Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Àwọn Ohun-ìní Àwọn Ìpínlẹ̀ Iṣẹ́
Pendahuluan
Ààlà iṣẹ́ jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò tí ó kó ipa pàtàkì nínú ìṣàyẹ̀wò ìṣirò àti onírúurú ìlò ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì. Ààlà iṣẹ́ ń ràn wá lọ́wọ́ láti lóye ìwà iṣẹ́ bí oníyípadà ṣe ń sún mọ́ iye kan pàtó. Ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ànímọ́ ti ààlà iṣẹ́ ń pèsè irinṣẹ́ fún ṣíṣírò àti ṣíṣàkóso ààlà ní irọ̀rùn. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìṣòro àti jíròrò àwọn ànímọ́ àwọn ààlà iṣẹ́.
Àwọn Ànímọ́ Ààlà Iṣẹ́
Kí a tó bẹ̀rẹ̀ sí í wo àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ, ẹ jẹ́ kí a ṣe àtúnyẹ̀wò díẹ̀ lára àwọn ohun-ìní pàtàkì ti àwọn ààlà iṣẹ́ tí a sábà máa ń lò:
1. Ààlà Àfikún
\[
\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)
\]
2. Ààlà Ìsọdipúpọ̀
\[
\lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)
\]
3. Ààlà Pínpín
\[
\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}, \quad \text{ti a pese } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0
\]
4. Ààlà Ìwọ̀n Àìdúróṣinṣin
\[
\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)
\]
5. Ààlà ìdánimọ̀
\[
\lim_{x \si a} x = a
\]
6. Ààlà Iṣẹ́ Tí Ó Dára Déédé
\[
\lim_{x \to a} c = c, \quad \text{ibi ti c jẹ iduroṣinṣin}
\]
Pẹ̀lú òye àwọn ànímọ́ pàtàkì wọ̀nyí, ẹ jẹ́ kí a lo wọ́n fún àwọn àpẹẹrẹ ìṣòro kan.
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1
Fi awọn abajade ti:
\[
\lim_{x \to 3} (2x^2 + 5x – 1)
\]
Ìjíròrò:
Láti yanjú ààlà yìí, a lè so iye x = 3 mọ́ iṣẹ́ náà tààrà nítorí pé iṣẹ́ yìí jẹ́ polynomial àti pé àwọn polynomial ń tẹ̀síwájú jákèjádò agbègbè wọn.
\[
\lim_{x \to 3} (2x^2 + 5x – 1) = 2(3)^2 + 5(3) – 1
\]
Ka igbesẹ ni igbese:
\[
= 2(9) + 15 – 1 = 18 + 15 – 1 = 32
\]
Nítorí náà:
\[
\lim_{x \to 3} (2x^2 + 5x – 1) = 32
\]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2
Iye:
\[
\lim_{x \to -2} \frac{3x^3 + 4x + 2}{x + 2}
\]
Ìjíròrò:
Nínú àpẹẹrẹ yìí, fífi x = -2 sínú ìfọ́ ìpín tààrà yóò mú ìfọ́ ìfọ́ ìpìlẹ̀ náà jáde \( \frac{0}{0} \), nítorí náà a nílò láti ṣírò rẹ̀ ní ọ̀nà mìíràn. Ọ̀nà kan ni nípa ṣíṣe ìṣirò iye.
Ṣe ìṣirò nọ́mbà \( 3x^3 + 4x + 2 \):
Nípa gbígbìyànjú iye \( x = -2 \) nínú ìyókù ìpín náà, a rí:
\[
3(-2)^3 + 4(-2) + 2 = -24 – 8 + 2 = -30 \quad \text{(nítorí náà, a kò le fi èyí hàn síwájú láìsí ìrànlọ́wọ́ àwọn ọ̀nà míràn)}
\]
Èyí fihàn pé ọ̀nà ìṣàfihàn tààrà lè má ṣiṣẹ́ dáadáa. Àmọ́, a lè gbìyànjú ọ̀nà L'Hôpital. Tí a bá ya nọ́mbà àti nọ́mbà iye sọ́tọ̀:
Olùpín: \( 3x^3 + 4x + 2 \) ṣe ìyàtọ̀ sí \( 9x^2 + 4 \).
Olùpín: \( x + 2 \) ṣe ìyàtọ̀ sí \( 1 \).
Lẹ́yìn náà lo L'Hôpital:
\[
\lim_{x \to -2} \frac{9x^2 + 4}{1} = 9(-2)^2 + 4 = 9(4) + 4 = 36 + 4 = 40
\]
Nítorí náà:
\[
\lim_{x \to -2} \frac{3x^3 + 4x + 2}{x + 2} = 40
\]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3
Wa:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 – 2x + 3}{x^2 + 4}
\]
Ìjíròrò:
Fún àwọn ìṣòro ààlà nígbàtí \( x \to \infty \), a lè pín ẹ̀yà kọ̀ọ̀kan sí ìpele gíga jùlọ ti x nínú iyeìpín, èyí tí í ṣe \( x^2 \).
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 – 2x + 3}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 – \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}}
\]
Nítorí nígbà tí \( x \to \infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \) àti \( \frac{1}{x^2} \to 0 \), nígbà náà:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 – 2x + 3}{x^2 + 4} = \frac{5 – 0 + 0}{1 + 0} = 5
\]
Nitorina,
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 – 2x + 3}{x^2 + 4} = 5
\]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4
Fi awọn abajade ti:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}
\]
Ìjíròrò:
A mọ̀ láti inú àwọn ànímọ́ ààlà pé:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
\]
Nísinsìnyí, a fi \( 3x \) rọ́pò gẹ́gẹ́ bí oníyípadà tuntun \( u \), níbi tí \( u = 3x \). Lẹ́yìn náà \( x \to 0 \) dọ́gba pẹ̀lú \( u \to 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u/3} = 3 \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 3 \cdot 1 = 3
\]
Nítorí náà:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3
\]
Ipari
Ààlà iṣẹ́ jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò owó tí ó ń ràn wá lọ́wọ́ láti lóye ìwà iṣẹ́ kan ní àkókò pàtó kan. Nípasẹ̀ àwọn àpẹẹrẹ àti ìjíròrò wọ̀nyí, a ti lo onírúurú ànímọ́ ààlà, bíi ìfikún, ìsọdipúpọ̀, àti pípín, àti lílo òfin L'Hôpital àti ìyípadà oníyípadà. Lílóye èrò yìí ṣe pàtàkì fún àwọn ìkẹ́kọ̀ọ́ ìṣirò owó tí ó ti ní ìlọsíwájú àti àwọn ìlò rẹ̀ ní oríṣiríṣi ẹ̀ka ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì àti ìmọ̀ ẹ̀rọ.
Mímọ àwọn ànímọ́ àwọn ààlà iṣẹ́ ń jẹ́ kí a lè ṣàyẹ̀wò àti yanjú onírúurú ìṣòro ìṣirò ní ọ̀nà tó gbéṣẹ́ àti lọ́nà tó gbéṣẹ́. Pẹ̀lú ìdánrawò déédéé, òye àwọn èrò wọ̀nyí yóò di èyí tó rọrùn láti lò, yóò sì rọrùn láti lò.
