Àwọn Ọ̀nà Ìdánilójú Ìṣirò
Ẹ̀rí nínú ìmọ̀ ìṣirò ni ó wà ní ọkàn ẹ̀kọ́ yìí. Àwọn ọ̀nà ìjẹ́rìí ni ìpìlẹ̀ fún rírí i dájú pé òótọ́ ni gbólóhùn ìṣirò kan. Láti àwọn àbá ìpìlẹ̀ títí dé ìparí, ìgbésẹ̀ kọ̀ọ̀kan gbọ́dọ̀ jẹ́ èyí tó wúlò. Lílóye onírúurú ọ̀nà ìjẹ́rìí kì í ṣe pé ó ń fún àwọn ọgbọ́n ìṣàyẹ̀wò lágbára nìkan, ó tún ń mú kí ìrírí ẹ̀kọ́ àti lílo ìmọ̀ ìṣirò pọ̀ sí i ní onírúurú ẹ̀ka.
Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò díẹ̀ lára àwọn ọ̀nà ìjẹ́rìí pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò, títí bí ìjẹ́rìí tààrà, ìjẹ́rìí tààrà (ìdàrúdàpọ̀ àti ìdàrúdàpọ̀), ìfàmọ́ra ìṣirò, àti ìjẹ́rìí nípasẹ̀ àpẹẹrẹ pàtó. Ọ̀nà kọ̀ọ̀kan ní àwọn ọ̀nà ìlò, agbára, àti àìlera tó yàtọ̀ síra. Ẹ jẹ́ kí a ṣe àwárí wọn ní ìjìnlẹ̀ síi.
1. Ẹ̀rí tààrà
Ìtumọ̀ àti Àwọn Àpẹẹrẹ
Ẹ̀rí tààrà ni ọ̀nà tí a fi ń fi ẹ̀rí hàn nípa fífihàn pé tí àwọn èrò (àwọn èrò) bá jẹ́ òótọ́, ìparí ọ̀rọ̀ náà jẹ́ òótọ́ pẹ̀lú. Nínú ẹ̀rí tààrà, a sábà máa ń bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú ohun tí a mọ̀, a sì máa ń lo àwọn ìgbésẹ̀ tó bọ́gbọ́n mu láti dé ìparí ọ̀rọ̀ náà.
Kókó:
Fi hàn pé tí \(n\) bá jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba, nígbà náà \(n^2\) náà jẹ́ tó dọ́gba.
Ẹ̀rí:
Ká sọ pé \(n\) jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba. Lẹ́yìn náà, gẹ́gẹ́ bí ìtumọ̀ nọ́mbà tó dọ́gba, a lè kọ ọ́ pé \(n = 2k\) fún nọ́mbà odidi kan \(k\). Nítorí náà,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Ó ṣe kedere pé \(n^2\) le jẹ́ ìlọ́po méjì fún nọ́mbà kan (ìyẹn ni \(2k^2\)). Nítorí pé ohun pàtàkì tí a nílò fún nọ́mbà kan tí ó dọ́gba ni pé a lè sọ ọ́ ní ìlọ́po méjì fún nọ́mbà kan, nígbà náà \(n^2\) náà jẹ́ nọ́mbà kan tí ó dọ́gba.
2. Ẹ̀rí tí kò ṣe tààrà
Ẹ̀rí tí kò ṣe tààrà ní ọ̀nà méjì pàtàkì: ẹ̀rí nípasẹ̀ àtakò àti ẹ̀rí nípasẹ̀ àtakò.
a. Ẹ̀rí Ìtakora
Ìtumọ̀ àti Àwọn Àpẹẹrẹ
Ọ̀nà yìí ní í ṣe pẹ̀lú fífi ẹ̀rí hàn gbólóhùn tó ní ìtumọ̀ náà “tí ó bá jẹ́ \(P\), lẹ́yìn náà \(Q\)” nípa fífi ẹ̀rí hàn pé gbólóhùn náà lòdì sí: “tí kò bá jẹ́ \(Q\), nígbà náà kì í ṣe \(P\)”.
Kókó:
Fi hàn pé tí \(n^2\) bá jẹ́ ohun àjèjì, nígbà náà \(n\) náà jẹ́ ohun àjèjì.
Ẹ̀rí:
Ìtakora gbólóhùn náà ni: Tí \(n\) kò bá jẹ́ ohun àjèjì (tàbí ohun àjèjì), nígbà náà \(n^2\) kì í ṣe ohun àjèjì (tàbí ohun àjèjì).
Ká sọ pé \(n\) jẹ́ dọ́gba, nígbà náà \(n = 2k\) fún nọ́ńbà \(k\). Nítorí náà,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Èyí túmọ̀ sí wípé \(n^2\) jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba. Nítorí náà, a ti fi ẹ̀rí hàn pé àwọn ohun tó lòdì sí i wà, a sì tún fi ìdánilójú sọ pé òótọ́ ni gbólóhùn àkọ́kọ́ náà.
b. Ẹ̀rí nípasẹ̀ Àtakò
Ìtumọ̀ àti Àwọn Àpẹẹrẹ
Ìjẹ́rìí nípasẹ̀ ìtakora túmọ̀ sí gbígbà pé gbólóhùn tí a fẹ́ fihàn jẹ́ èké àti fífihàn pé èrò yìí yọrí sí ìtakora tí ó bọ́gbọ́n mu.
Kókó:
Fi hàn pé nọ́mbà àìlóye ni \(\sqrt{2}\) jẹ́.
