וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע פון גרופּע דאַטן
סטאַטיסטיק איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס מען ניצט צו זאַמלען, אָרגאַניזירן, אַנאַליזירן, אינטערפּרעטירן און פּרעזענטירן דאַטן. איין וויכטיקער באַגריף אין סטאַטיסטיק איז מעסטן וועריאַביליטי, אדער די פֿאַרשפּרייטונג פֿון דאַטן. צוויי הויפּט מאָסן פֿון וועריאַביליטי זענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע. דער אַרטיקל וועט אויספֿאָרשן וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע אין טיפֿקייט, ספּעציפֿיש אין דעם קאָנטעקסט פֿון גרופּע דאַטן.
דעפֿיניציע און וויכטיקייט פֿון וועריאַביליטי
וועריאַביליטי מעסט ווי ווייט דאַטן פאַרשפּרייטן זיך פון זייער דורכשניט. מעסטן וועריאַביליטי איז וויכטיק ווייַל עס גיט נאָך איינזיכטן וואָס קענען נישט באַקומען ווערן בלויז פון מעסטונגען פון צענטראַל טענדענץ, אַזאַ ווי די דורכשניט. דורך וויסן די מאָס פון וועריאַביליטי, קענען מיר פֿאַרשטיין ווי קאָנסיסטענט די דאַטן זענען און ידענטיפיצירן פּאָטענציעלע אַויסנאַם אָדער אַנאַמאַליעס.
פֿאַרשטיין וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויאַציע
וואַריאַנס איז אַ מאָס פֿון דער פֿאַרשפּרייטונג פֿון דאַטן וואָס ווײַזט ווי ווײַט יעדער דאַטן־פּונקט איז פֿון זײַן דורכשניט אין קוואַדראַט־אײַנהייטן. עס ווערט געגעבן דורך דעם סימבאָל \( \sigma^2 \) פֿאַר אַ פּאָפּולאַציע און \(s^2 \) פֿאַר אַ מוסטער. די פֿאָרמולע פֿאַר וואַריאַנס פֿאַר פּאָפּולאַציע־דאַטן איז:
[ \sigma^2 = \frac{\sum(X_i – \mu)^2}{N} \]
וואָס שייך דעם מוסטער, איז די פֿאָרמולע:
[ s^2 = \frac{\sum(X_i – \bar{X})^2}{n-1} \]
וואו:
– \(X_i \) איז דער אינדיווידועלער דאטן ווערט
– \( \mu \) איז דער דורכשניט פון דער באַפעלקערונג
– \( \bar{X} \) איז דער מוסטער דורכשניט
– \(N \) איז די באַפעלקערונג גרייס
– \(n \) איז די מוסטער גרייס
סטאַנדאַרד דעוויאַציע איז די קוואַדראַט וואָרצל פון דער וואַריאַנס. עס ווערט געגעבן דורך דעם סימבאָל _( \sigma \) פֿאַר אַ פּאָפּולאַציע און _(s \) פֿאַר אַ מוסטער. סטאַנדאַרד דעוויאַציע גיט צוריק די דאַטן איינהייטן צו זייער אָריגינעלער פאָרעם, מאַכנדיג עס גרינגער צו ינטערפּרעטירן ווי וואַריאַנס.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
\[ s = \sqrt{s^2} \]
גרופע דאַטן
גרופּירטע דאַטן איז דאַטן וואָס איז קלאַסיפֿיצירט געוואָרן אין עטלעכע קאַטעגאָריעס אָדער אינטערוואַלן. למשל, סטודענטן'ס הייך זענען צעטיילט אין אינטערוואַלן פון 150-155 ס״מ, 155-160 ס״מ, און אַזוי ווייטער. אַנאַליזירן וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויאַציע אויף גרופּירטע דאַטן פארלאנגט אַ ביסל אַנדערש צוגאַנג ווי אַנאַליזירן יחיד דאַטן.
טריט צו רעכענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעווייישאַן פֿאַר גרופּע דאַטן
פאלגנד זענען די טריט צו רעכענען די וועריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון גרופּע דאַטן:
1. שאַפֿן אַ פֿרעקווענץ פֿאַרטיילונג טאַבעלע
– דאַטן ווערן צעטיילט אין עטלעכע קלאַסן אָדער אינטערוואַלן.
– די אָפטקייט פון יעדן אינטערוואַל (די צאָל דאַטן אין יעדן אינטערוואַל) ווערט רעקאָרדירט.
