒 ^{- 2}

彭巴哈桑

已知：

實心圓盤滑輪的質量 (m) = 8 kg

實心圓盤滑輪半徑 (r) = 10 公分 = 0,1 米

負載質量 (m) = 4 kg

重力加速度 (g) = 10 公尺/秒²²

負荷重量 (w) = mg = (4 kg)(10 m/s)²) = 40 kg m/s² = 40 牛頓

問： 負載向下運動的加速度

回答 ：

計算實心圓盤的轉動慣量：

I = 1/2 MR² = 1/2 (8 kg)(0,1 m)² = (4 kg)(0,01 m²) = 0,04 kg m²

計算力矩：

τ = F r = (40 N)(0,1 m) = 4 Nm

利用牛頓第二定律公式計算旋轉運動的角加速度：

Στ = I α

4 = 0,04 α

α = 4 / 0,04 = 100

計算重物向下運動的加速度：

a = r α = (0,1)(100) = 10 m/s²

正確答案是C。

7. 如圖所示，質量為 M、半徑為 R 的實心滑輪！一條無質量繩子的一端纏繞在滑輪上，繩子的另一端懸掛著質量為 m kg 的重物。若釋放重物，滑輪的角加速度為 (α)。如果將一塊質量為 1/2 M 的橡皮泥 A 連接到滑輪上，會產生什麼？ 必須使負載的角加速度保持一致…（滑輪慣性矩 = 1/2 MR）²)

A. 3/4 米公斤

B. 3/2 米公斤

C. 2米公斤

D. 3 米公斤

E. 4 公尺千克

彭巴哈桑

已知 :

負載質量 = m

載重重量 = w = mg

實心滑輪的質量 = M

實心滑輪半徑 = R

滑輪的角加速度 = α

問 :

如果滑輪的質量增加到 M + M/2 = 3M/2，滑輪的角加速度為 α，那麼負載的質量是多少？

Jawab :

不含橡皮泥的滑輪轉動慣量：

I = 1/2 MR² = 0,5 MR²

滑輪+橡皮泥的轉動慣量：

I = 1/2 (3M/2) R² = (3M/4) R² = 0,75M R²

力矩：

τ = FR

牛頓第二旋轉運動定律：

Στ = I α

w R = I α

mg R = I α

α = mg R / I

為了產生相同的角加速度，負載的質量必須…將公式 2 中的 α 替換為公式 1 中的 α：

正確答案是 B。

8 .. 圖中所示為一個實心滑輪，繩索纏繞在其外緣。忽略滑輪與繩索之間的摩擦以及旋轉軸處的摩擦。若負載以恆定加速度 a/s² 向下運動，則其運動速度為：^-2那麼，滑輪的轉動慣量等於…

A. I = τ α R

B. I = τ α^-1 R

C. I = τ a R

D. I = τ a^-1 R^-1

E. I = τ a R^-1

彭巴哈桑

已知：

力 = w = mg

力臂 = R

角加速度 = α

負載加速度 = a ms^-2

問： 滑輪的轉動慣量（I）

回答 ：

線加速度和角加速度的關係：

a = R α

α=a/R

轉動慣量用以下公式計算：

τ = 我 α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a^-1

沒有正確答案。

9. 如圖所示，一個由實心材料製成的滑輪外側纏繞著一條繩子。忽略滑輪的摩擦力。如果滑輪的轉動慣量 I = β，繩子受到恆力 F 的拉動，那麼 F 的值就等於…

A. F = α . β . R

B. F = α . β ² 。 [R

C. F = α . (β . R)^-1

D. F = α . β . (R)^-1

E. F = R . (α . β)^-1

彭巴哈桑

已知：

拉力 = F

滑輪的轉動慣量 = β

滑輪的角加速度 = α

滑輪半徑 = R

問： F值相當於…

回答 ：

牛頓第二定律關於旋轉運動的公式：

Στ = β α --- 公式 1

配方說明：

Στ = 合力矩（扭矩）

β = 轉動慣量

α = 角加速度

作用在滑輪上的合力矩：

Στ = FR ———-> 公式 2

配方說明：

F = 拉力

R = 力 F 的作用點到旋轉軸的距離 = 滑輪半徑

將等式 1 中的 Στ 替換為等式 2 中的 Στ：

Στ = β . α

F.R = β.α

F = (β . α) / R

F = β . α . (R^-1)

正確答案是D。

角動量

10 質量為 0,2 克的粒子做圓週運動，其角速度為 角速度 仍然 10 rad s^-1如果粒子運動路徑的半徑為 3 厘米，則粒子的角動量為…

A. 3 × 10 ^{- 7} 公斤米² s^-1

B. 9 × 10 ^{- 7} 公斤米² s^-1

C. 1,6 × 10 ^{- 6} 公斤米² s^-1

D. 1,8 × 10 ^{- 4} 公斤米² s^-1

E. 4,5 × 10 ^{- 3} 公斤米² s^-1

彭巴哈桑

已知：

粒子質量 (m) = 0,2 克 = 2 × 10^-4 kg

角速度 (ω) = 10 rad s^-1

粒子路徑半徑 (r) = 3 cm = 3 × 10^-2 米

問： 粒子的角動量

回答 ：

角動量公式：

L = I ω

說明：I = 角動量，I = 轉動慣量，ω = 角速度

質點的轉動慣量：

我 = 先生² =（2×10^-4 （3 x 10）^-2)² =（2×10^-4 （9 x 10）^-4) = 18 x 10^-8

角動量是：

L = I ω = (18 x 10^-8（10弧秒）^-1) = 18 x 10^-7 公斤米² s^-1

沒有正確答案。

11 一位舞者雙臂伸展至160公分處旋轉。然後，她將雙臂彎曲至肘部位置，長度為80公分。如果舞者的角速度不變，那麼她的線動量…

A. 仍然

B. 變成原尺寸的一半

C. 變成原尺寸的 3/4

D 變成原來的 2 倍

E 變成原來的 4 倍

彭巴哈桑

已知：

半徑 1 (r₁）= 160厘米

半徑 2 (r₂）= 80厘米

角速度 1 (ω₁) = ω

角速度 1 (ω₂) = ω

問： 線性動量

回答 ：

線速度 1：

v₁ = r₁ ω₁ = (160 公分) ω

線速度 2：

v₂ = r₂ ω₂ = (80 公分) ω

線性動量 1：

p = mv₁ = m (160 cm) ω

線性動量 2：

p = mv₂ = m (80 cm) ω

因此，線動量變成原來的 1/2。

正確答案是 B。

問題來源：

高中/職業高中國家考試物理試題