גרונטלעכע באַגריפֿן פֿון וואַרשיינלעכקייט־פֿאַרטיילונג
וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין סטאַטיסטיק און וואַרשיינלעכקייט וואָס באַשרײַבט ווי וואַרשיינלעכקייטן זענען פאַרשפּרייט צווישן ראַנדאָם ווערטן. וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען קענען צושטעלן וויכטיקע אינפֿאָרמאַציע וועגן די ליקעליהאָאָד פון אַ באַזונדער געשעעניש אָדער ווערט. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן די גרונטפּרינציפּן פון וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען, די טייפּס פון וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען, און אַפּליקאַציעס און ביישפילן אין וואָכעדיק לעבן.
וואָס איז וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג?
א וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג איז אַ מאַטעמאַטישע פֿונקציע וואָס באַשטימט די וואַרשיינלעכקייט פֿון יעדן מעגלעכן רעזולטאַט צו אַ צופֿעליקער וואַריאַבלע. אַ צופֿעליקער וואַריאַבלע איז אַ וואַריאַבלע וועמענס ווערט ווערט באַשטימט דורך דעם רעזולטאַט פֿון אַ צופֿעליקן עקספּערימענט. למשל, וואַרפֿן אַ קוביק איז אַ צופֿעליקער עקספּערימענט, און דער ווערט פֿון דער קוביק איז אַ צופֿעליקע וואַריאַבלע.
וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען קענען ווערן צעטיילט אין צוויי הויפּט קאַטעגאָריעס: דיסקרעטע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען און קאָנטינויִערלעכע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען. דיסקרעטע פאַרשפּרייטונגען ווערן גענוצט פֿאַר ראַנדאָם וועריאַבאַלן וואָס האָבן אַ ציילבאַרע צאָל ווערטן, בשעת קאָנטינויִערלעכע פאַרשפּרייטונגען ווערן גענוצט פֿאַר ראַנדאָם וועריאַבאַלן וואָס קענען אָננעמען ווערטן אין אַ קאָנטינויִערלעכן אינטערוואַל.
דיסקרעטע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג
בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
די בינאמיאלע פארטיילונג איז א דיסקרעטע ווארשיינליכקייט פארטיילונג גענוצט צו מאדעלירן עקספערימענטן וואס האבן נאר צוויי רעזולטאטן: הצלחה אדער דורכפאל. די פארטיילונג ווערט אפט גענוצט אין סיטואציעס וואו מיר איבערחזרן אן אומאפהענגיקן עקספערימענט אסאך מאל.
די בינאמיאלע פארטיילונג פארמולע איז:
\[ פּ(קס = ק) = \בינאָם{n}{ק} פּ^ק (1-פּ)^{נק} \]
וואו:
\(P(X = k) \) איז די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען k סוקסעסן אין n פּראָבעס.
\( \binom{n}{k} \) איז דער בינאָמיאַל קאָעפיציענט.
\(p \) איז די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אין אַן איינציקן פּראָצעס.
\(n \) איז די צאָל פּראָבעס.
בייַשפּיל: עס זענען דאָ 10 מטבע וואָרף, און מיר ווילן וויסן די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען קאָפּ 7 מאָל, מיר נוצן די בינאָמיאַל דיסטריביושאַן צו רעכענען עס.
פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג
די פּואַסאָן דיסטריביושאַן איז אַ דיסקרעטע וואַרשיינלעכקייט דיסטריביושאַן וואָס באַשרײַבט די צאָל פון פֿאָרקומען פֿון אַ געשעעניש אין אַ געגעבענעם צײַט אָדער פּלאַץ אינטערוואַל. די פּואַסאָן דיסטריביושאַן ווערט אָפֿט געניצט צו מאָדעלירן ראַנדאָמע, זעלטענע געשעענישן וואָס פּאַסירן אין אַ פֿיקסירט צײַט פּעריאָד.
די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג פאָרמולע איז:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
וואו:
\(P(X = k) \) איז די ווארשיינליכקייט אז עס זענען דא k געשעענישן אין דעם אינטערוואַל.
\( \lambda \) איז די דורכשניטלעכע צאָל געשעענישן אין דעם אינטערוואַל.
\(e \) איז די באַזע פֿון דעם נאַטירלעכן לאָגאַריטם (אומגעפער 2.71828).
בייַשפּיל: אויב אַ דורכשניט פון 3 קאַסטאַמערז קומען צו אַ קראָם יעדע שעה, קענען מיר נוצן די פּואַסאָן דיסטריביושאַן צו באַשטימען די וואַרשיינלעכקייט אַז 5 קאַסטאַמערז קומען אין אַ שעה.
קאָנטינויִערלעכע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג
נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, אָפט גערופן די גאַוסישע פאַרשפּרייטונג, איז איינע פון די וויכטיקסטע און אָפט גענוצטע קאָנטינויִערלעכע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען. זי ווערט אָפט גענוצט ווייל פילע נאַטירלעכע און סאציאלע דערשיינונגען טענדן צו נאָכפאָלגן די פאַרשפּרייטונג.
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט כאַראַקטעריזירט דורך צוויי פּאַראַמעטערס: דער דורכשניט און די סטאַנדאַרט דיווייישאַן. די וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע (pdf) פון דער נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג איז:
[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x-μu)^2}{2π\sigma^2}}]
וואו:
\( \mu \) איז דער דורכשניט.
