Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Tí Ó Ń Jíròrò Lílo Àwọn Ààlà Iṣẹ́
Ààlà iṣẹ́ jẹ́ èrò pàtàkì nínú ìṣirò, tí a sábà máa ń lò láti mọ ìwà iṣẹ́ bí ó ṣe ń sún mọ́ ibi pàtó kan. Nínú ìṣirò, pàápàá jùlọ ìṣirò, òye ààlà iṣẹ́ ṣe pàtàkì fún gbígbé ìpìlẹ̀ kalẹ̀ fún àwọn èrò míràn bíi àwọn ohun tí a fi ṣe àtúnṣe àti àwọn ohun tí a fi ṣe àkópọ̀. Àpilẹ̀kọ yìí yóò sọ̀rọ̀ nípa àwọn àpẹẹrẹ ìṣòro àti ìjíròrò àwọn iṣẹ́ ààlà láti fúnni ní òye jíjinlẹ̀ nípa kókó yìí.
Ifihan si Awọn Idiwọn Iṣẹ
Ààlà iṣẹ́ kan ṣàlàyé iye tí iṣẹ́ náà ń súnmọ́ bí oníyípadà náà ṣe ń súnmọ́ iye kan pàtó. Oríṣi ààlà méjì ló wà tí a sábà máa ń sọ̀rọ̀ nípa wọn: ààlà apá kan (ààlà apá òsì àti ààlà apá ọ̀tún) àti ààlà apá méjì. Àmì gbogbogbò fún ààlà iṣẹ́ kan \( f(x) \) bí \( x \) ṣe ń súnmọ́ \( a \) ni:
\[
\lim_{x \to a} f(x)
\]
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 1: Ààlà Ìpìlẹ̀
Ìbéèrè:
Pinnu iye ti \(\lim_{x \to 2} (3x + 1)\).
Ìjíròrò:
Èyí jẹ́ àpẹẹrẹ ààlà ìpìlẹ̀ níbi tí iṣẹ́ \( f(x) = 3x + 1 \) jẹ́ iṣẹ́ onílà tí ó ń tẹ̀síwájú jákèjádò agbègbè rẹ̀. Lẹ́yìn náà, a lè fi iye \( x = 2 \) rọ́pò tààrà sí iṣẹ́ náà.
\[
\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7
\]
Nítorí náà, \(\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7\).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 2: Ààlà nípa Pínpín sí Òdo
Ìbéèrè:
Pinnu iye ti \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3}\).
Ìjíròrò:
Tí a bá fi \( x = 3 \) rọ́pò tààrà sí iṣẹ́ náà, a ó rí fọ́ọ̀mù tí a kò mọ̀ \(\frac{0}{0}\). Nítorí náà, a gbọ́dọ̀ kọ́kọ́ mú iṣẹ́ náà rọrùn.
Ṣàkíyèsí pé nọ́mbà \( x^2 – 9 \) jẹ́ fọ́ọ̀mù onígun mẹ́rin tí a lè fi ṣe àkójọpọ̀:
\[
x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
\]
Nitorinaa, iṣẹ akọkọ le tun kọ bi:
\[
\frac{x^2 – 9}{x – 3} = \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3}
\]
Láti ibi, a le mú kí ó rọrùn nípa fífagilé \( x – 3 \) nínú nọ́mbà àti iyeìpín, tí ó bá jẹ́ pé \( x \neq 3 \):
\[
\frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3
\]
Nisinsinyi a le ṣe iṣiro opin taara nipa rirọpo \( x = 3 \):
\[
\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6
\]
Nítorí náà, \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6\).
Àpẹẹrẹ 3: Àwọn ààlà pẹ̀lú àwọn iṣẹ́ ìpín
Ìbéèrè:
Wa iye ti \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1}\).
Ìjíròrò:
Tí a bá fi \( x = 1 \) rọ́pò tààrà sí iṣẹ́ náà, a ó rí fọ́ọ̀mù tí a kò mọ̀ \(\frac{0}{0}\). Láti yanjú èyí, a ní láti mú iṣẹ́ náà rọrùn. Ọ̀nà kan ni láti fi ìdí iye náà múlẹ̀.
A fi conjugate ti nomba naa se isodipupo nomba ati denominator:
\[
\frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2}
\]
Lẹhinna a gba:
\[
\frac{(\sqrt{x + 3} – 2)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(x – 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{(x + 3) – 4}{(x – 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}
\]
Ṣe ìsọdipúrò náà ní ìrọ̀rùn:
\[
x + 3 – 4 = x – 1
\]
Nítorí náà:
\[
\frac{x – 1}{(x – 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}
\]
Nísinsìnyí a le ṣírò ààlà náà nípa lílo ìyípadà \( x = 1 \):
\[
\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
\]
Nítorí náà, \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1} = \frac{1}{4}\).
Àpẹẹrẹ Ìbéèrè 4: Àwọn ààlà pẹ̀lú Trigonometry
Ìbéèrè:
Pinnu iye ti \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).
Ìjíròrò:
A mọ̀ pé fún àwọn ààlà ìpìlẹ̀ ti trigonometry, àwọn ààlà tí a mọ̀ wọ̀nyí wà:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
\]
Fún ìṣòro yìí, a ní láti so ó pọ̀ mọ́ ìrísí ìpìlẹ̀ yẹn. Ṣàkíyèsí pé \( 3x \) ni àríyànjiyàn ti sine. A lè sọ ààlà náà nípa ṣíṣe àtúnṣe rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí a ṣe tẹ̀lé e yìí:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3
\]
Nítorí \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \) pẹ̀lú \( u = 3x \), nítorí náà:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1
\]
Nítorí náà:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 1 \cdot 3 = 3
\]
Nítorí náà, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\).
Ipari
Àpilẹ̀kọ yìí ti sọ̀rọ̀ nípa ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ìṣòro àpẹẹrẹ, ó sì ti jíròrò bí a ṣe ń lo àwọn ààlà iṣẹ́ nínú ìṣirò. Nínú ìṣòro àpẹẹrẹ kọ̀ọ̀kan, ìjíròrò náà bẹ̀rẹ̀ nípa dídá àwọn fọ́ọ̀mù tí a rí mọ̀ nígbà tí a bá ń yí àwọn iye padà, lẹ́yìn náà, a ń wá ọ̀nà láti mú kí iṣẹ́ náà rọrùn tàbí kí a fi ìdí rẹ̀ múlẹ̀. Lílóye àwọn ààlà iṣẹ́ àti bí a ṣe lè yanjú wọn ṣe pàtàkì fún mímọ àwọn èrò ìṣirò tó ti ní ìlọsíwájú, bí àwọn ohun tí a ti ṣe àtúnṣe àti àwọn ohun tí a ti ṣe àtúnṣe. Pẹ̀lú ìṣe déédéé, òye rẹ nípa àwọn ààlà iṣẹ́ yóò lágbára sí i, yóò sì jinlẹ̀ sí i.
