נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג פאָרמולע אין סטאַטיסטיק

# נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג פאָרמולע אין סטאַטיסטיק

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אויך באַקאַנט ווי די גאַוסישע פאַרשפּרייטונג אָדער די גלאָק קורווע, איז איינער פון די מערסט יסודותדיקע קאָנצעפּטן אין סטאַטיסטיק. איר עקזיסטענץ ווערט אָפט באַטראַכט ווי די יסוד פון פֿאַרשידענע סטאַטיסטישע און וואַרשיינלעכקייט אַנאַליזן. די פאַרשפּרייטונג ווערט נישט נאָר אָפט גענוצט אין טעאָריע, נאָר אויך אין פֿאַרשידענע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס, ווי פֿינאַנציעלע ריזיקאָ פאַרוואַלטונג, געזעלשאַפֿטלעכע וויסנשאַפֿט, מעדיצין און מער.

## דעפֿיניציע פֿון נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז אַ קאָנטינויִערלעכע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג וואָס איז סימעטריש וועגן איר דורכשניט. מיט אַנדערע ווערטער, אַ גראַפֿישער פּלאָט פֿון דער פאַרשפּרייטונג וועט פֿאָרמען אַ גלאָק קורווע וואָס ווערט ברייטער בײַם דורכשניט און פֿאַרענגער בײַ די עקן. די פאַרשפּרייטונג האָט צוויי הויפּט פּאַראַמעטערס: דער דורכשניט (μ) און די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע (σ).

דער דורכשניט באַשטימט די לאָקאַציע פון ​​דעם צענטער פון דער פאַרשפּרייטונג, בשעת די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע מעסט ווי פאַרשפּרייט די דאַטן זענען אַרום דעם דורכשניט. ווי גרעסער די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע, אַלץ ברייטער און קירצער די פאַרשפּרייטונג קורווע; ווי קלענער די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע, אַלץ שמאָלער און שטיילער די קורווע.

## וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע

די וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע (pdf) פֿאַר דער נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג האט די פֿאָלגנדיקע מאַטעמאַטישע פֿאָרעם:

[f(x | μ, π) = \frac{1}{\sigma ² π} e^{ -\frac{(x - μ)^2}{2\sigma^2} }]

דאָ:
– \(x \) איז אַ צופֿעליקע וועריאַבל.
– \( \mu \) איז דער דורכשניט פון דער פארטיילונג.
– \( \sigma \) איז די סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון דער פאַרשפּרייטונג.
– \(e \) איז די באַזע פֿון דעם נאַטירלעכן לאָגאַריטם, אַפּראָקסימאַטיוולי 2.71828.

די אויבנדערמאנטע פונקציע שאפט א סימעטרישע גלאָק קורווע. דער אינטעגראל פון דער פונקציע צווישן צוויי פונקטן גיט די ווארשיינליכקייט אז די צופעליגע וועריאַבל ליגט צווישן די צוויי ווערטן.

## סטאַנדאַרט נאָרמאַל פאַרשפּרייטונג

די סטאַנדאַרט נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז אַ נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג מיט אַ דורכשניט \( \mu = 0 \) און אַ סטאַנדאַרט דעוויִאַציע \( \sigma = 1 \). די וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פֿונקציע פֿאַר דער סטאַנדאַרט נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז:

\[ פ(ז) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \]

דאָ:
– \(z \) איז אַ צופֿעליקע וועריאַבל וואָס פֿאָלגט אַ נאָרמאַלע נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג.

די סטאַנדאַרט נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט אָפט גענוצט ווײַל עס דערמעגלעכט אונדז צו סטאַנדאַרדיזירן אַנדערע נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונגען דורך אַ פּראָצעס גערופן "סטאַנדאַרדיזאַציע." סטאַנדאַרדיזאַציע באַשטייט פון טראַנספאָרמירן די ווערטן \(x \) פון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג \(N(μu, \sigma) \) צו די ווערטן \(z \) פון דער סטאַנדאַרט נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג \(N(0, 1) \), ניצנדיק די פאלגענדע פאָרמולע:

\[ ז = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

דער פּראָצעס מאַכט עס גרינגער צו פֿאַרגלײַכן ווערטן פֿון פֿאַרשידענע נאָרמאַלע פֿאַרשפּרייטונגען דורך זיי צו מאַפּירן צו אַן אײנציקער סקאַלע.

## אַפּליקאַציע און רעלעוואַנץ

### 1. צענטראלער גרענעץ טעארעם

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג איז באַזונדערס באַטייַטיק אין דעם קאָנטעקסט פון דעם צענטראלן לימיט טעאָרעם (CLT). דער CLT זאָגט אַז אַ גענוג גרויסע צאָל פון אומאָפּהענגיקע ראַנדאָם וועריאַבאַלן וועלן זיין אַפּפּראָקסימאַטלי נאָרמאַל פאַרשפּרייט, נישט קוקנדיק אויף דער פאָרעם פון דער אָריגינעלער פאַרשפּרייטונג. דאָס מיינט אַז די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג קען ווערן גענוצט צו אַפּראָקסימירן די פאַרשפּרייטונג פון דעם מוסטער דורכשניט, ווי לאַנג ווי דער מוסטער איז גרויס גענוג.

