统计学中的克鲁斯卡尔-沃利斯检验
Kruskal-Wallis检验是一种非参数统计方法，用于比较三个或更多组之间的差异。在许多研究中，研究人员常常希望确定几个组在特定变量上的值是否存在显著差异。如果数据满足正态性和方差齐性的假设，单因素方差分析（ANOVA）通常是首选。然而，当这些假设不成立时——例如，数据不服从正态分布、存在极端异常值或测量尺度为序数尺度——Kruskal-Wallis检验则是一种强大且广泛使用的替代方法。
定义和基本概念
Kruskal-Wallis检验（通常写作Kruskal-Wallis H检验）是Mann-Whitney U检验的扩展，使其能够处理两个以上的组。其基本原理是比较数据的“秩”，而非实际值。由于它是基于秩的，因此该检验不需要数据服从正态分布，并且对异常值的影响相对较小。
直观地说，如果几个组的数据分布相同，则各组的数据排名将随机混合。相反，如果某些组的数据值偏高或偏低，则排名会聚集在一起，从而产生更大的检验统计量。
Kruskal-Wallis检验何时使用？
Kruskal-Wallis检验适用于以下情况：
1. 组数≥3，研究者想要比较各组中心位置（通常是中位数）的差异。
2. 数据不符合方差分析的假设，特别是残差的正态性假设。
3. 顺序数据尺度（例如满意度评分：从非常不满意到非常满意）或非正态区间/比率数据。
4. 独立样本，意味着一个组的成员与其他组的成员没有配对或关联。
举例来说：一位研究人员想使用 1-5 分的李克特量表比较三家不同医院的患者服务满意度。由于数据是有序的，因此 Kruskal-Wallis 检验是一个合适的选择。
Kruskal-Wallis检验的假设
尽管 Kruskal-Wallis 检验是非参数检验，但它仍然有几个重要的假设：
1. 观察独立性：每组数据必须来自不同的个体。
2. 响应变量必须至少是有序的：数据必须是可排序的。
3. 各组之间的分布形状应相似：如果分布形状差异很大，则解释这些差异会更加复杂。该检验通常被解释为中位数的差异，但只有在分布形状相似的情况下，中位数解释才是最合适的。
Kruskal-Wallis检验中的假设
在 Kruskal-Wallis 检验中，待检验的假设是：
– H0（零假设）：所有组的分布（或中位数）相同。
– H1（备择假设）：至少存在一个组的分布（或中位数）不同。
需要注意的是，当原假设H0被拒绝时，Kruskal-Wallis检验仅表明“存在差异”，但并未具体说明哪些组之间存在差异。这需要进行进一步的检验（事后检验）。
计算步骤
总而言之，Kruskal-Wallis检验的步骤如下：
1. 将所有组的数据合并。
2. 按数值从小到大排序。如果出现并列数值，则取平均排名。
3. 将各组的排名相加。
4. 计算检验统计量 H。
一般的H统计公式为：
\[
H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} – 3(N+1)
\]
凯特兰甘（Keterangan）：
– \(N\) = 所有观测值的总和
– \(k\) = 组数
– \(n_i\) = 第 i 组中的观测值数量
– \(R_i\) = 第 i 组中的排名数
然后将 H 值与自由度为 k-1 的卡方分布 (\(\chi^2\)) 进行比较。如果 p 值小于显著性水平（例如 0,05），则拒绝 H0。
示例
假设一位讲师想知道三种学习方法（A、B 和 C）在统计测试成绩上是否存在差异。收集数据后发现，由于存在多个极端值，这些分数并不服从正态分布。于是，这位讲师使用了 Kruskal-Wallis 检验。
如果检验结果显示 p 值为 0,01（小于 0,05），则可以得出结论：至少两种学习方法之间存在显著差异。然而，讲师尚不清楚方法 A 是否优于方法 B 或方法 C。这就需要进行事后分析。
Kruskal-Wallis 事后检验
如果 Kruskal-Wallis 检验结果显著，下一步是进行两两比较。一些常用的方法包括：
1. Dunn 检验：最常用于事后 Kruskal Wallis 检验。
2. 采用校正（Bonferroni、Holm 或 Benjamini-Hochberg）进行成对 Mann-Whitney 检验，以控制重复检验造成的误差。
此项修正的目的是防止因进行多次比较而增加 I 类错误（在没有差异的情况下声称存在差异）的概率。
效应量
除了显著性之外，许多现代研究还强调效应量，以帮助读者理解差异的大小。一些常与 Kruskal-Wallis 模型相关的效应量包括：
– 基于 H 的 Eta 平方 (η²):
\[
eta^2 = frac{H – k + 1}{N – k}
\]
– ε²（ε）作为一种更保守的替代方案。
效应量有助于解释差异是小、中还是大，而不仅仅是“显著与否”。
优势与局限性
克莱比汉
1. 不需要假设正态性。
2. 适用于有序数据。
3. 对异常值具有更强的鲁棒性，优于参数方法。
局限性
1. 不进行事后检验，无法显示哪些组之间存在差异。
2. 如果各组的分布形状相似，则以中位数差异来解释最为有效。
3. 如果实际数据是正态且同质的，则 ANOVA 可以更有效（更高的功效）。
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Kruskal-Wallis检验是推断统计学中的重要工具，尤其适用于研究者处理不符合参数方法假设的数据。该检验采用基于秩的方法，能够更灵活地比较三个或更多组数据，尤其适用于有序数据或非正态分布数据。然而，使用该检验仍需理解其假设、结果解释，并考虑事后分析以识别真正不同的组对。通过结合p值、效应量和适当的后续分析，Kruskal-Wallis检验能够在从健康、教育到商业和社会科学等众多研究领域得出稳健且相关的结论。
