דעריוואַטיוון פון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס

דעריוואַטיוון פון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס

אין פארגעשריטענע מאטעמאטיק, ספעציעל קאלקולוס, טרעפן מיר אפט טריגאנאָמעטרישע פונקציעס ווי סינוס (sin), קאסינוס (cos), סעקאנט (sec), קאסעקאנט (csc), טאנגענט (tan), און קאטאנגענט (cot). אין דעם קאנטעקסט, איז וויסן די דעריוואטיוון פון די פונקציעס קריטיש, ספעציעל פאר אנווענדונגען אין פיזיק, אינזשעניריע, און קאמפיוטער וויסנשאפט. דער ארטיקל וועט דעטאלירן ווי אזוי צו באשטימען די דעריוואטיוון פון די טריגאנאָמעטרישע פונקציעס.

הקדמה צו דעריוואַטיוון

איידער מיר דיסקוטירן די דעריוואַטיוון פון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס, לאָמיר קורץ איבערקוקן דעם באַגריף פון אַ דעריוואַטיוו. די דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע גיט אונדז די ראַטע פון ​​ענדערונג פון יענער פונקציע אין באַצוג צו איר אומאָפּהענגיקער וועריאַבל. אין געאָמעטרישע טערמינען, די דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע f(x) אין אַ פּונקט x גיט דעם גראַדיענט, אָדער שיפּוע, פון דער טאַנגענט ליניע צו דער קורווע f(x) אין יענעם פּונקט.

מאטעמאטיש, ווערט די ערשטע דעריוואטיוו פון דער פונקציע f(x) דעפינירט ווי פאלגנד:

[f'(x) = θ_{Δx = θ_{Δx}} \frac{f(x + Δx) – f(x)}{Δx}]

די דעפֿיניציע בלייבט טאַקע די זעלבע פֿאַר טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס, אָבער עס וועט זיין גרינגער אויב מיר וויסן עטלעכע גרונטלעכע דעריוואַטיוון פֿון גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס.

דעריוואַטיוון פון גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס

1. סינוס דעריוואַט (sin x)

די סינוס פונקציע איז איינע פון ​​די מערסט באַזישע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס. די דעריוואַטיוו פון סינוס x איז קאָס x. דאָס איז אָפּגעפֿירט פֿון געוויסע לימיטן און דיפֿערענציאַל אַלגעברע.

[\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]

דאס הייסט, אויב f(x) = sin x, דאן f'(x) = cos x.

2. קאָסינוס דעריוואַט (קאָס x)

קאָסינוס איז נאָך אַ גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פֿונקציע. די דעריוואַטיוו פֿון קאָס x איז -סינוס x.

[\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]

דאס הייסט, אויב f(x) = cos x, דאן f'(x) = -sin x.

3. טאַנגענט דעריוואַטיוו (טאַן x)

די טאַנגענט פונקציע איז די פאַרהעלטעניש פון סינוס און קאָסינוס. די דעריוואַטיוו פון טאַן x איז סעק^2 x. דאָס קען מען באַקומען מיט דער דעריוואַטיוו-רעגולע פֿאַר קאָמפּאָזיט (קייט) פונקציעס.

[\frac{d}{dx}(\tanx) = \sec^2x\]

דאס הייסט, אויב f(x) = tan x, דאן f'(x) = sec² x.

4. קאָטאַנגענט דעריוואַטיוו (קאָט x)

קאָטאַנגענט איז די אומגעקערטע פון ​​טאַנגענט. די דעריוואַטיוו פון קאָט x איז -csc² x.

[\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2x \]

דאס הייסט, אויב f(x) = cot x, דאן f'(x) = -csc² x.

5. סעקאַנט דעריוואַט (סעק x)

די סעקאַנט פונקציע איז די אומגעקערטע פון ​​די קאָסינוס. די דעריוואַטיוו פון סעק x איז סעק x טאַן x.

[\frac{d}{dx}(\sec{x) = \sec{x}tan{x}]

דאס הייסט, אויב f(x) = סעק x, דאן f'(x) = סעק x tan x.

6. קאָסעקאַנט דעריוואַט (csc x)

די קאָסעקאַנט פונקציע איז די אומגעקערטע פון ​​סינוס. די דעריוואַטיוו פון cscx איז -cscx cotx.

\[ \frac{ד}{דקס}(\קסק רענטגענ) = -\קסק רענטגענ \קאָט רענטגענ \]

דאס הייסט, אויב f(x) = cscx, דאן f'(x) = -cscx cotx.

