ווי אזוי צו רעכענען וועריאַנס: א פולשטענדיקע גייד
וואַריאַנס איז אַ פונדאַמענטאַלע סטאַטיסטיק וואָס ווערט גענוצט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער, פֿון עקאָנאָמיק און אינזשעניריע ביז פּסיכאָלאָגיע און סטאַטיסטיק אַליין. עס גיט אינפֿאָרמאַציע וועגן דעם מאָס אין וועלכן די ווערטן אין אַ דאַטן-זאַמלונג זענען פֿאַרשפּרייט אַרום דעם דורכשניט. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר אויספֿאָרשן ווי אַזוי צו רעכענען וואַריאַנס אין טיפֿקייט, פֿון דער דעפֿיניציע ביז פּראַקטישע טריט.
הקדמה
כדי צו פֿאַרשטיין וואַריאַנס, דאַרפֿן מיר פֿאַרשטיין עטלעכע גרונטלעכע קאָנצעפּטן אין סטאַטיסטיק. וואַריאַנס איז אַ מאָס פֿון ווי ווײַט די ווערטן אין אַ דאַטן-זאַמלונג ווײַכן אָפּ פֿון דורכשניט. וואַריאַנס ווערט אויסגערעכנט ווי דער דורכשניט פֿון די קוואַדראַטישע אונטערשיידן צווישן יעדן ווערט און דורכשניט. וואַריאַנס גיט אַן אָנצײַגונג פֿון דער "וואַריאַביליטי" אין די דאַטן.
דעפֿיניציע פֿון וואַריאַנס
מאטעמאטיש, וועריאַנס איז:
(וועריאַנס ( sigma^2 ) = (frac{1}{N} Σ_{i=1}^{N} (x_i – μu)^2 )
די מאנא:
– \( \sigma^2 \) איז די פּאָפּולאַציע וואַריאַנס.
– \(N \) איז די גאַנצע צאָל ווערטן אין דער פּאָפּולאַציע.
– \(x_i \) איז דער ווערט פון דעם i-טן אינדיווידואל.
– \( \mu \) איז דער דורכשניט פון דער באַפעלקערונג.
פֿאַר מוסטערן, איז די וואַריאַנס פֿאָרמולע אַ ביסל אַנדערש:
\[ \text{מוסטער וועריאַנס} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
די מאנא:
– \(s^2 \) איז די מוסטער וואַריאַנס.
– \(n \) איז די גאַנצע צאָל ווערטן אין דעם מוסטער.
– \(x_i \) איז דער ווערט פון דעם i-טן אינדיווידואל אין דעם מוסטער.
– \( \bar{x} \) איז דער דורכשניט פון דער מוסטער.
טריט צו רעכענען וואַריאַנס
לאָמיר איבערקוקן די פּראַקטישע טריט פֿאַר רעכענען וואַריאַנס דורך אַ קאָנקרעטן בייַשפּיל.
בייַשפּיל: קאַלקולירן באַפעלקערונג וואַריאַנס
לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ קליינעם דאַטאַסעט וואָס באַשטייט פון די פאלגענדע ווערטן: 2, 4, 6, 8, 10.
1. שריט 1: אויסרעכענען דעם דורכשניט (מיטל)
\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2. שריט 2: רעכענען אויס דעם חילוק פון יעדן ווערט פון דעם דורכשניט און קוואדרירן עס
\[
\begin{אויסגלייַכן}
(2 – 6)^2 און = (-4)^2 = 16
(4 – 6)^2 און = (-2)^2 = 4
(6 – 6)^2 און = 0^2 = 0
(8 – 6)^2 און = 2^2 = 4
(10 – 6)^2 און = 4^2 = 16
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
3. שריט 3: צולייגן אלע קוואדראטן פון די אונטערשיידן
\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]
4. שריט 4: טיילן די סומע פון קוואַדראַטן פון דיפעראַנסיז דורך די נומער פון ווערטן (N)
[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]
אַזוי, די באַפעלקערונג וואַריאַנס פון די דאַטן איז 8.
בייַשפּיל: קאַלקולירן מוסטער וואַריאַנס
איצט, לאָמיר זאָגן מיר נעמען אַ קליין מוסטער פֿון דער אויבנדערמאָנטער דאַטאַסעט: 2, 4, 6.
