צוויי-דימענסיאָנאַלע וועקטאָרן אין אַ קאָאָרדינאַט סיסטעם

צוויי-דימענסיאָנאַלע וועקטאָרן אין אַ קאָאָרדינאַט סיסטעם

הקדמה

אין מאטעמאטיק און פיזיק, זענען וועקטאָרן א קריטישער באַגריף און ווערן אָפט גענוצט צו רעפּרעזענטירן קוואַנטיטעטן מיט ביידע גרייס און ריכטונג. צוויי-דימענסיאָנעלע וועקטאָרן, ספּעציפֿיש, זענען וועקטאָרן אין דער פלאַך, אויסגעדריקט מיט צוויי קאָאָרדינאַט קאָמפּאָנענטן. דער אַרטיקל וועט צושטעלן אַ טיפן איבערבליק פון צוויי-דימענסיאָנעלע וועקטאָרן אין אַ קאָאָרדינאַט סיסטעם, אַרייַנגערעכנט זייער דעפֿיניציע, רעפּרעזענטאַציע, גרונטלעכע אָפּעראַציעס און אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער.

דעפֿיניציע און רעפּרעזענטאַציע

וועקטאָר דעפֿיניציע

א וועקטאָר איז אַן ענטיטי וואָס האט צוויי וויכטיקע אַטריביוטן: מאַגניטוד און ריכטונג. אין אַ צוויי-דימענסיאָנאַלער (2D) קאָאָרדינאַט סיסטעם, רעפּרעזענטירן מיר געוויינטלעך וועקטאָרן ווי געאָרדנטע פּאָרן פון צוויי נומערן.

וועקטאָר נאָטאַציע

דער וועקטאָר \(\mathbf{v}\) אין אַ 2D קאָאָרדינאַט סיסטעם ווערט געוויינטלעך אויסגעדריקט ווי \(\mathbf{v} = (v_x, v_y)\), וואו \(v_x\) און \(v_y\) זענען די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר אויף די x- און y-אַקסן, ריספּעקטיוולי. אין אַן אַלטערנאַטיווער נאָטאַציע, קען דער וועקטאָר אויך געשריבן ווערן ווי \(\mathbf{v} = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j}\), וואו \(\mathbf{i}\) און \(\mathbf{j}\) זענען די איינהייט וועקטאָרן אויף די x- און y-אַקסן, ריספּעקטיוולי.

פּאָזיציע וועקטאָר

א פאזיציע וועקטאָר איז א פשוט ביישפּיל פון א וועקטאָר, וואָס ווערט געוויינטלעך גענוצט צו ווייזן די פאזיציע פון ​​א פונקט אין באַצוג צו דעם אָנהייב. אויב פונקט A איז ביי קאָאָרדינאַטן (a, b), דאַן ווערט דער פאזיציע וועקטאָר פון דעם אָנהייב ביז פונקט A באַצייכנט ווי \(\mathbf{A} = (a, b)\).

גראַפֿישע רעפּרעזענטאַציע

א וועקטאָר קען ווערן אָפּגעבילדעט ווי אַ פײַל אין דער קאָאָרדינאַט־פֿלאַך מיט זײַן עק בײַם אָנהייב (0, 0) און זײַן שפּיץ בײַם פּונקט (v_x, v_y). דער פײַל ווײַזט ווי ווײַט און אין וועלכער ריכטונג דער פּונקט איז פֿונעם אָנהייב.

גרונטלעכע אפעראציעס אויף וועקטאָרן

וועקטאָר אַדיציע

צולייגן צוויי וועקטאָרן ווערט געטאָן דורך צולייגן זייערע קאָמפּאָנענטן. למשל, אויב מיר האָבן צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{u} = (u_x, u_y)\) און \(\mathbf{v} = (v_x, v_y)\), דאַן איז די צולייגן פון די צוויי וועקטאָרן:

\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)
\]

געאמעטריש, קען מען זען דעם רעזולטאט פון דעם צוגאב ווי דעם שטעל פונעם צווייטן וועקטאָר ביים שפיץ פונעם ערשטן וועקטאָר, און דער רעזולטאט וועקטאָר איז דער וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט דעם שפיץ פונעם ערשטן וועקטאָר מיט דער שפיץ פונעם צווייטן וועקטאָר.

