טעכניקן פֿאַר באַשטימען די דורכשניטלעכע אָפּנייגונג אין סטאַטיסטישע דאַטן
אין סטאַטיסטיק, איז פשוט פֿאַרשטיין דעם "צענטער" פֿון די דאַטן—למשל, דורך דעם דורכשניט אָדער מעדיאַן—אָפֿט נישט גענוג. צוויי דאַטן־זאַמלונגען קענען האָבן דעם זעלבן דורכשניט, אָבער אַנדערשן זיך באַדייטנד אין זייערע לעוועלס פֿון "וואַריאַציע". דעריבער, זענען מאָסן פֿון פֿאַרשפּרייטונג וויכטיק. איין מאָס פֿון פֿאַרשפּרייטונג וואָס איז גאַנץ גרינג צו פֿאַרשטיין און נוצן איז די דורכשניטלעכע אָפּנייגונג. דער אַרטיקל דיסקוטירט טעכניקן פֿאַר באַשטימען די דורכשניטלעכע אָפּנייגונג אין פֿאַרשידענע פֿאָרמען פֿון סטאַטיסטישע דאַטן, מיט קאַלקולאַציע־טרעט און ביישפּילן.
פֿאַרשטיין דורכשניטלעכע אָפּנייגונג
די דורכשניטלעכע דיוויאַציע איז אַ מאָס וואָס זאָגט די דורכשניטלעכע דיסטאַנץ פון יעדן דאַטן פּונקט פון אַ מאָס פון צענטראַל טענדענץ, געוויינטלעך דער אַריטמעטישער דורכשניט (מיטל) אָדער מעדיאַן. די דיסטאַנץ אין קשיא איז דער אַבסאָלוטער ווערט פון דעם חילוק צווישן די דאַטן און דעם צענטראַלן ווערט, אַזוי אַז קיין נעגאַטיווער חילוק "קאַנסעלירט" נישט אַ פּאָזיטיוון חילוק.
בכלל, די דורכשניטלעכע דעוויאציע באשרייבט ווי ווייט די דאטן איז פארשפרייט פון איר צענטראלן ווערט. ווי קלענער די דורכשניטלעכע דעוויאציע, אלץ ענגערע זענען די דאטן געקלאסטערט ארום דעם צענטער; ווי גרעסער דער ווערט, אלץ מער וועריאַבאַל זענען די דאטן.
פארוואס ניצן אבסאלוטע ווערט?
אויב מיר רעכענען אויס דעם דורכשניט פון די אונטערשיידן צווישן די דאטן און דעם דורכשניט אָן אַן אַבסאָלוטן ווערט, וועט די סומע פון די אונטערשיידן שטענדיק זיין נול (ווייל דער דורכשניט איז דער גלייכגעוויכט-פונקט). למשל, אויב עס זענען דא אונטערשיידן פון +5 און -5, לייגן זיי זיך צו צו 0. דעריבער, ווערן אַבסאָלוטע ווערטן גענוצט כדי די אָפּנייגונגען זאָלן באמת שפּיגלען די דיסטאַנץ פון די דאטן פון צענטער.
דורכשניטלעכע דעוויאַציע פאָרמולע פֿאַר איין דאַטן
פֿאַר איין דאַטן (נישט גרופּירט), ווערט די דורכשניטלעכע אָפּנייגונג פֿון דורכשניט פֿאָרמולירט:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
אינפֿאָרמאַציע:
– \(SR \): דורכשניטלעכע אָפּנייגונג
– \( x_i \): i-טע דאטן
– \( \bar{x} \): אַריטמעטישע דורכשניט (מיטל)
– \(n \): סומע פון דאַטן
איין-דאטן קאַלקולאַציע טעכניק (טריט)
1. רעכנט אויס דעם דורכשניט \( \bar{x} \) פון אַלע דאַטן.
2. רעכנט אויס דעם חילוק צווישן יעדן דאטן און דעם דורכשניט: \( x_i – \bar{x} \).
3. נעמט דעם אבסאלוטן ווערט פון יעדן חילוק: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. לייג צו אלע אבסאלוטע ווערטן פון די דיפערענצן.
5. טיילן דורך די נומער פון דאַטן \(n \).
איין דאטן ביישפיל
ווערט דאַטן: 6, 8, 10, 12, 14
1) מיינען:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) אַבסאָלוטער ווערט פֿון דעם חילוק:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
סך הכל = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) דורכשניטלעכע אָפּנייגונג:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
דאָס מיינט אַז דורכשניטלעך ווייכט יעדער ווערט אָפּ מיט 2,4 איינהייטן פֿון דורכשניט (10).