### 2. סטאַטיסטישע אינפֿערענץ

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ערלויבט די אַפּליקאַציע פון ​​היפּאָטעזע טעסץ, ווי צום ביישפּיל דער z-טעסט און דער t-טעסט. ביידע מעטאָדן נוצן די סטאַנדאַרט נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג צו באַשטימען די סטאַטיסטישע באַדייַטיקייט פון באַאָבאַכטע רעזולטאַטן. דער z-טעסט ווערט טיפּיש גענוצט ווען די מוסטער גרייס איז גרויס אָדער די פּאָפּולאַציע סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז באַקאַנט, בשעת דער t-טעסט ווערט אַפּליקירט ווען די מוסטער גרייס איז קליין אָדער די פּאָפּולאַציע סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז אומבאַקאַנט.

### 3. רעגרעסיע אנאליז

אין לינעאַרער רעגרעסיע אַנאַליז, איז די הנחה אַז די טעות דאַטן זענען נאָרמאַל פאַרשפּרייט קריטיש. די הנחה ערלויבט די קאַלקולאַציע פון ​​קאָנפידענץ אינטערוואַלן און באַדייטונג טעסטינג פון די רעגרעסיע מאָדעל פּאַראַמעטערס. אזוי אויך, דעטעקטירן דאַטן טעותים אָדער אַויסנאַם ווערט אָפט געטאָן דורך דורכקוקן די רעזידועל פאַרשפּרייטונג פֿאַר באַדייטנדיקע אָפּנייגונגען פון נאָרמאַליטעט.

### 4. מעדיצין און ביאלאגיע

אין מעדיצין, ווערט די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג גענוצט צו באַשרײַבן די פאַרשפּרייטונג פון פֿאַרשידענע ביאָלאָגישע דערשיינונגען. למשל, הייך, בלוטדרוק, און געוויסע לאַבאָראַטאָריע טעסט רעזולטאַטן פֿאָלגן אָפֿט אַ נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג. דאָס פֿאַרלייכטערט די באַשטימונג פֿון גרענעץ ווערטן פֿאַר מעדיצינישע דיאַגנאָזן.

### 5. פינאַנץ און עקאָנאָמיק

אין פינאַנץ, ווערט די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג גענוצט צו מאָדעלירן פילע דערשיינונגען, ווי למשל אַקציע צוריקקער, אינטערעס ראַטעס, און מער. כאָטש אין פּראַקטיק, ווייַזן אַקציעס אָפט העכערע סקיונעס און קורטאָסיס, די הנחה פון אַ נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג גיט נאָך אַ סאָלידע אַנאַליטישע באַזע.

## דורכפירונג און קאַלקולאַציע

### ניצן פּיטהאָן

פּיטהאָן, מיט ביבליאָטעקן ווי NumPy און SciPy, גיט עטלעכע מעטאָדן פֿאַר אַרבעטן מיט דער נאָרמאַלער פֿאַרשפּרייטונג. דאָ איז אַ בייַשפּיל פֿון ווי מיר קענען גענעראַליזירן און צייכענען די נאָרמאַלע פֿאַרשפּרייטונג ניצנדיק די ביבליאָטעקן:

"פּיטהאָן
אַרייַנפיר נומפּי ווי נפּ
אַרייַנפיר מאַטפּלאָטליב.פּיפּלאָט ווי פּלט
פֿון scipy.stats אַרייַנפיר קלאַל

# נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג פּאַראַמעטערס
מיו = 0 # דורכשניט
סיגמא = 1 # סטאַנדאַרט דעוויִאַציע

# דאַטן פֿאַר נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג
x = np.לינספעיס(-5, 5, 1000)
y = נאָרם.pdf(x, mu, sigma)

# נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג פּלאַן
plt.plot (רענטגענ, י)
פּלט.קסלייבל('קס')
plt.ylabel('דענסיטי')
plt.title('נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג N(0, 1)')
plt.show ()
““

אין דעם בייַשפּיל אויבן, האָבן מיר גענערירט נאָרמאַלע פֿאַרטיילונג דאַטן מיט אַ דורכשניט פון 0 און אַ סטאַנדאַרט דעוויאַציע פון ​​1, און דערנאָך געצייכנט איר וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע.

## מסקנא

די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג שפּילט אַ קריטישע ראָלע אין סטאַטיסטיק און וואַרשיינלעכקייט. איר אוניווערסאַלע נוצן, פֿון דעם צענטראלן לימיט טעאָרעם ביז פֿאַרשידענע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס ווי רעגרעסיע אַנאַליז און היפּאָטעזע טעסטינג, מאַכט עס איינע פֿון די מערסט פּאָפּולערע און וויכטיקע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען. פֿאַרשטיין די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג פֿאָרמולע און ווי עס עפֿעקטיוו צו נוצן איז אַ וויכטיקע פֿעיִקייט פֿאַר ווער עס אַרבעט אין דאַטן וויסנשאַפֿט, פֿאָרשונג, עקאָנאָמיק און פֿילע אַנדערע פֿעלדער.

מיט דעם וויסן, קענען מיר זיך צוגיין צו און לייזן פארשידענע סארטן אנאליטישע פראבלעמען מער עפעקטיוו, און דאס ערמעגליכט אונז צו מאכן בעסערע באשלוסן באזירט אויף די פארהאן דאטן און ווארשיינליכקייטן.