Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Tí Ó Ń Jíròrò Ìlànà Ìpìlẹ̀ ti Ìṣirò
Àlàyé ìṣírò jẹ́ ẹ̀ka pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò tó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn ààlà, àwọn ohun tó ń jáde láti inú rẹ̀, àti àwọn ohun tó para pọ̀. Àlàyé ìṣírò ...
Lílóye Ìlànà Pàtàkì ti Ìṣirò
Ìlànà ìpìlẹ̀ ti Calculus ní àwọn apá pàtàkì méjì:
1. Apá Kìíní: Tí \( f \) bá jẹ́ iṣẹ́ tí ń tẹ̀síwájú lórí àlàfo \([a, b]\), àti \( F \) jẹ́ àbájáde ti \( f \) lórí àlàfo náà, nígbà náà:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
2. Apá Kejì: Tí \( f \) bá jẹ́ iṣẹ́ tí ń tẹ̀síwájú lórí àlàfo \([a, b]\), tí a sì túmọ̀ iṣẹ́ \( F \) nípa:
\[ F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \]
lẹ́yìn náà \( F \) ni anti-derivative ti \( f \), èyí ni:
\[ F'(x) = f(x) \]
Lẹ́yìn tí a bá ti lóye èrò ìpìlẹ̀ náà, ẹ jẹ́ kí a lọ taara sí àwọn àpẹẹrẹ ìbéèrè àti ìjíròrò wọn láti ṣàlàyé bí a ṣe ń lo Ìlànà Ìpìlẹ̀ ti Ìlànà Kọ́líkúsì.
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Ìjíròrò
Àpẹẹrẹ Ìṣòro 1: Lílo Apá Kìíní ti Ìlànà Ìpìlẹ̀ ti Ìṣirò
Ìbéèrè:
Fún iṣẹ́ náà \( f(x) = 3x^2 \). Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( f(x) \) láti \( x = 1 \) sí \( x = 4 \).
Ìjíròrò:
Láti yanjú ìṣòro yìí, a nílò láti wá àwọn ohun tí ó lòdì sí ìyọrísí \( F(x) \) ti \( f(x) \).
Igbesẹ 1: Wa antiderivative \( F(x) \) ti \( f(x) = 3x^2 \).
\[ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \]
Nítorí náà, \( F(x) = x^3 \).
Igbesẹ 2: Ṣírò iye \( F(x) \) ní àwọn ààlà àpapọ̀ tí a fúnni.
\[ \int_1^4 3x^2 \, dx = F(4) – F(1) \]
\[ = 4^3 – 1^3 \]
\[ = 64 – 1 \]
\[ = 63 \]
Nitorinaa, iye apapọ jẹ 63.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Lílo Apá Kejì ti Ìlànà Ìpìlẹ̀ ti Ìṣirò
Ìbéèrè:
Tí \( F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \), wá àtúnsọ ti \( F(x) \).
Ìjíròrò:
Gẹ́gẹ́ bí apá kejì ti Ìlànà Ìpìlẹ̀ ti Ìṣirò, tí \( F(x) = \int_a^xf(t) \, dt \), lẹ́yìn náà \( F'(x) = f(x) \).
Gẹ́gẹ́ bí ipò tí a fún un:
\[ F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \]
Lẹ́yìn náà, àbájáde ti \( F(x) \) ni:
\[ F'(x) = 2x + 1 \]
Àpẹẹrẹ 3: Lílo Ìlànà Ìpìlẹ̀ ti Ìṣirò pẹ̀lú Àwọn Iṣẹ́ Dídí Púpọ̀ Síi
Ìbéèrè:
Fúnni ní \( f(x) = \sqrt{x} \). Ṣírò ìṣọ̀kan àìlópin ti \( f(x) \) láti \( x = 0 \) sí \( x = 4 \).
Ìjíròrò:
Igbesẹ 1: Wa anti-derivative \( F(x) \) ti \( f(x) = \sqrt{x} \).
\[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \]
Lo awọn ofin ipilẹ ti awọn integrals:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Nítorí náà:
\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
Nítorí náà, \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Igbesẹ 2: Ṣírò iye \( F(x) \) ní àwọn ààlà àpapọ̀ tí a fúnni.
\[ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = F(4) – F(0) \]
\[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \ọtun) – \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \ọtun) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
\[ = \frac{16}{3} \]
Nítorí náà, iye ti integral náà ni \( \frac{16}{3} \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4: Ìṣọ̀kan pẹ̀lú Àwọn Iṣẹ́ Ìpín
Ìbéèrè:
Ṣe àfikún \( f(x) = \frac{2}{x} \) láti \( x = 1 \) sí \( x = 3 \).
Ìjíròrò:
Igbesẹ 1: Wa antiderivative \( F(x) \) ti \( f(x) = \frac{2}{x} \).
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx \]
A mọ̀ pé:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| +C\]
Nítorí náà:
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| +C\]
Àti \( F(x) = 2 \ln |x| \).
Igbesẹ 2: Ṣírò iye \( F(x) \) ní àwọn ààlà àpapọ̀ tí a fúnni.
\[ \int_1^3 \frac{2}{x} \, dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3| – 2 \ln |1| \]
\[ = 2 \ln 3 – 2 \ln 1 \]
\[ = 2 \ln 3 – 0 \]
\[ = 2 \ln 3 \]
Nítorí náà, iye ti integral náà ni \( 2 \ ln 3 \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5: Àpapọ̀ Àwọn Iṣẹ́ Trigonometric
Ìbéèrè:
Ṣe àfikún \( f(x) = \sin x \) láti \( x = 0 \) sí \( x = \pi \).
Ìjíròrò:
Igbesẹ 1: Wa anti-derivative \( F(x) \) ti \( f(x) = \sin x \).
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Àti \( F(x) = -\cos x \).
Igbesẹ 2: Ṣírò iye \( F(x) \) ní àwọn ààlà àpapọ̀ tí a fúnni.
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = F(\pi) – F(0) \]
\[ = -\cos (\pi) - (-\cos (0)) \]
\[ = -(-1) – (-1) \]
\[ = 1 – (-1) \]
\[ = 1 + 1 \]
\[ = 2 \]
Nitorinaa, iye apapọ jẹ 2.
Ipari
Ìlànà Ìpìlẹ̀ṣẹ̀ ti Calculus jẹ́ irinṣẹ́ alágbára nínú calculus àti mathematiki ní gbogbogbòò. Nípa síso àwọn ohun èlò ìtọ́kasí àti àwọn ohun èlò ìṣọ̀kan pọ̀, ìlànà yìí fún wa láyè láti ṣírò agbègbè lábẹ́ ìlà kan kí a sì lóye ìyípadà iṣẹ́ kan ní ọ̀nà jíjinlẹ̀. Lílóye àti mímọ ìlò ìlànà yìí nípasẹ̀ ìṣe jẹ́ pàtàkì láti di ògbóǹkangí nínú calculus. Àpilẹ̀kọ yìí kàn ń fa ojú ohun tí a lè ṣe pẹ̀lú ìlànà calculus pàtàkì, ṣùgbọ́n a nírètí láti fún wa ní àwòrán kedere nípa bí a ṣe lè ṣiṣẹ́ pẹ̀lú ọ̀kan lára àwọn èrò ìṣirò pàtàkì jùlọ.
