Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Tí Ó Ń Jíròrò Lílo Àwọn Ohun Èlò Nínú Físíìsì
Lilo awọn integrals ninu fisiksi jẹ imọran pataki pupọ ati gbooro. Lilo awọn integrals gba awọn onimọ-jinlẹ ati awọn onimọ-ẹrọ laaye lati ṣe iṣiro ọpọlọpọ awọn iṣẹlẹ adayeba ti o nira, boya o ni ibatan si išipopada, agbara, agbara, tabi awọn apakan miiran. Nkan yii yoo ṣawari awọn apẹẹrẹ awọn iṣoro ati jiroro lori lilo awọn integrals ninu fisiksi.
1. Ṣíṣírò Iṣẹ́ Nípasẹ̀ Agbára Oníyípadà
Soal
Agbára tí ó yàtọ̀ sí ipò \(x\) ni a fi fúnni nípa \( F(x) = 3x^2 \). Ṣírò iṣẹ́ tí agbára yìí ṣe nígbà tí ohun náà bá yí láti \(x = 0\) sí \(x = 2 \) mítà.
Ifọrọwanilẹnuwo
Iṣẹ́ tí agbára ìyípadà ń ṣe ni àpapọ̀ agbára lórí ọ̀nà jíjìn. Tí a bá fún wa ní agbára \( F(x) \) gẹ́gẹ́ bí iṣẹ́ ipò \(x\), a lè sọ iṣẹ́ náà gẹ́gẹ́ bí:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Fun idi eyi:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[a = 0 \, \text{meter} \]
\[ b = 2 \, \ọ̀rọ̀{mita} \]
Lẹ́yìn náà iṣẹ́ náà \(W\) ni:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
A ṣe iṣiro apapọ yii:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \osi[ \frac{x^3}{3} \ọtun]_{0}^{2}
= 3 \osi( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \ọtun)
= 3 \osi( \frac{8}{3} – 0 \ọtun)
= 8 \, \ọ̀rọ̀{Joule}
\]
Nítorí náà, iṣẹ́ tí agbára náà ṣe ni Joules mẹ́jọ.
2. Ṣíṣírò Àárín Gbùngbùn Ìwọ̀n Ọ̀pá Kan
Soal
Ọ̀pá kan tí ó jọra pẹ̀lú gígùn \(L\) wà lórí ìlà-x láti \( x = 0 \) sí \( x = L \). Ṣírò ipò àárín ìwọ̀n ọ̀pá náà.
Ifọrọwanilẹnuwo
Fún ọ̀pá kan tí ó jọra, ìwọ̀n náà ni a pín ní ìṣọ̀kan pẹ̀lú gígùn rẹ̀. A lè gbà pé ọ̀pá náà ní ìwọ̀n ìlà tí ó dúró ṣinṣin \(\lambda\) (ìwọ̀n fún gígùn ẹyọ kan).
A fi ibi tí a ń pè ní ààrin ibi-ara (\(x_{cm}\)) hàn nípasẹ̀:
\[ x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Níwọ́n ìgbà tí a pín ìwọ̀n náà ní ọ̀nà kan náà, a lè fi \(dm = \lambda \, dx\) hàn, àti ààlà integral láti \(x = 0\) sí \(x = L\):
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
Ìṣọ̀kan lórí \(\lambda\) dúró ṣinṣin, a sì le ṣe àtúnṣe rẹ̀:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Nítorí náà, ipò àárín ìwọ̀n ọ̀pá náà wà ní \( \frac{L}{2} \), tàbí ní àárín ọ̀pá náà.
3. Ṣíṣírò Agbára Electrostatic Dá lórí Òfin Coulomb
Soal
Àwọn ìdíyelé méjì \(q_1\) àti \(q_2\) wà ní ẹ̀gbẹ́ x-axis ní \(x = 0\) àti \(x = L\) lẹ́sẹẹsẹ. Ṣírò agbára electrostatic láàrín àwọn ìdíyelé méjèèjì.
Ifọrọwanilẹnuwo
Òfin Coulomb sọ pé agbára láàrín àwọn ìdíyelé ojú méjì jẹ́ ìwọ̀n tààrà sí àbájáde àwọn ìdíyelé náà àti pé ó ní ìwọ̀n ìlọ́po méjì sí ìwọ̀n ìjìnnà láàrín wọn:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Dimana:
– \(k_e\) jẹ́ ti Coulomb tí ó dúró ṣinṣin \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) ni ijinna laarin awọn idiyele naa
Nínú ọ̀ràn yìí, \(q_1\) àti \(q_2\) dúró ní \(x = 0\) àti \(x = L\), lẹ́yìn náà ìjìnnà \(r = L\).
Agbara itanna jẹ:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Ojútùú tí a sábà máa ń lò yìí ni a máa ń lò fún ṣíṣírò agbára electrostatic láàárín àwọn ìdíyelé ojú méjì tí a gbé sí ibi tí ó jìnnà sí i.
4. Ṣíṣírò Ìṣàn Oofa Oofa
Soal
A gbé ìlù okùn oníyípo kan ti radius \(r\) sinu aaye oofa ti o jọra \(B\), eyiti o duro ni ila ti o wa ni apa kan. Ṣe iṣiro isun oofa nipasẹ lupu naa.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ìṣàn oofa (\(\Phi_B\)) nípasẹ̀ agbègbè kan \(A\) nínú pápá oofa \(B\) ni a fi hàn nípasẹ̀:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Níwọ́n ìgbà tí pápá oofa \(B\) bá dọ́gba tí ó sì dúró ní ìpele ìyípo náà, integral tí ó rọrùn náà yóò di:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Níbi tí agbègbè \(A\) ti yíká pẹ̀lú radius \(r\) jẹ́:
\[ A = \pi r^2 \]
Lẹ́yìn náà, ìṣàn oofa tí ó ń tàn káàkiri ìlù náà ni:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Nítorí náà, ìṣàn oofa tí ó ń tàn kálẹ̀ ní ìlù náà jẹ́ \( B \pi r^2 \).
Ipari
Lílo àwọn integrals nínú fisiksi jẹ́ ohun tí a kò lè ṣàìní nígbà tí a bá ní láti ṣírò ìwífún tí ó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn ìṣẹ̀lẹ̀ àdánidá tí ó díjú. Láti ṣírò iṣẹ́ tí agbára oníyípadà ṣe, pípinnu àárín ìwọ̀n ohun kan, ṣíṣírò àwọn agbára electrostatic tí ó da lórí òfin Coulomb, sí ṣíṣírò ìṣàn oofa nípasẹ̀ lupu ti waya nínú pápá oofa, gbogbo wọn gbẹ́kẹ̀lé àwọn integrals láti yanjú àwọn ìṣòro. Òye pípéye nípa bí integrals ṣe ń ṣiṣẹ́ ní onírúurú ipò fisiksi kì í ṣe pé ó mú kí ìyanjú ìṣòro rọrùn nìkan ṣùgbọ́n ó tún fúnni ní òye jíjinlẹ̀ sí àwọn ẹ̀rọ ti àgbáyé ní ìpele molikula àti ìpele galactic.