דורכשניטלעכע אָפּנייגונג פֿאַר אָפטע (דיסקרעטע) דאַטן
אויב די דאַטן ווערן פּרעזענטירט אין דער פֿאָרעם פֿון ווערטן און פֿרעקווענצן (למשל אַ טאַבעלע), ווערט די פֿאָרמולע:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
אינפֿאָרמאַציע:
– \(f_i \): דאַטן אָפטקייט \(x_i \)
אָפטקייט דאַטן קאַלקולאַציע טעקניקס
1. רעכנט אויס דעם דורכשניט: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. רעכנט אויס \( |x_i-\bar{x}| \)
3. טאפלען מיט דער פרעקווענץ: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. צוזאַמענרעכענען אַלע רעזולטאַטן פון שריט 3
5. טיילן דורך די גאַנצע אָפטקייט
דיסקרעטע דאַטן ביישפילן
| ווערט (x) | פרעקווענץ (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
גאַנץ אָפטקייט: \(2+3+1=6\)
מיין:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
רעכנט אויס די אָפּנייגונג:
– פֿאַר x=5: |5−6,67|=1,67 → מאָל f=2 → 3,34
– פֿאַר x=7: |7−6,67|=0,33 → מאָל f=3 → 0,99
– פֿאַר x=9: |9−6,67|=2,33 → מאָל f=1 → 2,33
סך־הכּל: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
דורכשניטלעכע אָפּנייגונג:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
דורכשניטלעכע אָפּנייגונג פֿאַר גרופּירטע דאַטן (קלאַס אינטערוואַל)
אין גרופּירטע דאַטן (למשל, אינטערוואַל אָפטקייט פאַרשפּרייטונגען), ווערן דאַטן ווערטן נישט געוויזן אינדיווידועל, נאָר אין קלאַסן. פֿאַר דעם צוועק ווערט דער קלאַס מיטלפונקט (xi) גענוצט צו רעפּרעזענטירן די דאַטן אין אַ קלאַס.
די פֿאָרמולע:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
אבער, \(x_i\) איז דער מיטלפונקט פון דער קלאס.
גרופע דאַטן קאַלקולאַציע טעקניקס
1. באַשטימען דעם מיטלפונקט פון יעדער קלאַס:
\[
x_i=\frac{\text{אונטערשטער גרענעץ + אויבערשטער גרענעץ}}{2}
\]
2. רעכן אויס דעם גרופע דורכשניט:
\[
\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. רעכנט אויס \( |x_i-\bar{x}| \)
4. טאפלען מיט דער פרעקווענץ \( f_i \)
5. לייג צו אלע רעזולטאטן, און טייל דעם מיט דער גאנצער פרעקווענץ.
גרופע דאַטן בייַשפּיל
| קלאַס | פֿ |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
מיטלפונקט:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
גאַנץ f = 10
מיין:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
אָפּנייגונג:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
סך־הכּל = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
דורכשניטלעכע אָפּנייגונג:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
דורכשניטלעכע אָפּנייגונג פֿון מעדיאַן
אין צוגאב צום דורכשניט, קען מען אויך אויסרעכענען די דורכשניטלעכע אפווייכונג פונעם מעדיאן. דער פרינציפ איז דער זעלבער, נאר דער צענטראלער ווערט איז אנדערש. דאס איז נוצלעך ווען די דאטן אנטהאלטן אויסנאם-ווערטן ווייל דער מעדיאן איז מער קעגנשטעליק צו עקסטרעמע ווערטן.
פֿאַר איינציקע דאַטן:
\[
SR_{Me} = \frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
פֿאַר פֿרעקווענץ דאַטן:
\[
SR_{Me} = \frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
מעלות און לימיטאציעס פון דורכשניטלעכער דעוויאציע
וידעפדיק:
1. גרינג צו פארשטיין ווייל עס ניצט די "דורכשניטלעכע דיסטאַנץ" פון די דאַטן צענטער.
2. ניצן אַלע דאַטן (נישט נאָר געוויסע דאַטן).
3. קען אויסגערעכנט ווערן פאר פארשידענע פארמען פון דאטן פרעזענטאציע.
קעטערבאַטאַסאַן:
1. ווייניקער פאפולער ווי סטאנדארט דעוויאציע אין פארגעשריטענע סטאטיסטישע אנאליז.
2. די נוצן פון אבסאלוטע ווערטן מאכט עס ווייניגער באקוועם פאר געוויסע אלגעבראישע מאניפולאציעס.
3. נישט אַזוי שטאַרק ווי סטאַנדאַרט דיווייישאַן אין פילע אינפערענשאַל מעטאָדן.
קלאָוזינג
די טעכניק פארן באשטימען די דורכשניטלעכע אפווייכונג אין סטאטיסטישע דאטן גייט אין עיקר נאך א קאנסיסטענטן מוסטער: באשטימען דעם צענטראלן ווערט (דורכשניט אדער מעדיאן), אויסרעכענען די אבסאלוטע דיסטאנץ פון יעדן דאטן פונקט (אדער קלאס מיטלפונקט) פון צענטער, און דערנאך אויסמעקן זיי דורכשניטלעך - נעמענדיג אין באטראכט די פרעקווענץ אויב די דאטן ווערן פרעזענטירט אין א טאבעלע. די דורכשניטלעכע אפווייכונג איז א באקוועמע מאס פון דיספערסיע פארן אינטואיטיוו באשרייבן דאטן וועריאביליטעט. דורך פארשטיין די טריט, קענט איר פארגלייכן וועריאציע צווישן דאטן סעטס און מער פולשטענדיג אפשאצן די סטאביליטעט פון א דאטן סעט.
אויב איר ווילט, קען איך אייך העלפֿן מאַכן אַ ווערסיע פֿון דעם אַרטיקל אין אַ שול־אַרבעט פֿאָרמאַט (מיט אַ הקדמה–דיסקוסיע–סאָף) אָדער צולייגן פּראַקטיק־פֿראַגעס צוזאַמען מיט דער דיסקוסיע.
