פֿאַרשטיין די בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
די בינאמיאלע פארטיילונג איז איינע פון די מערסט באקאנטע און אָפט גענוצטע דיסקרעטע וואַרשיינלעכקייט פארטיילונגען אין די פעלדער פון וואַרשיינלעכקייט און סטאַטיסטיק. זי איז קריטיש אין פילע אַפּליקאַציעס, פון וויסנשאַפטלעכע פאָרשונג ביז געשעפט דאַטן אַנאַליז. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן פאַרשידענע אַספּעקטן פון דער בינאמיאלע פארטיילונג, פון איר גרונט דעפיניציע און אייגנשאַפטן ביז אירע אַפּליקאַציעס אין פאַרשידענע פעלדער.
דעפֿיניציע און פֿאָרמולע פֿון בינאָמיאַלער פֿאַרשפּרייטונג
די בינאמיאלע פארטיילונג איז די ווארשיינליכקייט פארטיילונג פון דער צאל הצלחות אין א סעריע פון פארזוכן אדער אבזערוואציעס וואס האבן צוויי באזונדערע רעזולטאטן, "הצלח" און "דורכפאל." די פארזוכן ווערן גערופן בערנולי פארזוכן, און די סעריע פון אומאפהענגיקע פארזוכן ווערט גערופן א בערנולי סכעמע.
די הויפּט פֿאָרמולע געניצט צו רעכענען די וואַרשיינלעכקייט פֿון דער בינאָמיאַל פֿאַרטיילונג איז:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
וואו:
– \(P(X = k) \) איז די וואַרשיינלעכקייט אַז יעדע \(k \) פֿון \(n \) פּראָבעס זענען געראָטן.
– \( \binom{n}{k} \) איז דער בינאָמיאַל קאָעפֿיציענט אויסגערעכנט ווי \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) איז די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אין אַן איינציקן פּראָצעס.
– \(1 – p \) איז די ווארשיינליכקייט פון דורכפאל אין איין פארזוך.
– \(n \) איז די גאַנצע צאָל פּראָבעס.
– \(k \) איז די געוואונטשענע צאָל פון סוקסעסן.
אייגנשאפטן פון דער בינאמיאלער פארטיילונג
די בינאמיאלע פארטיילונג האט עטלעכע וויכטיגע אייגנשאפטן וואס מאכן עס נוצלעך אין סטאטיסטישער אנאליז:
1. דיסקרעטע: די בינאמיאלע פארטיילונג איז א דיסקרעטע פארטיילונג ווייל זי ציילט נאר די צאל סוקסעסן אין א באגרענעצטע צאל פארזוכן.
2. צוויי רעזולטאַטן: יעדער פּראָבע אין דער בערנולי סכעמע האט בלויז צוויי רעזולטאַטן: הצלחה (מיט וואַרשיינלעכקייט \(p \)) אָדער דורכפאַל (מיט וואַרשיינלעכקייט \(1 – p \)).
3. אומאָפּהענגיק: איין עקספּערימענט איז אומאָפּהענגיק פֿון אַן אַנדערן; די רעזולטאַטן פֿון איין עקספּערימענט האָבן נישט קיין השפּעה אויף דעם אַנדערן.
4. פעסטע פּאַראַמעטערס: די וואַרשיינלעכקייט \(p \), די גאַנצע צאָל פּראָבעס \(n \), און די צאָל סוקסעסן \(k \) זענען פעסטע פּאַראַמעטערס אין דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג.
מיטל און וואַריאַנס פון בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
דער דורכשניט און די וואַריאַנס פון דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג האָבן אויך פּשוטע און אינטואיטיווע פֿאָרמולעס:
– דורכשניט (\(\mu\)): דער דורכשניט פון א בינאמיאלער פארטיילונג איז די צאל פארזוכן געמערט מיט דער ווארשיינליכקייט פון הצלחה:
\[ \mu = np \]
– וואַריאַנס (\(\sigma^2\)): די וואַריאַנס פון דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז דער פּראָדוקט פון דער צאָל פּראָבעס, די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה, און די וואַרשיינלעכקייט פון דורכפאַל:
\[ \sigma^2 = np(1 – p) \]
פאַל שטודיע פון דער אַפּליקאַציע פון בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
צו פֿאַרשטיין די אַפּליקאַציע פֿון דער בינאָמיאַל פֿאַרטיילונג, לאָמיר קוקן אויף עטלעכע פּראַקטישע ביישפּילן:
בייַשפּיל 1: אַנאַליז פון אַרבעטער פאָרשטעלונג
א מענעדזשער וויל אנאליזירן די אויפטוען פון ארבייטער אין א דעפארטמענט. גיי אויס פון דעם אז יעדער ארבייטער האט א 0,7 (70%) שאנס צו ערפאלגרייך ענדיגן אן אויפגאבע. אויב 10 ארבייטער פירן אויס די זעלבע אויפגאבע, קען דער מענעדזשער וועלן וויסן די ווארשיינליכקייט אז פונקט 7 ארבייטער וועלן מצליח זיין.