2. באַשטימען דעם מיטלפונקט פון דער קלאַס
– דער מיטלפונקט פון יעדן אינטערוואַל ווערט אויסגערעכנט ווי: \( \text{מיטלפונקט} = \frac{\text{אונטערשטער גרענעץ} + \text{אויבערשטער גרענעץ}}{2} \)
3. אויסרעכענען דעם צייטווייליגן דורכשניט (\( \bar{X} \))
– דער דורכשניט ווערט אויסגערעכנט לויט דער פארמל: \( \bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
וואו \(f_i \) איז די פרעקווענץ און \(x_i \) איז דער מיטלפונקט פון דעם אינטערוואַל.
4. אויסרעכענען די אָפּנייגונג פֿון דורכשניט און זײַן קוואַדראַט
– פֿאַר יעדן אינטערוואַל, ווערט די אָפּנייגונג פֿון דורכשניט אויסגערעכנט ווי: \( d_i = x_i – \bar{X} \)
– דערנאך רעכנט אויס דעם קוואדראט: \( d_i^2 \)
5. אויסרעכענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע
– וואַריאַנס ווערט קאַלקולירט מיט דער פֿאָרמל: \( s^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i – 1} \)
– די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז די קוואַדראַט וואָרצל פון דער וואַריאַנס: \( s = \sqrt{s^2} \)
קאַלקולאַציע בייַשפּיל
לאָמיר זאָגן מיר האָבן סטודענטן הייך דאַטן גרופּירט ווי גייט:
| אינטערוואַל (ס״מ) | אָפטקייט (פֿ) |
|—————|—————|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 10 |
| 160 – 164 | 15 |
| 165 – 169 | 8 |
| 170 – 174 | 2 |
1. אָפטקייט פאַרשפּרייטונג טיש:
| אינטערוואַל (ס״מ) | פרעקווענץ (f) | מיטלפונקט (x) | \(f ⋅x \) | \(d = x – \bar{X} \) | \(d^2 \) | \(f ⋅d^2 \) |
|——————|——————|———————|———————–|———————|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | | | |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | | | |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | | | |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | | | |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | | | |
| סך־הכּל | 40 | | 6440 | | | |
2. אויסרעכענען דעם דורכשניט (\( \bar{X} \)):
[\bar{X} = \frac{6440}{40} = 161 \]
3. אויסרעכענען די אָפּנייגונג פֿון דורכשניט און זײַן קוואַדראַט:
| אינטערוואַל (ס״מ) | פרעקווענץ (f) | מיטלפונקט (x) | \(f ≈ x \) | \(d = x – 161 \) | \(d^2 \) | \(f ≈ d^2 \) |
|——————|——————|———————|———————–|———————-|———————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | -9 | 81 | 405 |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | -4 | 16 | 160 |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | 1 | 1 | 15 |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | 6 | 36 | 288 |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | 11 | 121 | 242 |
| סך־הכּל | 40 | | 6440 | | | 1110 |
4. אויסרעכענען וואַריאַנס:
[s^2 = \frac{1110}{40 – 1} = \frac{1110}{39} \aprox 28.46 \]
5. אויסרעכענען סטאַנדאַרט דעוויאַציע:
\[s = \sqrt{28.46} \aprox 5.33 \]
קעסימפּולאַן
וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע זענען וויכטיקע מאָסן אין סטאַטיסטיק וואָס באַשרײַבן די פאַרשפּרייטונג פון דאַטן אַרום זײַן דורכשניט. כאָטש די קאָנצעפּטן קענען ווערן געווענדט צו יחיד דאַטן, איז דער קאַלקולאַציע פּראָצעס אַ ביסל אַנדערש פֿאַר גרופּירטע דאַטן. פֿון דעם בייַשפּיל אויבן, קענען מיר זען די דעטאַלירטע טריט פֿאַר קאַלקולירן וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע פֿאַר גרופּירטע דאַטן. די אינפֿאָרמאַציע איז נוצלעך אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון אַפּליקאַציעס, פֿון אַקאַדעמישער פֿאָרשונג ביז געשעפֿט און פּראָדוקציע אַנאַליז.
מיט א גוטן פארשטאנד פון וועריאנץ און סטאנדארט דעוויאציע, קענען מיר מער גענוי אינטערפרעטירן און מאכן באשלוסן באזירט אויף די דאטן וואס מיר האבן. דאס ערלויבט אונז צו האלטן רעזולטאטן וואס זענען נישט נאר גענוי נאר אויך רעלאוואנט.
