Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Ìjíròrò Àpapọ̀ Tí Kò Lópin
Àkójọpọ̀ àìlópin jẹ́ èrò pàtàkì nínú kalkulus, tí a lò láti rí iṣẹ́ ìpilẹ̀ṣẹ̀ láti inú iṣẹ́ tí a ti mú jáde. Àkójọpọ̀ àìlópin ni a fi àmì ∫ tí iṣẹ́ tí a fẹ́ ṣepọ àti oníyípadà ìṣọ̀kan tẹ̀lé. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àwọn àkójọpọ̀ àìlópin àti àwọn ìdáhùn wọn.
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Àpapọ̀ Àwọn Iṣẹ́ Polynomial
Ìbéèrè: Pinnu àpapọ̀ iṣẹ́ náà \( f(x) = 3x^2 \).
Ìjíròrò: Láti so àwọn iṣẹ́ polynomial pọ̀, a lo àwọn òfin ìpìlẹ̀ ti ìṣọ̀kan, èyí ni:
\[ \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \]
Nípa lílo àwọn òfin wọ̀nyí, ìṣọ̀kan ti \( 3x^2 \) ni:
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{1}{2+1} x^{2+1} \right) + C = 3 \left( \frac{1}{3} x^3 \right) + C = x^3 + C \]
Nítorí náà, \( \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Àpapọ̀ Àwọn Iṣẹ́ Onípele-ìpele
Ìbéèrè: Pinnu àpapọ̀ iṣẹ́ náà \( f(x) = e^x \).
Ìjíròrò: Àkópọ̀ iṣẹ́ exponential \( e^x \) rọrùn gan-an nítorí pé iṣẹ́ \( e^x \) jẹ́ iṣẹ́ tí kò ní ìyípadà pátápátá lábẹ́ àwọn iṣẹ́ ìyàtọ̀ àti ìṣọ̀kan:
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
Nítorí náà, \( \int e^x \, dx = e^x + C \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3: Àpapọ̀ Àwọn Iṣẹ́ Trigonometric
Ìbéèrè: Pinnu àpapọ̀ iṣẹ́ náà \( f(x) = \sin(x) \).
Ìjíròrò: Láti so àwọn iṣẹ́ trigonometric pọ̀, a nílò láti mọ àwọn ìpìlẹ̀ àwọn iṣẹ́ wọ̀nyẹn. Ọ̀kan lára àwọn ìbáṣepọ̀ pàtàkì ni:
\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \]
Nítorí náà, \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4: Àpapọ̀ Àwọn Iṣẹ́ Ìpín
Ìbéèrè: Pinnu àpapọ̀ iṣẹ́ náà \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Ìjíròrò: Àpapọ̀ iṣẹ́ náà \( \frac{1}{x} \) ni:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| +C\]
Nítorí náà, \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 5: Àpapọ̀ Àwọn Iṣẹ́ Ìfọ̀rọ̀wérọ̀ Odi
Ìbéèrè: Pinnu àpapọ̀ iṣẹ́ náà \( f(x) = x^{-2} \).
Ìjíròrò: Fún \( n \neq -1 \), a lo òfin ìpìlẹ̀ tó jẹ́ mọ́ ara wọn:
\[ \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \]
Nínú ọ̀ràn yìí, \( n = -2 \), nítorí náà:
\[ \int x^{-2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} + C = \frac{1}{-1} x^{-1} + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \]
Nítorí náà, \( \int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 6: Àpapọ̀ Àwọn Iṣẹ́ Àpapọ̀
Ìbéèrè: Pinnu ìṣọ̀kan iṣẹ́ náà \( f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 5 \).
Ìjíròrò: A le so ọ̀rọ̀ kọ̀ọ̀kan pọ̀ lọ́tọ̀ọ̀tọ̀ nípa lílo àwọn òfin ìpìlẹ̀ ti ìṣọ̀kan:
\[ \int (4x^3 – 3x^2 + 2x – 5) \, dx = \int 4x^3 \, dx – \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx – \int 5 \, dx \]
Bayi a ṣepọ ọrọ kọọkan lọtọ:
\[ \int 4x^3 \, dx = 4 \int x^3 \, dx = 4 \left( \frac{1}{3+1} x^{3+1} \right) = 4 \left( \frac{1}{4} x^4 \right) = x^4 \]
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{1}{2+1} x^{2+1} \right) = 3 \left( \frac{1}{3} x^3 \right) = x^3 \]
\[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \left( \frac{1}{1+1} x^{1+1} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} x^2 \right) = x^2 \]
\[ \int 5 \, dx = 5x \]
Tí a bá so àwọn àbájáde wọ̀nyí pọ̀, a ó rí:
\[ \int (4x^3 – 3x^2 + 2x – 5) \, dx = x^4 – x^3 + x^2 – 5x + C \]
Nítorí náà, \( \int (4x^3 – 3x^2 + 2x – 5) \, dx = x^4 – x^3 + x^2 – 5x + C \).
Ipari
Ìṣọ̀kan àìlópin jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò, ó sì ní onírúurú òfin tó mú kí ó rọrùn láti so onírúurú iṣẹ́ pọ̀. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ti jíròrò ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ àwọn ìṣọ̀kan àìlópin, títí bí àwọn polynomials, exponentials, trigonometric functions, fractions, functions with negative exponents, àti àwọn àpapọ̀ functions. Lílóye àti mímọ àwọn òfin ìpìlẹ̀ ti integrals wọ̀nyí yóò wúlò gan-an ní yíyanjú onírúurú ìṣòro calculus.
Àwọn ìṣọ̀kan tí kò ní ààlà kìí ṣe pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò nìkan, wọ́n tún ní àwọn ìlò tó gbòòrò nínú fisiksi, ìmọ̀ ẹ̀rọ, àti àwọn ẹ̀ka mìíràn. Pẹ̀lú ìdánrawò tó tó, ìṣọ̀kan àwọn iṣẹ́ onírúurú yóò rọrùn àti kí ó rọrùn láti lóye.