ניצט די בינאמיאלע פארטיילונג פארמולע:
[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
אויסרעכענען דעם בינאמיאלן קאעפיציענט און דעם ענדגילטיקן רעזולטאט גיט די ווארשיינליכקייט פון דעם סצענאר.
בייַשפּיל 2: פּראָדוקט טעסטינג אין פאַבריק
א פאַבריק פּראָדוצירט עלעקטראָנישע קאָמפּאָנענטן מיט אַ 2% דעפעקט קורס. אויב זיי טעסטן 100 קאָמפּאָנענטן, וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז 2 וועלן זיין דעפעקטיוו?
ניצט די בינאמיאלע פארטיילונג פארמולע:
[P(X = 2) = 100(2)^2 (0.02)^98)]
עס גיט אנווייזונגען פֿאַר קוואַליטעט קאָנטראָל.
בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג קעגן פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג
אין געוויסע סיטואַציעס, קען די בינאָמיאַלע פֿאַרטיילונג אַפּראָקסימירן די פּואַסאָן פֿאַרטיילונג, ספּעציעל ווען די צאָל פּראָבעס n איז גרויס און די וואַרשיינלעכקייט p איז קליין. איין אַלגעמיינע כלל פֿאַר אַפּראָקסימירן די פּואַסאָן פֿאַרטיילונג מיט דער בינאָמיאַלע פֿאַרטיילונג איז אויב n ≤ 20 און p ≤ 0.05.
ווייכווארג באַניץ און בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
מיט די פארשריטן אין טעכנאָלאָגיע און קאָמפּיוטינג, קען מען איצט לייכט דורכפירן בינאָמיאַל דיסטריביושאַן קאַלקולאַציעס מיט סטאַטיסטישע ווייכווארג ווי R, Python, און אַנדערע ווייכווארג ווי Microsoft Excel. למשל, אין Python, קענט איר נוצן די `scipy.stats` ביבליאָטעק צו לייכט דורכפירן בינאָמיאַל דיסטריביושאַן קאַלקולאַציעס:
"פּיטהאָן
פֿון scipy.stats אימפארט בינאָם
פּאַראַמעטערס
n = 10 נומער פון פּראָבעס
p = 0.5 וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה
k = 5 נומער פון סוקסעסן
רעכענען בינאָמישע וואַרשיינלעכקייט
binom_prob = binom.pmf(ק, n, p)
דרוקן("ווארשיינלעכקייט פון באקומען פונקט 5 סוקסעסן:", בינאם_פראב)
““
קעסימפּולאַן
די בינאמיאלע פארטיילונג איז א גרונטלעכע אבער שטארקע פארטיילונג אין ווארשיינליכקייט און סטאטיסטישע אנאליז. צוליב איר דיסקרעטער נאטור און פאקוס אויף צוויי רעזולטאטן - הצלחה און דורכפאל - דינט זי אלס אן אידעאלער מאדעל פאר אסאך רעאל-וועלט סיטואציעס. וויסן פון דער בינאמיאלער פארטיילונג העלפט נישט נאר דעפינירן און פארשטיין די ווארשיינליכקייט פון א געשעעניש, נאר גיט אויך א שטארקע יסוד פאר מער קאמפליצירטע סטאטיסטישע אנאליז. די נוצן פון מאדערנע קאמפיוטינג מכשירים האט עס געמאכט אלץ גרינגער צו אנווענדן די בינאמיאלע פארטיילונג, מאכנדיג זי א העכסט רעלאוואנטע מכשיר אין היינטיקער דאטן-געטריבענער וועלט.
