סטאַטיסטישע פֿאָרמולעס אין פֿאָרשונג
סטאַטיסטיק איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס באַשעפֿטיגט זיך מיטן זאַמלען, אַנאַליזירן, אינטערפּרעטירן און פּרעזענטירן דאַטן. אין פֿאָרשונג, צי אין די וויסנשאַפֿטן, אינזשעניריע, געזעלשאַפֿטלעכע וויסנשאַפֿטן, צי אפֿילו די הומאַניטאַרע וויסנשאַפֿטן, שפּילט סטאַטיסטיק אַ וויכטיקע ראָלע אין העלפֿן פֿאָרשער פּרובירן היפּאָטעזן, מאַכן פֿאָרויסזאָגן און ציען מסקנות. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן עטלעכע גרונטלעכע סטאַטיסטישע פֿאָרמולעס און זייער אַפּליקאַציע אין פֿאָרשונג.
1. דעסקריפּטיווע סטאַטיסטיק
דעסקריפּטיוו סטאַטיסטיק ווערט גענוצט צו באַשרײַבן די דאַטן וואָס ווערן געזאַמלט אין אַ שטודיע. זיי אַרייַננעמען פֿאַרשידענע מאָסן וואָס געבן אַן איבערבליק פון די דאַטן.
א. דורכשניט (מיטל)
דער דורכשניט איז דער מערסט גענוצטער ווערט אין סטאַטיסטיק. דאָס איז די גאַנצע סומע פון אַלע ווערטן אין אַ דאַטאַסעט צעטיילט דורך די צאָל ווערטן.
\[ \text{מיטל} (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
וואו:
– \( \sum \) איז דער סומע סימבאָל, וואָס מיינט צו צולייגן אַלע ווערטן פון \( x \) פֿון 1 ביז \(n \).
– \(x_i \) איז יעדער ווערט אין דעם דאַטאַסעט.
– \(n \) איז די גאַנצע צאָל ווערטן אין דעם דאַטאַסעט.
ב. מעדיאַן
דער מעדיאַן איז דער מיטלסטער ווערט אין אַ סאָרטירטן דאַטאַסעט. אויב די צאָל ווערטן אין די דאַטן איז אומגעראַד, איז דער מעדיאַן דער מיטלסטער ווערט. אויב די צאָל ווערטן איז גראָד, איז דער מעדיאַן דער דורכשניט פון די צוויי מיטלסטער ווערטן.
ג. מאָדע
דער מאָדוס איז דער ווערט וואָס דערשיינט אָפטסטנס אין אַ דאַטאַסעט. אַ דאַטאַסעט קען האָבן איין מאָדוס (יונימאָדאַל), מער ווי איין מאָדוס (מולטימאָדאַל), אָדער בכלל נישט קיין מאָדוס.
ד. קייט
ראַנגע איז דער חילוק צווישן די מאַקסימום און מינימום ווערטן אין אַ דאַטאַסעט.
\[ \text{Range} = \text{Max}(x) – \text{Min}(x) \]
ה. סטאַנדאַרד דעוויאַציע
סטאַנדאַרט דעוויאַציע איז אַ מאָס פון די פאַרשפּרייטונג אָדער דיספּעריע פון דאַטן אַרום דעם דורכשניט. די פאָרמולע פֿאַר פּאָפּולאַציע סטאַנדאַרט דעוויאַציע איז:
[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N}} \]
און צום ביישפּיל:
[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}} ]
וואו:
– \( \sigma \) איז די סטאַנדאַרט דעוויאַציע פון דער פּאָפּולאַציע.
– \(s \) איז די מוסטער סטאַנדאַרט דיווייישאַן.
– \(x_i \) איז יעדער ווערט אין דעם דאַטאַסעט.
– \( \mu \) איז דער דורכשניט פון דער באַפעלקערונג.
– \( \bar{x} \) איז דער דורכשניט פון דער מוסטער.
– \(N \) איז די גאַנצע צאָל ווערטן אין דער פּאָפּולאַציע.
– \(n \) איז די גאַנצע צאָל ווערטן אין דעם מוסטער.
2. אינפערענציעלע סטאַטיסטיק
אינפערענציעלע סטאַטיסטיק ערלויבט פאָרשער צו ציען מסקנות וועגן אַ באַפעלקערונג באַזירט אויף אַ מוסטער פון דאַטן. עס נעמט אַרום אַ פאַרשיידנקייט פון טעקניקס, אַזאַ ווי כייפּאַטאַסאַס טעסטינג, רעגרעסיע און אַנאַליז פון וואַריאַנס (ANOVA).
א. היפּאָטעזע טעסטינג
היפּאָטעזיס טעסטינג איז אַ סטאַטיסטישער פּראָצעס געניצט צו באַשטימען צי עס איז גענוג באַווייַזן אין אַ מוסטער פון דאַטן צו פאַרענדיקן אַז אַ צושטאַנד איז אמת אין אַ באַפעלקערונג.
i. נול היפּאָטעזע (H0) און אַלטערנאַטיווע היפּאָטעזע (H1)
– נול היפּאָטעזע (H0): עס איז נישטאָ קיין אונטערשייד אָדער ווירקונג.
– אַלטערנאַטיווע היפּאָטעזע (H1): עס איז דאָ אַן אונטערשייד אָדער ווירקונג.
טעסטינג ווערט געטאן ניצנדיק א טעסט סטאטיסטיק, ווי א ט-טעסט, כי-קוואדראט טעסט, אדער ANOVA, און פארגלייכנדיג דעם p-ווערט צו א באדייטונגס לעוועל (\(\alpha\)), געווענליך 0,05.
ii. ט-טעסט
דער ט-טעסט ווערט גענוצט צו פארגלייכן די דורכשניטן פון צוויי גרופעס. עס זענען דא פארשידענע וועריאציעס פון דעם ט-טעסט, ווי צום ביישפיל דער אומאפהענגיקער מוסטער ט-טעסט און דער פארבינדענער ט-טעסט.
