Àwọn Ìpìlẹ̀ Àwọn Ìyípadà Àìròtẹ́lẹ̀
Nínú àwọn statistiki àti ìmòye ìṣeeṣe, àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ jẹ́ ọ̀kan lára àwọn èrò pàtàkì jùlọ, tí ó ń so àlàfo láàrín àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ àìròtẹ́lẹ̀ àti ìṣàyẹ̀wò ìṣirò tí a lè wọ̀n. Nípasẹ̀ àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀, a lè "túmọ̀" àwọn àbájáde ìdánwò àìròtẹ́lẹ̀—èyí tí ó ní àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ tàbí ẹ̀ka ní àkọ́kọ́—sí àwọn nọ́mbà tí a lè ṣe àgbékalẹ̀: ṣíṣírò àwọn ìṣeeṣe wọn, ṣíṣàkópọ̀ wọn pẹ̀lú àwọn àròpín, wíwọ̀n ìtúká wọn, àti ṣíṣe àwòkọ́ṣe wọn nípa lílo ìpínkiri pàtó kan. Àpilẹ̀kọ yìí jíròrò àwọn èrò ìpìlẹ̀ ti àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀, àwọn irú wọn, àti àwọn èrò pàtàkì bíi iṣẹ́ ìṣeeṣe, iṣẹ́ ìpínkiri àpapọ̀, iye tí a retí, àti ìyàtọ̀.
1. Kí ni oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀?
Ní ṣókí, oníyípadà aláìṣeéṣe jẹ́ iṣẹ́ kan tí ó ń ṣe àkójọ gbogbo àbájáde láti ààyè àpẹẹrẹ sí nọ́mbà gidi kan. Ààyè àpẹẹrẹ jẹ́ àkójọ gbogbo àbájáde tí ó ṣeéṣe ti ìdánwò àìṣeéṣe kan.
Fún àpẹẹrẹ, ká sọ pé a yí kúù onígun mẹ́fà. Ààyè àpẹẹrẹ náà ni {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A lè túmọ̀ onírúurú onípele-àìròtẹ́lẹ̀ \(X\) gẹ́gẹ́ bí “nọ́mbà tí ó hàn lórí kúù.” Lẹ́yìn náà \(X\) lè ní àwọn ìwọ̀n láti 1 sí 6, pẹ̀lú ìṣeéṣe dọ́gba tí kúù náà bá jẹ́ òdodo.
Àpẹẹrẹ mìíràn: a yí owó méjì padà. Ààyè àpẹẹrẹ náà ni {HH, HT, TH, TT}. Tí a bá túmọ̀ oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ \(Y\) gẹ́gẹ́ bí “iye àwọn orí (H) tí ó farahàn”, nígbà náà:
– HH → \(Y = 2\)
– HT → \(Y = 1\)
– TH → \(Y = 1\)
– TT → \(Y = 0\)
Níbí a rí i pé àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ kò ní láti “ṣàfihàn” àbájáde àkọ́kọ́ tààrà; wọ́n jẹ́ ọ̀nà láti fi àwọn iye nọ́mbà sí àwọn àbájáde àìròtẹ́lẹ̀ gẹ́gẹ́ bí àìní ìwádìí náà.
2. Àwọn oríṣiríṣi àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀: aláìlẹ́gbẹ́ àti aláìtẹ̀síwájú
Ni gbogbogbo, a pin awọn oniyipada laileto si awọn oriṣi akọkọ meji:
a) Àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ tí a yà sọ́tọ̀
Onírúurú onírúurú jẹ́ onírúurú onírúurú tí a lè kà ní ọ̀kọ̀ọ̀kan (tí a lè kà), nígbà gbogbo ní ìrísí àwọn odidi tàbí àkójọ àwọn iye pàtó kan.
Kókó:
– Iye awọn ọmọ ninu idile kan (0, 1, 2, 3, …)
– Iye awọn ọkọ ti n kọja nipasẹ ipo owo-wiwọle ni iṣẹju kan
– Iye awọn ohun ti o ni abawọn lati awọn ọja 10 ti a ṣe ayẹwo
Fún àwọn oníyípadà aláìlẹ́gbẹ́, ìṣeéṣe iye kọ̀ọ̀kan ni a lè fihàn tààrà ní ìrísí iṣẹ́ ibi-ìṣeéṣe kan.
b) Àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ tí ń tẹ̀síwájú
Onírúurú onírúurú onírúurú jẹ́ onírúurú onírúurú tí ó lè gba àwọn iye lórí ààrin onírúurú lórí ìlà nọ́mbà gidi (tí a kò lè kà), fún àpẹẹrẹ gbogbo àwọn iye láàrín 0 àti 1, tàbí gbogbo àwọn iye gidi rere.
Kókó:
– Gíga ènìyàn
– Àkókò ìdúró fún oníbàárà ní kàkàǹtì náà
– Iwọn otutu afẹfẹ ni wakati kan pato
Fún oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ tí ń bá a lọ, ìṣeeṣe ní ojú ìwé èyíkéyìí jẹ́ òdo. Nítorí náà, a ṣírò ìṣeeṣe náà lórí àwọn iye (fún àpẹẹrẹ, láàárín ìṣẹ́jú 10 àti 12), nípa lílo iṣẹ́ ìṣeeṣe iwuwo .
