Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìdáhùn lórí Àwọn Ààlà
Àwọn ààlà jẹ́ ọ̀kan lára àwọn èrò pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò, pàápàá jùlọ nínú ìṣirò. Àwọn ààlà jẹ́ kí a lóye ìṣe iṣẹ́ kan bí iye oníyípadà rẹ̀ ṣe ń súnmọ́ nọ́mbà kan pàtó, yálà láti òsì tàbí ọ̀tún. Èrò yìí ni ó jẹ́ ìpìlẹ̀ fún ìjíròrò àwọn ohun tí a fi ṣe àtúnṣe àti àwọn ohun tí a fi ṣe àtúnṣe. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, ìwọ yóò rí àlàyé kúkúrú, pẹ̀lú ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìbéèrè àti ìdáhùn nípa àwọn ààlà tí ó máa ń hàn nígbà gbogbo nínú ìṣe àti ìdánwò.
Òye Kúkúrú Nípa Àwọn Ààlà
Ni gbogbogbo, opin kan duro fun iye iṣẹ kan ti “n sunmọ” bi oniyipada rẹ ṣe n sunmọ iye kan pato. A kọ ọ bi:
\[
\lim_{x \to a} f(x)
\]
Ìyẹn ni pé, a fẹ́ mọ iye \( f(x) \) bí \( x \) ṣe ń súnmọ́ \( a \). Má ṣe gbàgbé pé ààlà náà kì í ṣe gbogbo ìgbà ni iye iṣẹ́ náà rí ní àkókò yẹn (iṣẹ́ náà lè má ṣe kedere ní àkókò yẹn), ṣùgbọ́n ààlà náà ṣì lè wà.
Àwọn Irú Ìṣòro Ààlà Tó Wọ́pọ̀
Àwọn irú ìbéèrè ìdíwọ̀n tí a sábà máa ń kẹ́kọ̀ọ́ nípa wọn ni:
1. Ààlà ìyípadà taara (tí iṣẹ́ náà bá ń bá a lọ ní àkókò yẹn).
2. Àwọn ààlà ìrísí àìlópin bíi \( \frac{0}{0} \) tàbí \( \frac{\infty}{\infty} \).
3. Àwọn ààlà tó ní í ṣe pẹ̀lú gbòǹgbò.
4. Àwọn ààlà Trigonometric.
5. Ààlà lọ sí àìlópin.
Láti lóye dáadáa, ẹ jẹ́ ká lọ sí àwọn ìbéèrè àpẹẹrẹ àti ìjíròrò wọn.
-
Àpẹẹrẹ 1: Àwọn ààlà pẹ̀lú ìyípadà tààrà
Ìbéèrè:
Pinnu iye naa:
\[
\lim_{x \to 2} (3x + 5)
\]
Jawaban:
Níwọ́n ìgbà tí fọ́ọ̀mù iṣẹ́ náà jẹ́ onílà tí kò sì fúnni ní àwọn fọ́ọ̀mù tí a kò lè sọ pàtó, a lè ṣírò rẹ̀ nípa lílo ìyípadà tààrà.
\[
\lim_{x \to 2} (3x + 5) = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
\]
Ìparí: Iye ààlà náà jẹ́ 11.
-
Àpẹẹrẹ 2: Ààlà Fọ́ọ̀mù Àìlópin \( \frac{0}{0} \) (Ìpínsípò)
Ìbéèrè:
Iye:
\[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3}
\]
Jawaban:
Tí o bá fi rọ́pò \( x = 3 \ tààrà), àbájáde rẹ̀ ni:
\[
\frac{9 – 9}{3 – 3} = \frac{0}{0}
\]
Fọ́ọ̀mù tí a kò mọ̀ tẹ́lẹ̀ ni èyí, nítorí náà ó yẹ kí a mú un rọrùn. Fi ìṣirò náà sí i:
\[
x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
\]
Nítorí náà:
\[
\frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3
\]
Bayi ṣe iṣiro opin naa:
\[
\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6
\]
Ìparí: Iye ààlà náà jẹ́ 6.