Ẹ̀rí:
Ká sọ pé, dípò bẹ́ẹ̀, \(\sqrt{2}\) jẹ́ nọ́mbà onírònú. Lẹ́yìn náà, \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), níbi tí \(a\) àti \(b\) jẹ́ àwọn nọ́mbà odidi pàtàkì (ìyọkúrò náà jẹ́ 1), àti \(b \ne 0\). Nítorí náà, a lè kọ:
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
Láti inú ìṣètò yìí, a rí i pé \(a^2\) jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba, èyí tó túmọ̀ sí wípé \(a\) gbọ́dọ̀ jẹ́ dọ́gba pẹ̀lú. Ká sọ pé \(a = 2k\), a ní:
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
Níwọ́n ìgbà tí \(b^2\) jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba, nígbà náà \(b\) gbọ́dọ̀ jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba. Èyí túmọ̀ sí wípé \(a\) àti \(b\) jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba, èyí tó tako èrò ìpilẹ̀ṣẹ̀ pé \(\frac{a}{b}\) wà ní ọ̀nà tó rọrùn jùlọ. Nítorí náà, \(\sqrt{2}\) kò lè jẹ́ nọ́mbà tó dọ́gba, nítorí náà ó jẹ́ àìlóye.
3. Ìfàsẹ́yìn Ìṣirò
Ìtumọ̀ àti Àwọn Àpẹẹrẹ
Ìṣíṣe ìṣirò jẹ́ ọ̀nà ìjẹ́rìí tí a ń lò láti fi ẹ̀rí àwọn gbólóhùn tí ó ní àwọn nọ́ńbà odidi hàn. Ìlànà náà ní ìgbésẹ̀ méjì: ìpìlẹ̀ ìṣíṣe àti ìgbésẹ̀ ìṣíṣe.
Kókó:
Fi hàn pé àròpọ̀ àwọn ìlà àkọ́kọ́ ti àwọn nọ́ńbà nọ́ńbà \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Ẹ̀rí:
– Ìpìlẹ̀ Induction:
Fún \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
atunse.
– Awọn Igbesẹ Induction:
Ká gbà pé gbólóhùn náà jẹ́ òótọ́ fún nọ́mbà \(k\). Ìyẹn ni pé,
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
A ní láti fihàn pé ó tún jẹ́ òótọ́ fún \(k + 1\). A fi \((k + 1)\) kún àwọn ẹ̀gbẹ́ méjèèjì ti ìṣirò náà:
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Nítorí náà, gbólóhùn náà jẹ́ òótọ́ fún \(k + 1\). Nítorí náà, nípa ìlànà ìfàsẹ́yìn ìṣirò, gbólóhùn náà jẹ́ òótọ́ fún gbogbo àwọn nọ́ńbà odidi rere \(n\).
4. Ẹ̀rí pẹ̀lú Àwọn Àpẹẹrẹ Pàtàkì
Ìtumọ̀ àti Àwọn Àpẹẹrẹ
Ọ̀nà yìí ní í ṣe pẹ̀lú fífi ẹ̀rí hàn nípa yíyan àwọn àpẹẹrẹ pàtó tí ó bá gbogbo àwọn ìlànà tí a fi lélẹ̀ nínú gbólóhùn náà mu, tí ó sì fi hàn pé gbólóhùn náà jẹ́ òótọ́. Síbẹ̀síbẹ̀, a sábà máa ń lo ọ̀nà yìí láti fi ẹ̀rí hàn pé gbólóhùn náà jẹ́ èké.
Kókó:
Fi hàn pé àwọn nọ́mbà kan wà tí a kò lè sọ gẹ́gẹ́ bí àròpọ̀ àwọn onígun mẹ́rin méjì tí ó pé.
Ẹ̀rí:
Gbìyànjú láti lo àpẹẹrẹ \(3\):
Ká sọ pé a lè fi \(3\) hàn gẹ́gẹ́ bí àròpọ̀ àwọn onígun mẹ́rin pípé méjì, èyí ni \(a^2 + b^2 = 3\). Lẹ́yìn tí a bá ti gbìyànjú gbogbo àpapọ̀ àwọn odidi \(a\) àti \(b\),
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (kò ṣeéṣe).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (kò ṣeéṣe).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (kò ṣeéṣe).
4. Àwọn nọ́mbà òdì tàbí àwọn nọ́mbà tó ju méjì lọ kò ṣeé ṣe pẹ̀lú.
Èyí fihàn pé \(3\) kò le ṣe àfihàn gẹ́gẹ́ bí àròpọ̀ àwọn nọ́mbà onígun méjì. Nítorí náà, àwọn nọ́mbà kan wà tí a kò le ṣe àfihàn gẹ́gẹ́ bí àròpọ̀ àwọn nọ́mbà onígun méjì pípé.
Ipari
Àwọn ẹ̀rí nínú ìmọ̀ ìṣirò nílò onírúurú ọ̀nà àti ìgbésẹ̀ oníṣètò, ó sinmi lórí irú gbólóhùn tí a fi hàn. Ẹ̀rí taara, ẹ̀rí àìtaara (àtakò àti ìtakora), ìfàmọ́ra ìṣirò, àti àwọn àpẹẹrẹ pàtàkì ni díẹ̀ lára àwọn ọ̀nà ẹ̀rí pàtàkì tí a lò ní onírúurú ipò. Lílóye àwọn ọ̀nà wọ̀nyí yóò fún àwọn ìpìlẹ̀ ìṣirò lágbára sí i, yóò sì ràn ọ́ lọ́wọ́ láti ṣe àwárí jinlẹ̀ sí i nípa onírúurú ẹ̀ka ìṣirò.
Pẹ̀lú ìdánrawò àti òye jíjinlẹ̀, àwọn ọ̀nà ìdánilójú ìṣirò yóò di ohun èlò kan tí yóò máa wà ní ìmúrasílẹ̀ nígbà gbogbo láti lo láti yanjú àwọn ìṣòro ìṣirò dídíjú.
