Ọ̀nà Least Squares: Ìfihàn àti Lílò nínú Ìṣàyẹ̀wò Dátà
Pendahuluan
Ọ̀nà Least Squares jẹ́ ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà ìpìlẹ̀ àti ọ̀nà tí a ń lò jùlọ nínú ìṣàyẹ̀wò dátà, pàápàá jùlọ nínú àwọn statistiki àti ìmọ̀ ìṣirò tí a lò. Ọ̀nà yìí ń fẹ́ láti ṣe ìṣirò àwọn pàrámítà tí ó dín àròpọ̀ àwọn párámítà ti àwọn ìyàtọ̀ tí a rí láti inú àwòṣe tí a dábàá kù. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àwárí àwọn èrò ìpìlẹ̀ ti ọ̀nà least squares, àwọn ìlò rẹ̀ ní onírúurú ẹ̀ka, àti àwọn ìgbésẹ̀ tí ó wúlò fún mímú un ṣẹ.
Àwọn Ìpìlẹ̀ Ìlànà Ọ̀nà Àwọn Onígun Méjì
A le ṣe àlàyé ọ̀nà Least Squares nípasẹ̀ ìfàsẹ́yìn ìlà. Ká sọ pé a ní dátà ní ìrísí àwọn méjì-méjì \((x_i, y_i)\) níbi tí \(i = 1, 2, …, n \). A le ṣe àfihàn àwòrán ìlà tí a fẹ́ kọ́ gẹ́gẹ́ bí:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \]
níbi tí \( \beta_0 \) àti \( \beta_1 \) jẹ́ àwọn pàrámítà tí a fẹ́ ṣe ìṣirò rẹ̀, nígbàtí \( \epsilon \) jẹ́ àṣìṣe tàbí àṣẹ́kù tí a retí pé yóò ní àròpọ̀ òdo.
Ète ti ọna ti o kere ju onigun mẹrin ni lati dinku iṣẹ ifọkansi atẹle yii:
\[ S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i)^2 \]
Wiwa Awọn Paramita Ti o dara julọ: Ọna Iṣiro kan
Láti rí àwọn iye paramita tí ó dín iṣẹ́ àfojúsùn kù \(S \), a nílò láti ṣírò àwọn ohun tí ó jẹ́ apa kan ti \(S \) ní ìbámu pẹ̀lú \( \beta_0 \) àti \( \beta_1 \), lẹ́yìn náà a ó yanjú ìṣirò wọ̀nyí:
\[ \frac{\partial S}{\partial \beta_0} = -2 \sum_{i=1}^n (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i) = 0 \]
\[ \frac{\partial S}{\partial \beta_1} = -2 \sum_{i=1}^n x_i (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i) = 0 \]
Nípa yíyanjú ètò àwọn ìdọ́gba ìlà yìí, a lè rí àwọn olùṣirò \(\hat{\beta_0}\) àti \(\hat{\beta_1}\):
\[ \hat{\beta_1} = \frac{n \sum_{i=1}^n x_i y_i – \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n y_i}{n \sum_{i=1}^n x_i^2 – (\sum_{i=1}^n x_i)^2} \]
\[ \hat{\beta_0} = \bar{y} – \hat{\beta_1} \bar{x} \]
níbi tí \(\bar{y}\) àti \(\bar{x}\) jẹ́ àròpín ti \(y\) àti \(x\) ní ìtẹ̀léra.
Lilo Ọna Awọn Onigun Meji
1. Ọrọ̀ ajé àti Ìnáwó
Ọ̀nà tí a ń lò fún àwọn onípele kékeré ni a ń lò nínú ìmọ̀ nípa ètò ọrọ̀ ajé láti fi ṣe àpẹẹrẹ ìbáṣepọ̀ láàárín àwọn onípele ọrọ̀ ajé. Fún àpẹẹrẹ, onípele ọrọ̀ ajé lè fẹ́ láti fi ṣe àpẹẹrẹ ipa tí ìwọ̀n àìníṣẹ́ lórí ìfàsẹ́yìn. Nípa lílo ọ̀nà tí a ń lò fún àwọn onípele kékeré, onípele kékeré lè ṣe àgbékalẹ̀ àpẹẹrẹ ìpadàsẹ́yìn kan tí ó so àwọn onípele méjì pọ̀ kí ó sì ṣe àwọn àbájáde ìṣirò nípa agbára àti ìrísí ìbáṣepọ̀ náà.
2. Àwọn ìmọ̀ nípa àwùjọ
Nínú ìmọ̀ nípa àwùjọ, a sábà máa ń lo ọ̀nà tí a ń gbà lo àwọn ohun tí kò tó nǹkan nínú ìwádìí àti ìwádìí nípa ọpọlọ láti kẹ́kọ̀ọ́ nípa ìbáṣepọ̀ láàárín ìwà ènìyàn àti àwọn ohun mìíràn. Àpẹẹrẹ pàtàkì kan ni ìfàsẹ́yìn onílà tí ó rọrùn tí ó so ìpele ayọ̀ ẹnìkọ̀ọ̀kan pọ̀ mọ́ owó tí ó ń wọlé fún wọn lọ́dọọdún.
