Àwọn Ìbéèrè Àpẹẹrẹ Tí Ó Ń Jíròrò Àwọn Fẹ́kítà Ọ̀wọ̀n àti Àwọn Fẹ́kítà Ọ̀wọ̀n
Nínú ìmọ̀ ìṣirò, pàápàá jùlọ aljebra linear, àwọn vector jẹ́ èrò pàtàkì tí a sábà máa ń lò nínú onírúurú ìlò, láti àpẹẹrẹ físíìsì sí ìṣirò. Àwọn vector column àti àwọn vector line jẹ́ ọ̀nà méjì ti ìṣojú vector, ọ̀kọ̀ọ̀kan pẹ̀lú àwọn ànímọ́ àti lílò tirẹ̀. Àpilẹ̀kọ yìí yóò jíròrò àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ àti àwọn ìdáhùn wọn tí ó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn vector column àti àwọn vector linear.
Ìtumọ̀ ti Vektọ Column àti Vektọ Row
Kí a tó bẹ̀rẹ̀ sí í wo àwọn ìbéèrè àpẹẹrẹ àti ìjíròrò wọn, ẹ jẹ́ kí a kọ́kọ́ ṣe àtúnyẹ̀wò àwọn ìtumọ̀ ìpìlẹ̀ ti àwọn vector column àti àwọn vector row.
– Àwọn fekito ìkọ́lé jẹ́ àwọn fekito tí a ṣètò sínú ọ̀wọ̀n kan, ìyẹn ni, ìwọ̀n inaro kan. Àpẹẹrẹ:
\[
\mathbf{v} = \bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
4\\
3\\
2
\opin{pmatrix}
\]
– Àwọn fekito ìlà jẹ́ fekito tí a ṣètò ní ìlà, ìyẹn ni pé, ní ìwọ̀n petele kan. Àpẹẹrẹ:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Àpẹẹrẹ 1: Fífi àwọn Vektorí Ọ̀wọ̀n kún
Ìbéèrè:
Fún àwọn fákítà méjì ọ̀wọ̀nyí:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4\\
1\\
0
\opin{pmatrix}
\]
Ṣírò àròpọ̀ àwọn fákítà ọ̀wọ́n méjì.
Ojutu:
A fi awọn fekito ọwọn meji kun un nipa fifi awọn eroja ti o baamu wọn kun un.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \bẹrẹ{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4\\
1\\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5\\
3\\
3
\opin{pmatrix}
\]
Nítorí náà, àròpọ̀ \(\mathbf{u}\) àti \(\mathbf{v}\) ni \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Fífi àwọn Vẹ́ktà Rómà kún
Ìbéèrè:
Fun awọn fekito ori ila meji wọnyi:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Ṣírò àròpọ̀ àwọn fákítà ìlà méjì.
Ojutu:
A fi awọn fekito ori ila meji kun nipa fifi awọn eroja ti o baamu kun.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Nítorí náà, àròpọ̀ \(\mathbf{a}\) àti \(\mathbf{b}\) ni \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Àpẹẹrẹ 3: Ìsọdipúpọ̀ Scalar nípasẹ̀ àwọn Vector Column
Ìbéèrè:
Fúnni ní fáktà onígun kan \(\mathbf{c}\) àti scalar \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4\\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Ṣírò àbájáde ìsọdipúpọ̀ onípele.
Ojutu:
Ìsọdipúpọ̀ Scalar nípasẹ̀ fáìlì kọ́ọ̀mù ni a ṣe nípa sísọ gbogbo ẹ̀yà fáìlì náà di púpọ̀ pẹ̀lú fáìlì scalar kan.
\[
k\mathbf{c} = 2 \bẹrẹ{pmatrix}
-3 \\
4\\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \ni igba -3 \\
Igba meji mẹrin
2 \nígbà 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8\\
10
\opin{pmatrix}
\]
Nítorí náà, àbájáde ìsọdipúpọ̀ scalar \(2\) nípasẹ̀ fákọ́ọ̀mù column \(\mathbf{c}\) ni \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4: Ìsọdipúpọ̀ Scalar nípasẹ̀ àwọn Véktọ Row
Ìbéèrè:
Fúnni ní ààtò fáktà \(\mathbf{d}\) àti scalar \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Ṣírò àbájáde ìsọdipúpọ̀ onípele.