וועקטאָר סובטראַקציע

אַראָפּרעכענען צוויי וועקטאָרן איז ענלעך צו צולייגן, אָבער די קאָמפּאָנענטן פון די וועקטאָרן ווערן אַראָפּגענומען. אויב מיר האָבן וועקטאָרן \(\mathbf{u}\) און \(\mathbf{v}\) ווי אויבן, איז די אַראָפּרעכענונג:

\[
\mathbf{u} - \mathbf{v} = (ו_קס - וו_קס, ו_י - וו_י)
\]

סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע

סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע איז די אָפּעראַציע אין וועלכער אַ וועקטאָר ווערט געמערט מיט אַ נומער (סקאַלאַרע). אויב \(\mathbf{v} = (v_x, v_y)\) און k איז אַ סקאַלאַרע, דאַן:

\[
k\mathbf{v} = (k\v_x, k\v_y)
\]

פּונקט פּראָדוקט

דער פּונקט־פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן \(\mathbf{u}\) און \(\mathbf{v}\) פּראָדוצירט אַ סקאַלאַר און ווערט פֿאָרמולירט ווי:

\[
\mathbf{ו} \cdot \mathbf{v} = ו_קס וו_קס + ו_י וו_י
\]

דער רעזולטאַט פון דעם אָפּעראַציע גיט אינפֿאָרמאַציע וועגן וויפֿל די קאָמפּאָנענטן פֿון די צוויי וועקטאָרן זענען אין דער זעלבער ריכטונג ווי יעדן אַנדערן.

לענג (מאַגניטוד) פון וועקטאָר

די לענג אדער גרייס פון דעם וועקטאָר \(\mathbf{v} = (v_x, v_y)\) קען אויסגערעכנט ווערן מיט דער פאָרמולע:

\[
|\מאַטבף{וו}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]

די לענג רעפּרעזענטירט די דיסטאַנץ פֿון דעם אָנהייב ביזן פּונקט (v_x, v_y) אין קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן.

וועקטאָר אַפּליקאַציעס

פיזיק

אין פיזיק, ווערן וועקטאָרן אָפט גענוצט צו רעפּרעזענטירן פֿאַרשידענע פֿיזישע קוואַנטיטעטן ווי גיכקייט, אַקסעלעראַציע און קראַפט. למשל, אויב אַן אָביעקט באַוועגט זיך מיט אַ קאָנסטאַנטער גיכקייט, רעפּרעזענטירט דורך דעם וועקטאָר \(\mathbf{v}\), קען מען אויסרעכענען דעם וועג וואָס מען גייט אין אַ געגעבענער צייט מיט וועקטאָר אָפּעראַציעס.

אינזשעניריע און טעכנאָלאָגיע

אין אינזשעניריע, ווערן וועקטאָרן גענוצט פֿאַר סטאַטישע און דינאַמישע אַנאַליזן פֿון סטרוקטורן. למשל, די כוחות וואָס ווירקן אויף אַן אינזשעניריע סטרוקטור קענען רעפּרעזענטירט ווערן ווי וועקטאָרן, און די אַנאַליז ווערט געמאַכט דורך צוזאַמעננעמען די קראַפט וועקטאָרן צו געפֿינען די נויטיקע קעגנשטאַנד קראַפט.

קאָמפּיוטער גראַפיקס

אין קאָמפּיוטער גראַפיקס, ווערן וועקטאָרן גענוצט צו רעפּרעזענטירן פֿאַרשידענע געאָמעטרישע טראַנספאָרמאַציעס ווי טראַנסלאַציע, ראָטאַציע און סקיילינג. וועקטאָרן ווערן אויך גענוצט אין באַלויכטונג און שאָטן צו באַשטימען די ריכטונג און אינטענסיטעט פון ליכט וואָס שלאָגט אָביעקטן אין אַ 3D סצענע.

עקאָנאָמעטריקס און דאַטן וויסנשאַפֿט

אין עקאנאָמעטריקס און דאַטן וויסנשאַפֿט, ווערן וועקטאָרן אָפט גענוצט אין פֿאַרשידענע סטאַטיסטישע און מאַשין לערנען מאָדעלן. למשל, ווערן אינפוט אַטריביוט וועקטאָרן גענוצט אין מאַשין לערנען אַלגעריטמען צו פאָרויסזאָגן אָדער קלאַסיפֿיצירן דאַטן.

קעסימפּולאַן

צוויי-דימענסיאָנאַלע וועקטאָרן זענען שטאַרקע מכשירים אין אַ פאַרשיידנקייט פון דיסציפּלינעס. אַ גרונטלעכע פארשטאנד פון ווי וועקטאָרן ווערן רעפּרעזענטירט און ווי גרונטלעכע אָפּעראַציעס אויף זיי ווערן דורכגעפירט איז יסודותדיק פֿאַר זייער ווייטערדיקע אַפּליקאַציע. פון פיזיק ביז קאָמפּיוטער גראַפיקס, און פון אינזשעניריע ביז דאַטן וויסנשאַפֿט, וועקטאָר קאָנצעפּטן העלפֿן אונדז פֿאַרשטיין און מאָדעלירן די וועלט אַרום אונדז אין אַ מער עפעקטיוו און סטרוקטורירט וועג. באַהערשן די קאָנצעפּטן עפֿנט די טיר צו ווייטערדיקע אַנאַליז און אַנטוויקלונג אין פילע פאַרשידענע פעלדער.