Àwọn Ìpìlẹ̀ ti Ìmọ̀ Ẹgbẹ́
Ìmọ̀ nípa ẹgbẹ́ jẹ́ ẹ̀ka ìṣirò tí ó ń kẹ́kọ̀ọ́ nípa àwọn ìṣètò aljebra tí a mọ̀ sí àwọn ẹgbẹ́. Àwọn ẹgbẹ́ jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò, tí ó ń farahàn ní onírúurú ẹ̀ka bíi aljebra, geometry, ìmọ̀ nípa nọ́mbà, àti fisiksi. Àpilẹ̀kọ yìí ní èrò láti pèsè àkópọ̀ ìpìlẹ̀ ti ìmọ̀ nípa ẹgbẹ́, tí ó ń jíròrò ìtumọ̀, àpẹẹrẹ, àti àwọn ìlò ti èrò náà.
Ìtumọ̀ Ẹgbẹ́
Ẹgbẹ́ kan jẹ́ àkójọpọ̀ \(G\) tí a fi iṣẹ́ onípele méjì ṣe tí ó sì tẹ́ àwọn ànímọ́ pàtàkì mẹ́rin wọ̀nyí lọ́rùn:
1. Ìparí: Fún gbogbo \(a, b \in G\), àbájáde iṣẹ́ náà \(ab\) náà wà nínú \(G\).
2. Ìbáṣepọ̀: Fún gbogbo \(a, b, c \in G\), ó kan \((ab) c = a (bc)\).
3. Ẹ̀yà Ìdámọ̀: Ẹ̀yà kan wà tó jẹ́ pé fún gbogbo \(a \in G\), \(ea = ae = a\) ló yẹ kó wà.
4. Ẹ̀yà ìyípadà: Fún gbogbo \(a \in G\), ẹ̀yà kan wà \(b \in G\) irú èyí tí \(ab = ba = e\), níbi tí \(e\) jẹ́ ẹ̀yà ìdámọ̀.
Tí set \(G\) àti iṣẹ́ \(\) bá tẹ̀lé àwọn ànímọ́ mẹ́rin wọ̀nyí, nígbà náà ni a ó sọ pé \((G, )\) jẹ́ ẹgbẹ́ kan.
Àwọn Àpẹẹrẹ Ẹgbẹ́
Àwọn odidi pẹ̀lú Àfikún
Àkójọ àwọn nọ́ńbà \(\mathbb{Z}\) pẹ̀lú iṣẹ́ àfikún (\(+\)) ń ṣe àkójọ kan.
– Ti pari: Fifi awọn nọmba nọ́mbà kún un máa ń mú gbogbo nọ́mbà jáde.
– Àjọṣepọ̀ : \((a + b) + c = a + (b + c)\) fún gbogbo \(a, b, c \in \mathbb{Z}\).
– Ẹ̀yà Ìdámọ̀: Ẹ̀yà ìdámọ̀ náà jẹ́ 0, nítorí \(a + 0 = 0 + a = a\) fún gbogbo \(a \in \mathbb{Z}\).
– Ẹ̀yà Ìyípadà: Gbogbo nọ́ńbà nọ́ńbà \(a\) ní ìyípadà kan, èyí ni \(-a\) nítorí \(a + (-a) = -a + a = 0\).
Àwọn nẹ́ẹ̀tì Módùlù n
Àkójọpọ̀ \(\mathbb{Z}_n\) tí ó ní àwọn nọ́mbà \( \{0, 1, …, n-1\} \) pẹ̀lú àfikún modulu \(n\) náà ń ṣe àkójọpọ̀ kan.
– Ti pari: Àròpọ̀ modulu \(n\) ti awọn eroja meji ninu \(\mathbb{Z}_n\) jẹ eroja kan ninu \(\mathbb{Z}_n\).
– Alábàáṣepọ̀: Àfikún modulu \(n\) tẹ́ ohun ìní associative lọ́rùn.
– Ẹ̀yà Ìdámọ̀: Ẹ̀yà ìdámọ̀ náà jẹ́ 0.
– Ẹ̀yà Ìyípadà: Fún gbogbo ẹ̀yà \(a \in \mathbb{Z}_n\), ìyípadà rẹ̀ ni \(na\).
Matrix pẹlu Isodipupo Matrix
Àkójọ gbogbo àwọn matrices onígun mẹ́rin \( 2 \times 2 \) tí a lè yí padà nípasẹ̀ iṣẹ́ ìṣọ̀pọ̀ matrix náà tún para pọ̀ di ẹgbẹ́ kan, tí a ń pè ní ẹgbẹ́ onílà gbogbogbò \(GL(2, \mathbb{R})\).
– Ti a ti pa: Isọdipọ awọn matrices invertible meji n mu matrix kan jade ti o tun jẹ invertible.
– Ìbáṣepọ̀: Ìsọdipúpọ̀ Matrix jẹ́ ìbáṣepọ̀.