Ojutu:
Ìsọdipúpọ̀ Scalar nípasẹ̀ line vector ni a ṣe nípa ṣíṣe ìsọdipúpọ̀ spectrum kọ̀ọ̀kan ti vector pẹ̀lú scalar kan.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Nítorí náà, àbájáde ìsọdipúpọ̀ scalar \(-3\) nípasẹ̀ row vector \(\mathbf{d}\) ni \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Àpẹẹrẹ 5: Ìsọdipúpọ̀ Matrix \(1 \times 3\) nípasẹ̀ \(3 \times 1\) (Ẹ̀rọ ìlà láti ọwọ́ Ẹlẹ́rọ Column)
Ìbéèrè:
Ti fi fun fekito ori ila kan \(\mathbf{e}\) ati oju opo ọwọn \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \bẹrẹ{pmatrix} 2 & -1 & 4 \opin{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5\\
3\\
-2
\opin{pmatrix}
\]
Ṣírò ọjà àwọn fíkítà méjì náà.
Ojutu:
Láti ṣe ìsọdipúpọ̀ matrix, a máa ń ṣe ìsọdipúpọ̀ ìlà \(\mathbf{e}\) gẹ́gẹ́ bí matrix \(1 \times 3\), a sì máa ń ṣe ìsọdipúpọ̀ column \(\mathbf{f}\) gẹ́gẹ́ bí matrix \(3 \times 1\). Àbájáde ìsọdipúpọ̀ yìí jẹ́ scalar, èyí ni àròpọ̀ àwọn ọjà ti àwọn eroja tó báramu:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \bẹrẹ{pmatrix} 2 & -1 & 4 \opin{pmatrix} \begin{pmatrix}
5\\
3\\
-2
\end{pmatrix} = (2 \igba 5) + (-1 \ìgbà 3) + (4 \ìgbà -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Nítorí náà, àbájáde ìsọdipúpọ̀ fáìtà ìlà \(\mathbf{e}\) nípasẹ̀ fáìtà ọ̀wọ́ \(\mathbf{f}\) ni \(-1\).
Àpẹẹrẹ 6: Ìsọdipúpọ̀ Matrix \(3 \times 1\) nípasẹ̀ \(1 \times 3\) (Ẹ̀rọ ìkọ̀wé onígun mẹ́ta nípasẹ̀ Ẹlẹ́rọ ìṣàpẹẹrẹ)
Ìbéèrè:
Fúnni ní fákọ́ọ̀nù ọ̀wọ̀n \(\mathbf{g}\) àti fákọ́ọ̀nù ìlà \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Ṣírò ọjà àwọn fíkítà méjì náà.
Ojutu:
Ìsọdipúpọ̀ matrix ti vektọ ọ̀wọ̀n kan nípasẹ̀ vektọ ìlà kan ń mú matrix (\(3 \times 1\)) pọ̀ sí i nípa (\(1 \times 3\)) èyí tí ó ń mú matrix (3 \times 3\) jáde. Ẹ̀yà tuntun kọ̀ọ̀kan jẹ́ àbájáde àwọn èròjà tí ó báramu rẹ̀:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \igba 4 & 1 \igba 5 & 1 \igba 6 \\
2 \igba 4 & 2 \igba 5 & 2 \igba 6 \\
Igba mẹta 4 ati 3 igba marun ati mẹta igba mẹfa
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 àti 5 àti 6 \\
8 àti 10 àti 12 \\
12 & 15 & 18
\opin{pmatrix}
\]
Nítorí náà, àbájáde ìsọdipúpọ̀ ìṣọ̀kan ...
\[
\bẹ̀rẹ̀{pmatrix}
4 àti 5 àti 6 \\
8 àti 10 àti 12 \\
12 & 15 & 18
\opin{pmatrix}
\]
Ipari
Jákèjádò àpilẹ̀kọ yìí, a ti rí ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ tó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn fátíkọ́ọ̀mù àti ìlà. A ń fi àwọn fátíkọ́ọ̀mù àti ìlà kún un nípa fífi àwọn fátíkọ́ọ̀mù tó báramu wọn kún un. A tún ń ṣe ìsọdipúpọ̀ scalar nípasẹ̀ fátíkọ́ọ̀mù nípa fífi scalar ṣe ìsọdipúpọ̀ fátíkọ́ọ̀mù kọ̀ọ̀kan nínú fátíkọ́ọ̀mù. Níkẹyìn, a ti kọ́ bí a ṣe ń ṣe ìsọdipúpọ̀ fátíkọ́ọ̀mù àti ìlà, tí ó ń mú scalar tàbí matrix wá, ní ìbámu pẹ̀lú ìtòlẹ́sẹẹsẹ wọn. Mímọ àwọn iṣẹ́ ìpìlẹ̀ wọ̀nyí ṣe pàtàkì fún àwọn ohun èlò tó díjú jùlọ nínú línéjì àti ìṣàyẹ̀wò dátà.
