אנאליז פון וועריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע אין דאַטן פאַרשפּרייטונג

אנאליז פון וועריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע אין דאַטן פאַרשפּרייטונג

אין סטאַטיסטיק, איז פֿאַרשטיין די פֿאַרשפּרייטונג פֿון דאַטן פּונקט אַזוי וויכטיק ווי פֿאַרשטיין צענטראַלע ווערטן ווי דער דורכשניט אָדער מעדיאַן. צוויי דאַטן-זאַמלונגען קענען האָבן דעם זעלבן דורכשניט, אָבער זייערע פֿאַרשפּרייטונגען זענען זייער אַנדערש: איינע קען זיין ענג געקלאסטערט אַרום דעם דורכשניט, בשעת די אַנדערע קען זיין ברייט פֿאַרשפּרייט. דאָס איז וווּ וואַריאַנס און סטאַנדאַרט-דעוויִאַציע קומען אַרײַן - זיי זענען שליסל-מאָסן פֿון וויפֿל דאַטן פֿאַרשיידן זיך פֿון איר צענטראַלן ווערט. דער אַרטיקל דיסקוטירט זייערע קאָנצעפּטן, פֿאָרמולעס, אינטערפּרעטאַציעס און ביישפּילן פֿון זייער אַפּליקאַציע אין דאַטן-אַנאַליז.

1. פארוואס איז דאטן פארשפרייטונג וויכטיג?

דאַטן פאַרשפּרייטונג גיט אינפֿאָרמאַציע וועגן קאָנסיסטענסי און ריזיקע. למשל, אין דעם קאָנטעקסט פון טעסט סקאָרז, קען דער דורכשניט פֿאַר קלאַסן A און B ביידע זיין 80. אָבער, אויב די וואַריאַציע אין קלאַס A'ס סקאָרז איז קליין, וועט די מערהייט פון סטודענטן אויפֿטרעטן ענלעך. פאַרקערט, אויב די וואַריאַציע אין קלאַס B'ס סקאָרז איז גרויס, איז עס מסתּמא אַז עטלעכע סטודענטן האָבן זייער הויכע סקאָרז און אַנדערע האָבן זייער נידעריקע סקאָרז. אין געשעפט, ווייזט די פאַרשפּרייטונג פון פארקויפונג דאַטן אויף רעוועך סטאַביליטעט; אין פינאַנץ, ווייזט די פאַרשפּרייטונג פון ינוועסטמענט ריטורנס אויף דעם מדרגה פון ריזיקע.

דורך פארשטיין וועריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן, קענען באַשלוס-נעמער:
– אָפּשאַצן צי אַ פּראָצעס איז סטאַביל צי נישט (למשל פֿאַבריק פּראָדוקציע).
– פֿאַרגלײַכן קאָנסיסטענסי צווישן גרופּעס (למשל צוויי לערן־מעטאָדן).
– אידענטיפיצירן אויסערגעווענליכע דאטן וואס זענען ווערט צו איבערקוקן.
– שאַצן אומזיכערקייט אין פאָרויסזאָגן און מאָדעלן.

2. גרונט־קאָנצעפּט פֿון וואַריאַנץ

וואַריאַנס מעסט די דורכשניטלעכע קוואַדראַטישע אָפּנייגונג פון יעדן דאַטן-סעט פון דעם דורכשניט. אָפּנייגונג איז דער חילוק צווישן די דאַטן-ווערטן און דעם דורכשניט. אויב פילע ווערטן זענען ווייט פון דעם דורכשניט, וועט די וואַריאַנס זיין גרויס. אויב די ווערטן זענען נאָענט צום דורכשניט, וועט די וואַריאַנס זיין קליין.

לאָמיר זאָגן אַז עס זענען דאָ דאַטן: \(x_1, x_2, …, x_n\) מיט אַ דורכשניט פון \(\bar{x}\). די אָפּנייגונג פון יעדן דאַטן איז \(x_i – \bar{x}\). אָבער, אויב די אָפּנייגונגען ווערן גלייך צוגעגעבן, איז דער רעזולטאַט שטענדיק נול ווייל עס זענען דאָ פּאָזיטיווע און נעגאַטיווע אָפּנייגונגען וואָס מבטלים איינע די אַנדערע. כּדי דאָס צו איבערקומען, ווערן די אָפּנייגונגען קוואַדראַטירט אַזוי אַז זיי זענען אַלע פּאָזיטיוו. דאָ ווערט געבוירן וואַריאַנס.