3. Ìmọ̀-ẹ̀rọ
Nínú ìmọ̀ ẹ̀rọ, a lè lo ọ̀nà tó kéré jùlọ fún ìṣàtúnṣe ohun èlò àti ìṣiṣẹ́ àmì. Fún àpẹẹrẹ, nínú ìṣiṣẹ́ àwòrán oní-nọ́ńbà, a ń lo ọ̀nà yìí láti dín ariwo nínú àwọn àwòrán kù nípa fífi àwòrán kan sí ipò tí a ti rí dátà.
4. Ìmọ̀ nípa ojú ọjọ́ àti ojú ọjọ́
Àwọn onímọ̀ nípa ojú ọjọ́ máa ń lo ọ̀nà yìí láti ṣe àgbéyẹ̀wò àwọn ìwífún tó ní í ṣe pẹ̀lú iwọ̀n otútù, òjò, tàbí àwọn ohun mìíràn tó ń yí ojú ọjọ́ padà. Pẹ̀lú àwọn àpẹẹrẹ ìyípadà, wọ́n lè sọ àsọtẹ́lẹ̀ nípa àwọn ìrísí ojú ọjọ́ ní ìbámu pẹ̀lú ìwífún ìtàn, èyí tó ń ran wọ́n lọ́wọ́ láti ṣẹ̀dá àwọn àsọtẹ́lẹ̀ tó péye jù.
Iṣe ti o wulo pẹlu Python
Láti lo ọ̀nà tí ó kéré jùlọ ní ìlò, pàápàá jùlọ ìfàsẹ́yìn ìlà tí ó rọrùn, a lè lo èdè Python programming Èdè pẹ̀lú ìrànlọ́wọ́ àwọn ìkàwé `numpy` àti `matplotlib`. Àpẹẹrẹ kódù kan nìyí tí ó ṣàfihàn ìlànà yìí:
"'Python
gbe numpy wọle bi np
gbe wọle matplotlib.pyplot bi plt
Àyẹ̀wò dátà
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array ([2, 3, 5, 7, 11])
Àròpọ̀ ti x àti y
mean_x = np.mean(x)
mean_y = np.mean(y)
Ṣíṣirò àwọn pàrámítà
nọ́mbà = np.sum((x – mean_x) (y – mean_y))
iyeida = np.sum((x – mean_x) 2)
b1 = olùpín / olùpín
b0 = mean_y – b1 mean_x
Àsọtẹ́lẹ̀ y
y_pred = b0 + b1 x
Àwọn àbájáde ìtàn náà
plt.scatter(x, y, àwọ̀='blue', label='Dáta Àkíyèsí')
plt.plot(x, y_pred, awọ='pupa', label='Ìlà Ìfàsẹ́yìn')
plt.xlabel('x')
àmì plt.ylabel('y')
plt.arosọ()
plt.fihan ()
ìtẹ̀jáde(f”Àwọn iye ìfàsẹ́yìn: b0 = {b0}, b1 = {b1}”)
““
Ipari
Ọ̀nà tí a gbà ń lo àwọn onípele kékeré jẹ́ ìpìlẹ̀ tó lágbára àti pàtàkì nínú ìṣirò àti ìṣàyẹ̀wò dátà. Agbára rẹ̀ láti dín àṣìṣe kù àti láti mú kí ó báramu nínú àwọn àpẹẹrẹ mú kí ó wúlò gidigidi ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ ẹ̀ka, láti inú ètò ọrọ̀ ajé sí ìmọ̀ ẹ̀rọ àti ìmọ̀ nípa àwùjọ. Bó tilẹ̀ jẹ́ pé èrò ìpìlẹ̀ náà rọrùn, a lè fa ọ̀nà náà sí àwọn àpẹẹrẹ tó díjú bíi ìfàsẹ́yìn tí kì í ṣe ti ìlà, àwọn àpẹẹrẹ onírúurú ipa, àti ẹ̀kọ́ ẹ̀rọ. Pẹ̀lú òye tó dára nípa ọ̀nà àwọn onípele kékeré àti ìṣe tó tó, a lè mú kí ìṣàyẹ̀wò dátà wa sunwọ̀n sí i, kí a sì ṣe àwọn ìpinnu tó dá lórí ìmọ̀.
Mo nireti pe nkan yii pese akopọ ti o han gbangba ati ti o kun fun gbogbo ọna ti o kere ju onigun mẹrin ati awọn ohun elo rẹ.