– Ẹ̀yà Ìdámọ̀: Ẹ̀yà ìdámọ̀ ni matrix ìdámọ̀, èyí ni \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
– Ẹ̀yà Ìyípadà: Gbogbo matrix tí a lè yí padà ní ìyípadà, èyí ni matrix tí ó tẹ́ \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\) lọ́rùn.
Àwọn Irú Àwọn Ẹgbẹ́
Ẹgbẹ́ Abelian
Ẹgbẹ́ abelian, tàbí ẹgbẹ́ commutative, jẹ́ ẹgbẹ́ kan nínú èyí tí iṣẹ́ binary náà tún ń tẹ́ ohun ìní commutative lọ́rùn, ìyẹn ni, \(ab = ba\) fún gbogbo \(a, b \in G\). Àpẹẹrẹ àwọn ẹgbẹ́ abelian ni \((\mathbb{Z}, +)\) àti \((\mathbb{R}, +)\).
Ẹgbẹ́ Ayíká
Àwọn ẹgbẹ́ oníyípo jẹ́ àwọn ẹgbẹ́ tí a lè ṣẹ̀dá nípasẹ̀ ohun kan ṣoṣo. Ìyẹn ni pé, ohun kan wà \(a \in G\) tí ó fi jẹ́ pé gbogbo ohun kan nínú \(G\) ni a lè kọ ní fọ́ọ̀mù \(a^n\) fún odidi \(n\). Àpẹẹrẹ ẹgbẹ́ oníyípo ni \((\mathbb{Z}_n, +)\).
Àwọn Ànímọ́ Àwọn Ẹgbẹ́
Ẹgbẹ-ẹgbẹ
Ẹgbẹ́ kékeré jẹ́ ẹgbẹ́ kékeré kan nínú ẹgbẹ́ kan tí ó tún jẹ́ ẹgbẹ́ kan pẹ̀lú iṣẹ́ kan náà. Fún àpẹẹrẹ, àkójọ àwọn nọ́mbà tó jọra jẹ́ ẹgbẹ́ kékeré kan nínú àkójọ àwọn nọ́mbà odidi.
Àṣẹ Ẹgbẹ́ àti Àṣẹ Àwọn Ohun Èlò
Ìtòlẹ́sẹẹsẹ ẹgbẹ́ kan ni iye àwọn èròjà tó wà nínú ẹgbẹ́ náà. Ìtòlẹ́sẹẹsẹ ohun kan \(a \in G\) ni odidi rere tó kéré jùlọ \(n\) tó bẹ́ẹ̀ tí \(a^n = e\).
Àwọn Ohun Èlò ti Ìmọ̀ Ẹgbẹ́
Ìmọ̀ ẹ̀rọ ẹgbẹ́ ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìlò ní onírúurú ẹ̀ka:
cryptography
A lo ilana egbe ninu awọn algoridimu cryptographic gẹgẹbi RSA ati Diffie-Hellman ti o da lori eto ẹgbẹ ti awọn nọmba modulu.
Ìlànà Ìṣọ̀kan
Nínú fisiksi àti kemistri, a lo ìlànà ẹgbẹ́ láti kẹ́kọ̀ọ́ nípa ìbáramu àwọn molecule àti kristali. Àwọn ẹgbẹ́ ìbáramu ń ran lọ́wọ́ láti mọ àwọn ànímọ́ ti ara àti kẹ́míkà ti àwọn molecule.
Ìlànà Galois
A lo ìlànà ẹgbẹ́ nínú ìmọ̀ Galois láti kẹ́kọ̀ọ́ nípa àwọn ìdáhùn àwọn ìṣirò polynomial àti ìbáṣepọ̀ láàárín àwọn gbòǹgbò àwọn ìṣirò náà.
Iṣẹ́ Àmì Ìṣiṣẹ́
A lo ilana ẹgbẹ ninu itupalẹ ati sisẹ ifihan agbara Fourier, nibiti a ti ṣe abojuto awọn iṣẹ gẹgẹbi awọn eroja ti awọn ẹgbẹ iṣẹ-ṣiṣe.
Ipari
Ìmọ̀ nípa ẹgbẹ́ jẹ́ ẹ̀ka ìpìlẹ̀ ti ìṣirò pẹ̀lú àwọn ìlò tó gbòòrò ní onírúurú ẹ̀ka. Lílóye ìtumọ̀ ẹgbẹ́ kan, àwọn irú rẹ̀, àwọn ànímọ́ rẹ̀, àti àwọn ìlò rẹ̀ pèsè ìpìlẹ̀ tó lágbára fún ìwádìí síwájú sí i nínú ìṣirò àti àwọn sáyẹ́ǹsì mìíràn. Pẹ̀lú àwọn èrò bíi nọ́ńbà àti àfikún, àwọn matrices àti ìsọdipúpọ̀, àti ìbáramu nínú àwọn molecule, ìmọ̀ nípa ẹgbẹ́ pèsè àwọn irinṣẹ́ tó yẹ fún yíyanjú onírúurú ìṣòro ìmọ̀ nípa ẹ̀kọ́ àti ìṣe.