3. Awọn iṣẹ iṣeeṣe: PMF ati PDF
Èrò pàtàkì tó tẹ̀lé e ni bí ìṣeéṣe ṣe “sopọ̀ mọ́” iye oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ kan.
a) Iṣẹ́ Ibi-iṣẹ́ ìṣeeṣe (PMF)
Fún onírúúrú àìròtẹ́lẹ̀ onípele kan \(X\), a túmọ̀ PMF gẹ́gẹ́ bí:
\[
p(x) = P(X = x)
\]
pẹlu ipese ti:
1. \(p(x) \ge 0\) fún gbogbo \(x\)
2. \(\sum_x p(x) = 1\)
Àpẹẹrẹ tó rọrùn: ẹyẹ funfun
\[
P(X=k)=\frac{1}{6}, \quad k=1,2,3,4,5,6
\]
b) Iṣẹ́ Ìwúwo Ìṣẹ̀lẹ̀ (PDF)
Fún onírúúrú onípele tí ó ń bá a lọ, a lo PDF \(f(x)\) kí ìṣeéṣe lórí àlàfo \([a,b]\) lè jẹ́:
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^bf(x)\,dx
\]
pẹlu ipese ti:
1. \(f(x) \ge 0\)
2. \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\)
Ó yẹ kí a tẹnu mọ́: fún oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ tí ń bá a lọ, \(P(X=x)=0\) fún gbogbo iye \(x\). Ìṣeeṣe máa ń ní ìtumọ̀ nígbà gbogbo nígbà tí a bá ń sọ̀rọ̀ nípa àwọn ìwọ̀n.
4. Iṣẹ́ ìpínkiri àpapọ̀ (CDF)
Yálà ó yàtọ̀ tàbí ó ń tẹ̀síwájú, a lè ṣàpèjúwe àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ nípasẹ̀ iṣẹ́ ìpínkiri àpapọ̀ (CDF), èyí tí a túmọ̀ sí:
\[
F(x) = P(X \le x)
\]
CDF ni awọn ohun-ini pataki pupọ:
– Iye \(F(x)\) nigbagbogbo wa laarin 0 ati 1
– \(F(x)\) kò dínkù (kò dínkù)
– \(\lim_{x\to -\infty}F(x)=0\) àti \(\lim_{x\to\infty}F(x)=1\)
Fún àwọn oníyípadà tí ó yàtọ̀, CDF jẹ́ àwòrán “àtẹ̀gùn” (tí ó ń dìde ní àwọn ibi kan). Fún àwọn oníyípadà tí ń tẹ̀síwájú, CDF sábà máa ń jẹ́ dídán, ó sì jẹ́ àpapọ̀ PDF náà:
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
\]
5. Ìwọ̀n ìtẹ̀sí àárín: iye tí a retí (ìrètí)
Nígbà tí a bá ti mọ ìpínkiri ìṣeeṣe, a sábà máa ń fẹ́ láti ṣàkópọ̀ onírúurú àìròtẹ́lẹ̀ pẹ̀lú nọ́mbà kan ṣoṣo tí ó dúró fún “ìwọ̀n àròpín ìgbà pípẹ́” rẹ̀. Èyí ni iye tàbí ìfojúsùn tí a retí.
a) Awọn ireti oniyipada oriṣiriṣi
Tí \(X\) bá jẹ́ aláìlẹ́gbẹ́:
\[
E[X] = \sum_x x\,p(x)
\]
b) Ìfojúsùn àwọn oníyípadà tí ń tẹ̀síwájú
Tí \(X\) bá ń bá a lọ:
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx
\]
Ìfojúsùn kìí ṣe pé “ìníyelórí tí ó sábà máa ń ṣẹlẹ̀” (ipò) ni a máa ń retí, kìí sìí ṣe pé ó sábà máa ń ṣẹlẹ̀ ní tòótọ́, ṣùgbọ́n ó wúlò fún ṣíṣe ìpinnu, sísọ àsọtẹ́lẹ̀, àti ìwádìí ewu.
Àpẹẹrẹ ìlò: Nínú iṣẹ́ ajé, a lè lo àwọn ìfojúsùn láti ṣírò èrè tí a retí nínú ètò kan, ní gbígbé àwọn ipò àti ìṣeeṣe wọn yẹ̀wò.
6. Àwọn ìwọ̀n ìtúká: ìyàtọ̀ àti ìyàtọ̀ ìpele
Àwọn oníyípadà méjì tí a kò lè fojú rí lè ní ìfojúsùn kan náà ṣùgbọ́n wọ́n ní àwọn ìpele àìdánilójú tó yàtọ̀ síra. Nítorí náà, a nílò àwọn ìwọ̀n ìtúká, èyí ni ìyàtọ̀ àti ìyàtọ̀ standard.
