Àwọn Ìbéèrè Àpẹẹrẹ Tí Ó Ń Jíròrò Ìtẹ̀jáde Onípele-ẹ̀rọ
Àwọn ìtẹ̀jáde onípele-ẹ̀dá jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìmọ̀ ìṣirò, tí wọ́n sábà máa ń fara hàn nínú onírúurú ìṣòro, títí bí ìdánwò ilé-ẹ̀kọ́, ìdánwò ìwọlé ilé-ẹ̀kọ́ gíga, àti àwọn ìdánwò tí a ṣe déédé bíi SAT tàbí GRE. Òye pípéye nípa ìtẹ̀jáde onípele-ẹ̀dá ń ràn wá lọ́wọ́ láti yanjú àwọn ìṣòro lọ́nà tí ó dára. Àpilẹ̀kọ yìí yóò bo ọ̀pọ̀lọpọ̀ àpẹẹrẹ ìṣòro, yóò sì jíròrò ìtẹ̀jáde onípele-ẹ̀dá ní kíkún.
Lílóye Ìpele Jiometirika
Ìtẹ̀léra onígun mẹ́ta jẹ́ ìtẹ̀léra kan tí a lè rí ọ̀rọ̀ kọ̀ọ̀kan nípa sísọ ọ̀rọ̀ ìṣáájú di púpọ̀ pẹ̀lú nọ́mbà tí a ń pè ní ìpíndọ́gba (ìpíndọ́gba gbogbogbò, tí a sábà máa ń fi lẹ́tà \(r\) ṣàpẹẹrẹ). Ní gbogbogbò, a lè kọ ìtẹ̀léra onígun mẹ́rin gẹ́gẹ́ bí:
\[
a, ar, ar^2, ar^3, \ldots
\]
Mo ṣe é:
– \(a\) ni ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́
– \(r\) ni ipin ti jara naa
Tí \( |r| < 1 \), àwọn ìtẹ̀jáde onípele aláìlópin ní àwọn ànímọ́ ìṣọ̀kan tó dùn mọ́ni. Ọpọlọpọ awọn ohun elo iṣe ti o wulo ti jara jiometirika lo wa ni ọpọlọpọ awọn aaye bii fisiksi, eto-ọrọ-aje, ati isedale. Fọ́múlá Ìtẹ̀síwájú Onípele-ẹ̀rọ Ọ̀rọ̀ kẹẹ̀tì ti ìtẹ̀síwájú onípele-ẹ̀rọ Ọ̀rọ̀ kẹẹ̀tì ti ìtẹ̀síwájú onípele-ẹ̀rọ A lè ṣírò ọ̀rọ̀ kẹẹ̀tì ti ìtẹ̀síwájú onípele-ẹ̀rọ nípa lílo fọ́múlá: \[ U_n = a \cdot r^{n-1} \] Àròpọ̀ Àwọn Ọ̀rọ̀ Àkọ́kọ́ n ti Ìtẹ̀síwájú Onípele-ẹ̀rọ A lè ṣírò àpapọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ \(n\) àkọ́kọ́ ti ìtẹ̀síwájú onípele-ẹ̀rọ (Sn) nípa lílo fọ́múlá: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad \text{for } r \neq 1 \] \[ S_n = na, \quad \text{for } r = 1 \] Àròpọ̀ Àìlópin ti Ìtẹ̀síwájú Onípele-ẹ̀rọ Tí \(|r| < 1\), ìtẹ̀síwájú onípele-ẹ̀rọ aláìlópin ní àròpọ̀ náà: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \] Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò Àwọn àpẹẹrẹ díẹ̀ ti àwọn ìbéèrè ìtẹ̀síwájú onípele-ẹ̀rọ pẹ̀lú àwọn ìjíròrò wọn nìyí: Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Ṣíṣírò Ìbéèrè Ìtẹ̀síwájú Onípele-ẹ̀rọ: Fúnni ní ìtẹ̀síwájú onípele-ẹ̀rọ pẹ̀lú ìtẹ̀síwájú àkọ́kọ́ \(a = 5\) àti ìpíndọ́gba \(r = 3\). Ṣírò ìpele kẹfà ti ìtẹ̀léra náà. Ìjíròrò: Nípa lílo àgbékalẹ̀ ọ̀rọ̀ nth: \[ U_6 = a \cdot r^{(6-1)} = 5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215 \] Nítorí náà, ọ̀rọ̀ kẹfà nínú àwọn ìtẹ̀jáde náà ni 1215. Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Ṣíṣírò Àròpọ̀ Àwọn Ọ̀rọ̀ Àkọ́kọ́ n Ìbéèrè: Ṣíṣírò àròpọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ mẹ́rin àkọ́kọ́ nínú ìtẹ̀lé onígun mẹ́rin pẹ̀lú ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \(a = 2\) àti ìpíndọ́gba \(r = \frac{1}{2}\). Ìjíròrò: Lílo àgbékalẹ̀ fún àròpọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \(n\): \[ S_4 = a \frac{1 - r^4}{1 - r} = 2 \frac{1 - (\frac{1}{2})^4}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - \frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = 2 \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{15}{8} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = 3.75 \] Nítorí náà, àròpọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ mẹ́rin àkọ́kọ́ nínú ìtẹ̀léra náà jẹ́ 3.75. Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 3: Àròpọ̀ Ìtẹ̀jáde Ìrísí Onípele Aláìlópin Ìbéèrè: Ṣírò àròpọ̀ ìtẹ̀jáde aláìlópin níbi tí \(a = 7\) àti \(r = \frac{1}{3}\). Ìjíròrò: Lílo àgbékalẹ̀ fún àròpọ̀ àwọn ìlà àìlópin: \[S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{7}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{7}{\frac{2}{3}} = 7 \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \] Nítorí náà, àròpọ̀ ìlà àìlópin jẹ́ 10.5. Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4: Ṣíṣàlàyé Àwọn Ọ̀rọ̀ àti Ìpíndọ́gba Ìbéèrè Ìtẹ̀léra: Àròpọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ mẹ́ta àkọ́kọ́ nínú ìtẹ̀léra onígun mẹ́ta jẹ́ 21, àti àròpọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ kejì àti kẹta jẹ́ 18. Pinnu ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ àti ìpíndọ́gba rẹ̀. Ìjíròrò: Ká sọ pé ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ ni \(a\) àti pé ìpíndọ́gba náà ni \(r\). Láti inú ìwífún nípa ìṣòro náà, a lè kọ àwọn ìdọ́gba méjì wọ̀nyí: \[a + ar + ar^2 = 21 \quad \text{(1)} \] \[ar + ar^2 = 18 \quad \text{(2)} \] Láti inú ìdọ́gba (2), a lè sọ \(a\) ní ìbámu pẹ̀lú \(r\): \[a(r + r^2) = 18 \túmọ̀ sí a = \frac{18}{r(1 + r)} \] Lẹ́yìn náà, fi \(a\) rọ́pò sí ìdọ́gba (1): \[ \frac{18(1)}{r(1 + r)} + \frac{18r}{r(1 + r)} + \frac{18r^2}{r(1 + r)} = 21 \] \[ \frac{18}{1 + r} + \frac{18r}{1 + r} + \frac{18r^2}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 (1 + r + r^2)}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 \cdot 3}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{54}{1 + r} = 21 \] \[ 54 = 21(1 + r) \] \[ 54 = 21(1 + r) \] \[ 33 = 21r \] \[ r = \frac{33}{21} = \frac{11}{7} \] Pẹ̀lú mímọ iye \(r\), rọ́pò rẹ̀ padà sí iye \(a\): \[ a = \frac{18}{r(1 + r)} = \frac{18}{\frac{11}{7} (21 + \frac{11}{7})} = \frac{18}{\frac{11}{7} \cdot \frac{18}{7}} = \frac{18 \cdot 7}{11 \cdot 18} = \frac{7}{11} \] Nítorí náà, ọ̀rọ̀ àkọ́kọ́ \(a\) ni \(\frac{7}{11}\) àti ìpíndọ́gba náà ni \(\frac{11}{7}\). Ìparí Ìsọ̀rí onípele-ẹ̀rọ jẹ́ èrò ìṣirò tí a ń lò fún onírúurú iṣẹ́. Lílóye àwọn fọ́ọ̀mù ìpìlẹ̀ bíi nth term, àròpọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ n àkọ́kọ́, àti àròpọ̀ àwọn ìtẹ̀lé onípele aláìlópin jẹ́ pàtàkì fún yíyanjú onírúurú ìṣòro ìṣirò tó jọra. Nípa ṣíṣe àṣàrò lórí onírúurú ìṣòro àpẹẹrẹ gẹ́gẹ́ bí a ti jíròrò nínú àpilẹ̀kọ yìí, a lè mú kí agbára wa láti lóye àti lo àwọn ìtẹ̀jáde onípele-ìrísí dáa jù.
