Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò nípa Ìbàjẹ́ Ìfọ́mọ́ra
Ìbàjẹ́ ìfọ́mọ́lẹ̀ jẹ́ ìṣẹ̀lẹ̀ àdánidá tí a rí ní onírúurú ẹ̀ka ẹ̀kọ́ bíi fisiksi, kemistri, biology, àti ètò ọrọ̀ ajé. Gẹ́gẹ́ bí àpẹẹrẹ mathematiki, ìbàjẹ́ ìfọ́mọ́lẹ̀ ṣàpèjúwe ìlànà tí iye tí a fúnni fi ń dínkù ní ìbámu pẹ̀lú iye tí ó wà lọ́wọ́lọ́wọ́. Nínú mathematiki, ìbàjẹ́ ìfọ́mọ́lẹ̀ tẹ̀lé fọ́ọ̀mù gbogbogbòò:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
iṣẹ́ mi:
– \( N(t) \) ni iye ti o ku ni akoko \( t \),
– \(N_0 \) ni nọ́mbà àkọ́kọ́,
– \( \lambda \) ni iye idibajẹ (tí a sábà máa ń pè ní ìwọ̀n ìdíbàjẹ́),
– \( t \) ni akoko,
– \( e \) ni ipilẹ logarithm adayeba (nipa 2.718).
Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò díẹ̀ lára àwọn àpẹẹrẹ ìṣòro ìbàjẹ́ tó ń wáyé pẹ̀lú àwọn ìdáhùn wọn láti ran wá lọ́wọ́ láti lóye èrò yìí dáadáa.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Ìbàjẹ́ Redioactive
Ìbéèrè:
Ohun tí ó ní ipa lórí ìtànṣán kan ní ìdajì ìgbésí ayé ọdún márùn-ún. Tí ó bá jẹ́ pé 100 giramu ni ohun náà ní àkọ́kọ́, èló ni yóò kù lẹ́yìn ọdún mẹ́ẹ̀ẹ́dógún?
Ìjíròrò:
A le ṣe àwòṣe ìbàjẹ́ redioaktivu nípa lílo àgbékalẹ̀ ìbàjẹ́ exponential. Àádọ́ta-ìgbésí ayé (\( t_{1/2} \)) ni àkókò tí ó yẹ kí ìdajì iye ohun èlò redioaktivu náà jẹrà. A mọ̀ pé \( t_{1/2} = 5 \) ọdún.
Àkọ́kọ́ a nílò láti wá ìdúró ìbàjẹ́ \( \lambda \) pẹ̀lú fọ́múlá náà:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{ ọdún}^{-1} \]
Nítorí náà, agbekalẹ ìdíbàjẹ́ exponential ni:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \igba 15} \]
Bayi, a ṣe iṣiro iye naa:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \igba 0.125 \]
\[ N(t) \approx 12.5 \text{ giramu} \]
Nítorí náà, lẹ́yìn ọdún mẹ́ẹ̀ẹ́dógún, nǹkan bí 12.5 giramu ti ohun èlò ìtànṣán olóró ló kù.
Àpẹẹrẹ 2: Ìbàjẹ́ Kapasito
Ìbéèrè:
A gba kapasita ti o ni agbara ibẹrẹ \( Q_0 = 200 \text{ C} \) laaye lati jade ninu iyipo kan. Akoko ti o duro ni \( \tau = 4 \text{ s} \). Elo agbara ti o ku lẹhin awọn aaya 10?
Ìjíròrò:
Nínú ọ̀ràn ìdínkù ìdínkù ìdínkù agbára capacitor, àpẹẹrẹ exponential tí a lò ni:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
Fún wa ní \( Q_0 = 200 \text{ C} \) àti \( \tau = 4 \text{ s} \). A nílò láti wá \( Q(10) \):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
Ṣíṣírò àwọn iye onípele-pupọ:
\[ Q(10) = 200 \igba 0.0821 \]
\[ Q(10) \nnọ́mbà 16.42 \ọ̀rọ̀{ C} \]
Nítorí náà, lẹ́yìn ìṣẹ́jú-àáyá mẹ́wàá, agbára ìgbóná tó kù lórí capacitor náà jẹ́ nǹkan bí 16.42 C.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3: Ìbàjẹ́ Kẹ́míkà
Ìbéèrè:
Kẹ́míkà kan ní ìdúró ìbàjẹ́ ti \( \lambda = 0.05 \text{ ọjọ́}^{-1} \). Báwo ni yóò ṣe pẹ́ tó kí kẹ́míkà náà tó dínkù sí 25% iye rẹ̀ àtilẹ̀wá?
Ìjíròrò:
A bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú agbekalẹ gbogbogbò fún ìdíbàjẹ́ onípele-pupọ:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
A fẹ́ kí N(t) jẹ́ 25% ti \(N_0 \), kí ó lè jẹ́ pé:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
N mu \(N_0 \) kuro lati ẹgbẹ mejeeji:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Lilo awọn logarithms adayeba lati yanju awọn ọran exponential:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Ṣíṣe àtúnṣe fún \( t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \npọ́ 27.726 \ọ̀rọ̀{ ọjọ́} \]
Nítorí náà, àkókò tí a nílò fún kẹ́míkà náà láti dínkù sí 25% ti iye àkọ́kọ́ rẹ̀ jẹ́ nǹkan bí ọjọ́ 27.726.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4: Ìbàjẹ́ Àwọn Ènìyàn Kòkòrò
Ìbéèrè:
Iye awọn kokoro arun kan dinku ni oṣuwọn afikun nitorinaa lẹhin wakati mẹta, iye awọn eniyan jẹ idaji nọmba akọkọ rẹ. Ti iye awọn eniyan akọkọ ba jẹ 8000 kokoro arun, iye awọn kokoro arun melo ni o ku lẹhin wakati 9?
Ìjíròrò:
A mọ̀ pé ìdajì ìgbésí ayé \( t_{1/2} = 3 \) wákàtí. Àkọ́kọ́, a rí ìdíbàjẹ́ onípele \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ wakati}^{-1} \]
Lẹ́yìn náà, a lo agbekalẹ ìdíbàjẹ́ exponential:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \igba 9} \]
Ṣíṣírò àwọn iye onípele-pupọ:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 \igba 0.125 \]
\[ N(9) \nnọ́mbà 1000 \]
Nítorí náà, lẹ́yìn wákàtí mẹ́sàn-án, nǹkan bí ẹgbẹ̀rún (1000) bakitéríà ni yóò kù.
Ipari
Àwòrán ìbàjẹ́ onípele-pupọ pese ọ̀nà tó gbéṣẹ́ láti yanjú àwọn ìṣòro tó ní í ṣe pẹ̀lú àwọn ìlànà ìbàjẹ́ nínú onírúurú ìlò ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì àti ìmọ̀ ẹ̀rọ. Nípa lílóye àwọn èrò ìpìlẹ̀ bíi àwọn constants decay, ààbọ̀-aye, àti lílo àwọn formula exponential, a lè ṣírò ìyípadà nínú iye kan lórí àkókò pẹ̀lú ìrọ̀rùn. Àwọn ìṣòro ìṣe tí a jíròrò lókè yìí yẹ kí ó ràn wá lọ́wọ́ láti lóye àti lo èrò ìbàjẹ́ onípele-pupọ sí àwọn ipò tó díjú jù.