A túmọ̀ ìyàtọ̀ \(X\) gẹ́gẹ́ bí:
\[
Var(X)=E[(XE[X])^2]
\]
Ìyàtọ̀ boṣewa ni gbòǹgbò onígun mẹ́rin ti ìyàtọ̀ náà:
\[
\sigma = \sqrt{Var(X)}
\]
Àwọn fọ́múlá tó wúlò tí a sábà máa ń lò:
\[
Var(X) = E[X^2] – (E[X])^2
\]
Bí ìyàtọ̀ náà bá ṣe pọ̀ tó, bẹ́ẹ̀ náà ni ìtànkálẹ̀ àwọn iye (X\) láti àárín gbùngbùn ṣe pọ̀ tó, èyí tó túmọ̀ sí àìdánilójú tó ga jù.
7. Àwọn ìpínkiri ìṣeeṣe tí a sábà máa ń lò
Ní ìṣe, ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn oníyípadà tí a kò lè ṣe àtúnṣe máa ń tẹ̀lé àwọn ìlànà ìpínkiri kan. Àwọn ìpínkiri tí ó gbajúmọ̀ ni:
– Bernoulli: àbájáde méjì (àṣeyọrí/àìkùnà), fún àpẹẹrẹ òótọ́-èké, alààyè-kú.
– Binomial: iye awọn aṣeyọri lati awọn idanwo Bernoulli, fun apẹẹrẹ nọmba awọn ọmọ ile-iwe ti o pari ẹkọ lati eniyan 20.
– Poisson: iye awọn iṣẹlẹ ni akoko/aaye kan, fun apẹẹrẹ nọmba awọn ipe ti nwọle fun iṣẹju kan.
– Ilọsiwaju deedee: gbogbo awọn iye ti o wa ninu aarin naa ṣee ṣe bakanna.
– Deede (Gaussian): ọpọlọpọ awọn iṣẹlẹ adayeba ati awujọ lo n sunmọ pinpin yii, gẹgẹbi aṣiṣe giga tabi wiwọn.
Yíyan ìpínkiri tó tọ́ ń ran àwòṣe àti ìṣàyẹ̀wò lọ́wọ́ láti di ohun tó péye síi.
8. Kí ló dé tí àwọn oníyípadà tí a kò lè rí ṣe pàtàkì?
Awọn oniyipada lairotẹlẹ ni ipilẹ fun:
– Àwọn statistiki ìfòyemọ̀: ìṣirò àwọn pàrámítà iye ènìyàn tí ó dá lórí àwọn àpẹẹrẹ
– Idanwo Àròjinlẹ̀: pinnu boya ibeere kan ni a ṣe atilẹyin nipasẹ data
- Ẹkọ ẹrọ: aidaniloju awoṣe ati iṣeeṣe asọtẹlẹ
- Iṣakoso Ewu: wiwọn iṣeeṣe ti awọn adanu ati awọn ipo ti o buruju
– Imọ-ẹrọ ati imọ-jinlẹ: sisẹ ifihan agbara, igbẹkẹle eto, imọran isinyi
Pẹ̀lú àwọn oníyípadà tí a kò lè ṣe láìròtẹ́lẹ̀, a ní èdè ìṣirò láti sọ̀rọ̀ nípa àìdánilójú ní ọ̀nà tí a gbà ń sọ̀rọ̀ nípa rẹ̀.
Ipari
Onírúurú onírúurú jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣeéṣe tí ó ń ṣe àfihàn àwọn àbájáde àwọn ìwádìí àìròtẹ́lẹ̀ sí àwọn iye nọ́mbà. Àwọn onírúurú onírúurú lè jẹ́ aláìlẹ́gbẹ́ tàbí aláìlẹ́gbẹ́, ọ̀kọ̀ọ̀kan sì ní ọ̀nà ọ̀tọ̀ọ̀tọ̀ láti ṣe àfihàn àwọn ìṣeéṣe nípasẹ̀ PMF tàbí PDF. Jù bẹ́ẹ̀ lọ, CDF pèsè ọ̀nà tí ó wọ́pọ̀ láti wo ìkójọpọ̀ àwọn ìṣeéṣe. Láti ṣàkópọ̀ ìpínkiri kan, a lo ìfojúsùn gẹ́gẹ́ bí ìwọ̀n ìtẹ̀sí àárín àti ìyàtọ̀/ìyàtọ̀ ìwọ̀n gẹ́gẹ́ bí ìwọ̀n ìtúká. Lílóye àwọn èrò ìpìlẹ̀ wọ̀nyí yóò mú kí a kọ́ àwọn kókó ọ̀rọ̀ tí ó ti tẹ̀síwájú bíi ìpínkiri ìṣeéṣe, ìṣirò ìṣirò, ìpadàsẹ̀yìn, àti àpẹẹrẹ ewu àti ìwádìí dátà òde òní.
Tí o bá fẹ́, mo tún lè fi àpẹẹrẹ ìbéèrè àti ìjíròrò wọn kún un (láìsí ìyípadà àti àìtẹ̀léra) láti jẹ́ kí èrò àwọn oníyípadà àìròtẹ́lẹ̀ rọrùn láti lóye.