-
Àpẹẹrẹ 3: Àwọn ààlà pẹ̀lú Gbòǹgbò (Ìlànà)
Ìbéèrè:
Pinnu:
\[
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4}
\]
Jawaban:
Awọn esi rirọpo taara:
\[
\frac{2 – 2}{4 – 4} = \frac{0}{0}
\]
Ìlànà nípa pípọ̀ àwọn ọ̀rẹ́:
\[
\frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}
= \frac{x – 4}{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)}
\]
Ṣe ohun tí ó rọrùn:
\[
= \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]
Nisinsinyi, ropo \( x = 4 \):
\[
\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
\]
Ìparí: Iye ààlà náà jẹ́ 1/4.
-
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4: Àwọn Ààlà Ìpìlẹ̀ Trigonometric
Ìbéèrè:
Iye:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
\]
Jawaban:
Ààlà yìí jẹ́ ààlà ìpìlẹ̀ tí a mọ̀ dáadáa fún àwọn trigonometry:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]
A le fi idi rẹ̀ múlẹ̀ nípa lílo àwòrán onípele tàbí Taylor, ṣùgbọ́n ní ìpele ilé-ẹ̀kọ́, ó sábà máa ń tó láti rántí rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí ìlànà pàtàkì.
Ìparí: Iye ààlà náà jẹ́ 1.
-
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5: Àwọn Ààlà Trigonometric pẹ̀lú Ìfọwọ́sowọ́pọ̀
Ìbéèrè:
Pinnu:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2}
\]
Jawaban:
Ààlà yìí tún ní àwọn ààlà ìpìlẹ̀ tí a sábà máa ń lò:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
\]
Tí o bá fẹ́ dín i kù, o lè lo ìdámọ̀ náà:
\[
1 – \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
\]
Nítorí náà:
\[
\frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}
= 2 \left(\frac{\sin(x/2)}{x}\ọtun)^2
\]
Yipada diẹ:
\[
\frac{\sin(x/2)}{x} = \frac{\sin(x/2)}{x/2} \cdot \frac{1}{2}
\]
Nitorinaa opin naa ni:
\[
2 \left(1 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\]
Ìparí: Iye ààlà náà jẹ́ 1/2.
-
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 6: Àwọn Ìbáṣepọ̀ Ààlà Àìlópin
Ìbéèrè:
Iye:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 – 7}
\]
Jawaban:
Fún ààlà iṣẹ́ onínúró nígbàtí \( x \to \infty \), fi àwọn ìwọ̀n gíga jùlọ wéra. Níwọ́n ìgbàtí àwọn méjèèjì jẹ́ ti ìpele 2, ààlà náà ni ìpíndọ́gba àwọn olùgbékalẹ̀ gíga jùlọ:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 – 7} = \frac{5}{2}
\]
Ìparí: Iye ààlà náà jẹ́ 5/2.
-
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 7: Àwọn ààlà pẹ̀lú ìyípadà àti ìrọrùn àwọn ìpín
Ìbéèrè:
Pinnu:
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1}
\]
Jawaban:
Ìyípadà tààrà fún ni fọ́ọ̀mù \( \frac{0}{0} \). Okùnfà:
\[
x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)
\]
Ṣe ohun tí ó rọrùn:
\[
\frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{x – 1} = x^2 + x + 1
\]
Ìyípadà \( x = 1 \):
\[
1^2 + 1 + 1 = 3
\]
Ìparí: Iye ààlà náà jẹ́ 3.
-
Penutup
Kíkọ́ àwọn ààlà ẹ̀kọ́ yóò rọrùn púpọ̀ tí o bá mọ àwọn ìlànà ìpìlẹ̀: ìgbà tí a ó lo ìyípadà tààrà, ìgbà tí a ó ṣe àfikún, ìgbà tí a ó ṣe àfikún, àti ìgbà tí a ó lo àwọn fọ́múlá ìpele trigonometric. Nípa ṣíṣe àwọn ìṣòro bí àpẹẹrẹ tí ó wà lókè yìí nígbà gbogbo, o ó máa mọ́ bí a ṣe ń ṣe onírúurú ààlà, kódà àwọn tí ó dà bí èyí tí ó díjú.
Tí o bá fẹ́, mo tún lè ṣẹ̀dá àkójọ àwọn ìbéèrè tó tó 20 sí 30, tí a parí pẹ̀lú àwọn ìjíròrò ìgbésẹ̀-ní-ìgbésẹ̀ (láti ìpìlẹ̀ sí ìlọsíwájú), tàbí kí n ṣe àtúnṣe sí ẹ̀kọ́ ilé-ẹ̀kọ́ gíga/ilé-ẹ̀kọ́ iṣẹ́-ọnà/UTBK.