\( \sigma \) איז די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע.
\(x \) איז אַ צופֿעליקע וועריאַבל.
די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג קורווע איז גלאָק-פאָרעם און סימעטריש אַרום דעם דורכשניט. ביישפילן פון נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונגען אַרייַננעמען מענטשלעכע הייך, IQ טעסט סקאָרז, און פילע אנדערע נאַטירלעכע דערשיינונגען.
עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג
די עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג איז אַ קאָנטינויִערלעכע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג וואָס ווערט אָפט געניצט צו מאָדעלירן די צייט צווישן געשעענישן אין דערשיינונגען וואָס פּאַסירן צופֿעליק און קאָנטינויִערלעך. די עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג ווערט אָפט געניצט אין פּראָדוקט לעבן-צייט אַנאַליז און קיוינג פּראָצעס מאָדעלן.
די וואַרשיינלעכקייט געדיכטקייט פונקציע פון דער עקספּאָנענציעלער פאַרשפּרייטונג איז:
[f(x) = Σe^{-Σx}]
וואו:
\( \lambda \) איז דער ראַטע פּאַראַמעטער (ראַטע פון אויפֿטרעטן).
\(x \) איז די צייט צווישן געשעענישן.
ביישפילן פון דער נוצן פון עקספּאָנענציעלער פאַרשפּרייטונג זענען אין באַשטימען די צייט צווישן מאַשין דורכפאַלן און די צייט צווישן קונה אָנקומען אין אַ סערוויס אָרט.
וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג אַפּלאַקיישאַנז
וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען האָבן אַ פאַרשיידנקייט פון אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיק לעבן און פֿאַרשיידענע פעלדער פון וויסנשאַפֿט, אַזאַ ווי:
1. סטאַטיסטיק: וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען ווערן גענוצט פֿאַר סטאַטיסטישע אינפֿערענץ, דאָס הייסט, ציען מסקנות וועגן אַ פּאָפּולאַציע פֿון אַ מוסטער. די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג, די ט-פאַרשפּרייטונג, און די כי-קוואַדראַט פאַרשפּרייטונג זענען עטלעכע פֿון די מערסט אָפֿט גענוצטע פאַרשפּרייטונגען.
2. פארזיכערונג: פארזיכערונג קאָמפּאַניעס נוצן וואַרשיינלעכקייט דיסטריביושאַנז צו אָפּשאַצן ריזיקע און באַשטימען פארזיכערונג פּרעמיעס. די פּואַסאָן דיסטריביושאַן קען ווערן גענוצט צו מאָדעלירן די אָפטקייט פון פארזיכערונג קליימז.
3. פאַכמאַן און מאַנופאַקטורינג: די עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג ווערט גענוצט פֿאַר אַנאַליז פון די לעבן פון אַ מיטל און שאַצונג פון די צייט פון פאַרריכטן. די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט גענוצט צו קאָנטראָלירן די קוואַליטעט פון מאַנופאַקטורינג פּראָצעסן.
4. פינאַנץ: וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען ווערן גענוצט אין מאָדעלן פון ינוועסטמענט ריזיקע און צוריקקער. די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג ווערט געוויינטלעך גענוצט צו מאָדעלירן אַקציע פּרייַז באַוועגונגען און אינטערעס ראַטעס.
5. סאציאלע און מעדיצינישע וויסנשאפטן: אין מעדיצינישער פארשונג, ווערט די בינאמיאלע פארטיילונג גענוצט פאר דער אנאליז פון אנקעטע דאטן, און די נארמאלע פארטיילונג ווערט גענוצט פאר דער אנאליז פון גרויסע מוסטער דאטן.
קעסימפּולאַן
וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען שפּילן אַ וויכטיקע ראָלע אין פֿאַרשטיין און מאָדעלירן ראַנדאָם וועריאַבאַלן אין אַ פאַרשיידנקייט פון סיטואַציעס. פֿאַרשטיין די באַסיקס פון וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען, ביידע דיסקרעטע און קאָנטינויִערלעך, גיט אַ שטאַרקע יסוד פֿאַר אַפּלייינג מער קאָמפּליצירט סטאַטיסטישע מעטאָדן. דורך ניצן וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען, קענען מיר מאַכן פאָרויסזאָגן, אָפּשאַצן ריזיקעס, און מאַכן מער אינפאָרמירטע דיסיזשאַנז באַזירט אויף דאַטן.
וויסן וועגן וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען איז נישט נאָר נוצלעך אין אַקאַדעמישע אָדער פּראָפעסיאָנעלע סעטינגס, נאָר אויך העלפֿט אונדז פֿאַרשטיין פֿאַרשידענע דערשיינונגען וואָס מיר באַגעגענען אין וואָכעדיק לעבן. למשל, דורך פֿאַרשטיין ווי די נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונג אַרבעט, קענען מיר פֿאַרשטיין טרענדס אין טעסט סקאָרז, הייך, און פֿאַרשידענע אַנדערע סאָציאַלע און עקאָנאָמישע דאַטן.
מיט אַ גוטן פארשטאנד פון די גרונטלעכע קאנצעפטן פון וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג, קענען מיר אַנטוויקלען טיפערע אַנאַליטישע סקילז און קענען אָנווענדן דעם וויסן אין אַ פאַרשיידנקייט פון פּראַקטישע אַפּליקאַציעס.