אַפּליקאַציע פון ​​דעריוואַטיווע כּללים צו טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס

אַמאָל מיר וויסן די גרונטלעכע דעריוואַטיוון פון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס, קענען מיר זיך אויסברייטערן צו מער קאָמפּליצירטע אַפּליקאַציעס ניצנדיק דעריוואַטיוו כּללים ווי די קייט-רעגולאַציע, די פּראָדוקט-רעגולאַציע און די סומע-רעגולאַציע.

1. קייטן הערשן

די קייטן-רעגולאציע ווערט גענוצט ווען מיר האבן א פונקציע וואס איז א צוזאמענשטעלונג פון צוויי אדער מער פונקציעס. ביישפילן פון איר באנוץ:

אויב מיר האָבן אַ פֿונקציע \( g(x) = \sin(3x^2) \), קענען מיר נוצן די קייט-רעגולע צו געפֿינען איר דעריוואַטיוו:

[g'(x) = \frac{d}{dx}[sin(3x^2)]]
\[ = \cos(3x^2) \cdot \frac{d}{dx}[3x^2] \]
\[ = \cos(3x^2) ≥ 6x \]
\[ = 6x \cos(3x^2) \]

2. פּראָדוקט כּללים

די פּראָדוקט־רעגולאַציע ווערט גענוצט ווען מיר האָבן אַ פֿונקציע וואָס איז דער פּראָדוקט פֿון צוויי אָדער מער פֿונקציעס. ביישפּילן פֿון איר באַנוץ:

אויב ∫(x) = x^2 ∫sin(x)∫), לויט דער פּראָדוקט־רעגולאַציע:

[ה'(x) = \frac{d}{dx}[x^2 \sin(x)]]
\[ = x^2 ∫קאָס(x) + \sin(x) ∫[dx][x^2] \]
\[ = x^2 \cos(x) + \sin(x) ≥ 2x \]
\[ = x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) \]

3. נומער כּללים

די סומע-רעגולע ווערט גענוצט ווען מיר האבן א פונקציע וואס איז די סומע פון ​​צוויי אדער מער פונקציעס. ביישפילן פון איר באניץ:

אויב (f(x) = sin(x) + cos(x)):

[f'(x) = \frac{d}{dx}[sin(x) + \cos(x)]]
[ = \frac{d}{dx}[sin(x)] + \frac{d}{dx}[cos(x)]]
\[ = \cos(x) + (-\sin(x)) \]
\[ = \cos(x) – \sin(x) \]

אינווערסע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס און זייערע דעריוואַטיוון

אין צוגאב צו די גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס, האבן מיר אויך אינווערסע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס ווי sin^-1 x (arcsin x), cos^-1 x (arccos x), און tan^-1 x (arctan x). די דעריוואטיוון פון די פונקציעס זענען אויך וויכטיג אין אנווענדונגען פון קאַלקולוס.

אלס א ביישפיל:

– דעריוואַט פֿון אַרקסין x:
\[ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]

– דעריוואַט פֿון אַרקאָס x:
[\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}]

– דעריוואַט פֿון אַרקטאַן x:
\[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \]

קעסימפּולאַן

לערנען די דעריוואַטיוון פון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס איז אַ יסודותדיקער שריט אין קאַלקולוס. די דעריוואַטיוון פון גרונטלעכע פונקציעס ווי sin, cos, tan, cot, sec, און csc צושטעלן אַ שטאַרקע יסוד פֿאַר אַנאַליזירן און סאָלווען מער קאָמפּליצירטע פּראָבלעמען אין אַ פאַרשיידנקייט פון דיסציפּלינעס. דערצו, אַ פארשטאנד פון די קייט-רעגולע, די פּראָדוקט-רעגולע, און די סומע-רעגולע העלפט אונדז האַנדלען מיט דעריוואַטיוון פון מער קאָמפּליצירטע פונקציעס. דאָס וויסן איז אַנשאַצלעך אין פילע פּראַקטישע און טעאָרעטישע אַפּליקאַציעס, אַרייַנגערעכנט פיזיק, אינזשעניריע, און קאָמפּיוטער וויסנשאַפֿט.