די גרונט־פאָרמולע פֿאַר די ט־טעסט פֿאַר אומאָפּהענגיקע מוסטערן איז:
\[ ט = \frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right) + \left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)}} \]
ב. רעגרעסיע
רעגרעסיע ווערט גענוצט צו מאָדעלירן די באַציִונג צווישן איין אָדער מער אומאָפּהענגיקע וועריאַבלען (פּרעדיקטאָרס) און אַן אָפּהענגיקע וועריאַבלע (רעספּאָנס).
i. פּשוטע לינעאַרע רעגרעסיע
פּשוטע לינעאַרע רעגרעסיע מאָדעלירט די באַציִונג צווישן איין אומאָפּהענגיקער וועריאַבל און איין אָפּהענגיקער וועריאַבל.
די פּשוטע לינעאַרע רעגרעסיע גלייכונג איז:
[y = β₁ + β₁x + β₂]
וואו:
– \(y \) איז די אפהענגיקע וועריאַבל.
– \(x \) איז די אומאפהענגיקע וועריאַבל.
– \( \beta_0 \) איז דער אינטערסעפּשאַן.
– \( \β_1 \) איז דער רעגרעסיע קאָעפיציענט.
– \( \epsilon \) איז אַ טעות.
ii. מערפאכיגע לינעארע רעגרעסיע
מולטיפּלע לינעאַרע רעגרעסיע מאָדעלירט די באַציִונג צווישן קייפל אומאָפּהענגיקע וועריאַבלען און איין אָפּהענגיקע וועריאַבלע.
די קייפל לינעאַרע רעגרעסיע גלייכונג איז:
[y = β₀ + β₁ + β₂x₂ + β₀ + β₀x₂ + β₀x₀ + β₀x₀ + β₀x₀]
וואו:
– \(y \) איז די אפהענגיקע וועריאַבל.
– \(x_1, x_2, \ldots, x_p \) איז די אומאפהענגיקע וועריאַבל.
– \( \beta_0 \) איז דער אינטערסעפּשאַן.
– \( \β_p \) איז דער רעגרעסיע קאָעפֿיציענט פֿאַר דער אומאָפּהענגיקער וואַריאַבלע \(p \).
– \( \epsilon \) איז אַ טעות.
ג. אַנאַליז פון וואַריאַנס (ANOVA)
ANOVA ווערט גענוצט צו פארגלייכן די דורכשניטן פון דריי אדער מער גרופעס. ANOVA באשטימט צי עס איז א באדייטנדיקער אונטערשייד צווישן גרופע דורכשניטן דורך פארגלייכן די וועריאַביליטי צווישן גרופעס צו די וועריאַביליטי אינערהאלב גרופעס.
די גרונט־פאָרמולע פֿאַר ANOVA איז:
\[ F = \frac{\text{צווישן-גרופע וועריאַביליטי}}{\text{אינהער-גרופע וועריאַביליטי}} \]
די F-סטאַטיסטיק ווערט אויסגערעכנט און פאַרגליכן מיטן קריטישן ווערט פון דער F פאַרשפּרייטונג צו באַשטימען צי עס איז אַ באַדייטנדיקער חילוק צווישן די גרופּע דורכשניטן.
3. קאָרעלאַציע
קארעלאציע מעסט די שטארקייט און ריכטונג פון דער לינעארער באציאונג צווישן צוויי וועריאַבלען.
א. פּירסאָן קאָרעלאַציע קאָעפיציענט (r)
פּירסאָן'ס קאָרעלאַציע קאָעפֿיציענט איז די מערסט אָפֿט גענוצטע מאָס צו מעסטן די לינעאַרע קאָרעלאַציע צווישן צוויי וועריאַבאַלן.
די פאָרמולע פֿאַר די פּירסאָן קאָרעלאַציע קאָעפיציענט איז:
[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}} \]
וואו:
– \(r \) איז דער פּירסאָן קאָרעלאַציע קאָעפיציענט.
– \(x_i \) און \(y_i \) זענען די ווערטן פון צוויי וועריאַבלען.
– \( \bar{x} \) און \( \bar{y} \) זענען די דורכשניטן פון די צוויי וועריאַבלען.
דער ווערט \(r \) גייט פון -1 (פערפעקטע נעגאַטיווע קאָרעלאַציע) ביז +1 (פערפעקטע פּאָזיטיווע קאָרעלאַציע), מיט 0 וואָס ווײַזט אָן קיין קאָרעלאַציע.
קלאָוזינג
סטאַטיסטיק איז אַ וויכטיקער פֿאָרשונג־געצייַג וואָס העלפֿט פֿאָרשער פּרעזענטירן, אַנאַליזירן און ציען מסקנות פֿון דאַטן. דער אַרטיקל באַהאַנדלט בלויז אַ פּאָר גרונט־פֿאָרמולעס אין דעסקריפּטיווע און אינפֿערענציעלע סטאַטיסטיק, ווי אויך קאָרעלאַציע. כאָטש פּשוט, איז אַ גרינטלעך פֿאַרשטאַנד פֿון די פֿאָרמולעס דער שליסל צו דורכפֿירן גילטיקע אַנאַליזן און ציען גענויע מסקנות פֿון פֿאָרשונג־דאַטן. דורך באַהערשן סטאַטיסטיק, קענען פֿאָרשער זיכער מאַכן אַז זייערע רעזולטאַטן זענען באַזירט אויף סאָלידע און פֿאַרלעסלעכע אַנאַליזן.