1. שריט 1: רעכענען אויס דעם מוסטער דורכשניט
[\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]
2. שריט 2: רעכענען אויס דעם חילוק פון יעדן ווערט פון דעם דורכשניט און קוואדרירן עס
\[
\begin{אויסגלייַכן}
(2 – 4)^2 און = (-2)^2 = 4
(4 – 4)^2 און = 0^2 = 0
(6 – 4)^2 און = 2^2 = 4
\ענד{אויסגלייַכן}
\]
3. שריט 3: צולייגן אלע קוואדראטן פון די אונטערשיידן
\[ 4 + 0 + 4 = 8 \]
4. שריט 4: טיילן די סומע פון קוואַדראַטן פון דיפערענצן דורך (n – 1)
\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
אַזוי, די מוסטער וואַריאַנס פון די דאַטן איז 4.
וואַריאַנס אין באַפעלקערונג און מוסטער
עס איז וויכטיג צו פארשטיין דעם חילוק צווישן באפעלקערונג וואריאנץ און מוסטער וואריאנץ. באפעלקערונג וואריאנץ מעסט די פארשפרייטונג פון דאטן איבער דער גאנצער באפעלקערונג, בשעת מוסטער וואריאנץ מעסט די פארשפרייטונג אינערהאלב א סובסעט (מוסטער) פון דער באפעלקערונג. אין פילע פעלער, ווערט מוסטער וואריאנץ גענוצט צו שאצן באפעלקערונג וואריאנץ. צעטיילן מיט \( (n-1) \) אין דער בארעכענונג פון מוסטער וואריאנץ פארקלענערט די בייאַס אין דער שאצונג פון באפעלקערונג וואריאנץ.
וואַריאַנס אַפּליקאַציע
וואַריאַנס ווערט גענוצט אין אַ פאַרשיידנקייט פון אַפּליקאַציעס, אַזאַ ווי:
1. פינאַנציעלע ריזיקאָ אַנאַליז: אין פינאַנץ, ווערט וואַריאַנס געניצט צו מעסטן ריזיקאָ און פאַרוואַלטן ינוועסטמענט פּאָרטפעלן. העכערע וואַריאַנס מיינט אַ ריזיקאַלישע ינוועסטמענט.
2. סאציאלע וויסנשאפטן: אין פסיכאלאגיע אדער סאציאלאגיע פארשונג, ווערט וואריאנץ גענוצט צו מעסטן אונטערשיידן צווישן באפעלקערונג גרופעס.
3. קוואַליטעט קאָנטראָל: אין מאַנופאַקטורינג, ווערן וואַריאַנסן גענוצט צו מאָניטאָרירן און קאָנטראָלירן פּראָדוקט קוואַליטעט.
4. עקספּערימענטאַלע סטאַטיסטיק: געניצט צו אַנאַליזירן עקספּערימענטאַלע רעזולטאַטן און באַשטימען די באַדייַטיקייט פון דיפעראַנסיז.
וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע
וואַריאַנס ווערט אָפט גענוצט צוזאַמען מיט סטאַנדאַרט דעוויִאַציע, וואָס איז די קוואַדראַט וואָרצל פון דער וואַריאַנס. סטאַנדאַרט דעוויִאַציע גיט אַ מער דירעקטע און גרינגער אינטערפּרעטירטע מאָס פון פאַרשפּרייטונג ווי וואַריאַנס. די גלייכונג צווישן די צוויי איז:
סטאַנדאַרט דעוויאַציע (סיגמאַ) = √וואַריאַנס (סיגמאַ²)
קעסימפּולאַן
אויסרעכענען וואַריאַנס איז אַ וויכטיקער טייל פון סטאַטיסטישער אַנאַליז, וואָס גיט אַ מאָס פון דער פאַרשפּרייטונג אָדער דיספּערסיע אין אַ דאַטן-זאַמלונג. דורך פֿאַרשטיין די גרונטלעכע קאָנצעפּטן און ווי צו אויסרעכענען וואַריאַנס, קענען מיר בעסער אַנאַליזירן דאַטן, אָפּשאַצן ריזיקע און מאַכן מער אינפאָרמירטע באַשלוסן.
צי מען ניצט באפעלקערונג וואריאנץ פאר מער וויסנשאפטלעכע אנאליז אדער מוסטער וואריאנץ פאר א שאצונג פון א טייל פון דאטן, א גרינטלעכע פארשטאנד פון וואריאנץ העלפט אונז פארשטיין די פארשיידנקייט אין דאטן און עס אנווענדן צו א פארשיידנקייט פון רעאלע סיטואציעס. האפענטליך, גיט דער ארטיקל א פראקטישן און נוצלעכן וועגווייזער צו פארשטיין און אויסרעכענען וואריאנץ.