א) באַפעלקערונג וואַריאַנס
אויב די דאַטן ווערן באַטראַכט ווי רעפּרעזענטירנדיק די גאַנצע באַפעלקערונג, ווערט די באַפעלקערונג וואַריאַנס געשריבן ווי:
\[
∫sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – μu)^2}{N}
\]
די מאנא:
– \(N\) איז די צאָל פון באַפעלקערונג דאַטן,
– \(\mu\) איז דער דורכשניט פון דער באַפעלקערונג,
– \(\sigma^2\) איז די פּאָפּולאַציע וואַריאַנס.

ב) מוסטער וואַריאַנס
אויב די דאַטן איז אַ מוסטער פֿון אַ גרעסערער פּאָפּולאַציע, ווערט די מוסטער וואַריאַנס גענוצט:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n-1}
\]
דער דיוויזאָר \(n-1\) ווערט גערופן די בעסעל קארעקציע, און ווערט גענוצט צו זיכער מאַכן אַז די וואַריאַנס אָפּשאַצונג פֿאַר דער פּאָפּולאַציע איז נישט-פאַרזײַטיקט. אין עיקר, ווײַל דער מוסטער דורכשניט ווערט קאַלקולירט פֿון די דאַטן אַליין, איז דאָ אַ "פאַרלוסט פֿון גראַדן פֿון פֿרײַהייט," אַזוי דער דיוויזאָר ווערט אַדזשאַסטיד אַקאָרדינגלי.

3. סטאַנדאַרט דיווייישאַן: די וואָרצל פון דער וואַריאַנס

וואַריאַנס האט איין פּראַקטישן חסרון: אירע איינסן זענען דער קוואַדראַט פֿון די איינסן פֿון די דאַטן. אויב די דאַטן זענען אין "רופּיאַ", איז די וואַריאַנס אין "רופּיאַ²", וואָס איז שווער צו אינטערפּרעטירן גלייך. דעריבער, ניצן מיר די סטאַנדאַרט דעוויאַציע, וואָס איז די קוואַדראַט וואָרצל פֿון דער וואַריאַנס.

א) באַפעלקערונג סטאַנדאַרד דיווייישאַן
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]

ב) מוסטער סטאַנדאַרט דיווייישאַן
\[
ס = ∫ס²
\]

די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע האט די זעלבע איינסן ווי די אָריגינעלע דאַטן, מאַכנדיג עס גרינגער צו פֿאַרשטיין. אַ הויכע סטאַנדאַרט דעוויִאַציע ווײַזט אויף מער פֿאַרשפּרייטע דאַטן; אַ נידעריקע סטאַנדאַרט דעוויִאַציע ווײַזט אויף אַ מער געדיכטן דאַטן-זאַמלונג.

4. פּשוט קאַלקולאַציע בייַשפּיל

למשל, די טעסט סקאָר דאַטן: 70, 75, 80, 85, 90.

1) רעכן אויס דעם דורכשניט:
\[
\bar{x} = \frac{70+75+80+85+90}{5} = 80
\]

2) רעכנט אויס די אָפּנייגונג פון יעדן ווערט פון דעם דורכשניט:
– 70: \(70-80=-10\)
– 75: \(75-80=-5\)
– 80: \(80-80=0\)
– 85: \(85-80=5\)
– 90: \(90-80=10\)

3) קוואדראטירן די דעוויאציע:
– 100, 25, 0, 25, 100

4) צולייגן:
\[
\sum(x_i-\bar{x})^2 = 250
\]

5) מוסטער וואַריאַנס:
\[
s^2 = \frac{250}{5-1} = 62.5
\]

6) מוסטער סטאַנדאַרט דיווייישאַן:
\[
ס = 62.5 אַפּראָקס. 7.91
\]

אינטערפּרעטאַציע: דער דורכשניטלעכער כעזשבן איז 80, און "טיפּיש" כעזשבן ווייכן זיך אָפּ מיט בערך 7–8 פונקטן פון דורכשניט.

5. אינטערפּרעטאַציע פון ​​וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע

וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן זענען נישט נאָר נומערן; זיי מוזן ווערן ינטערפּראַטירט אין קאָנטעקסט.

– קליינע סטאַנדאַרט דעוויִאַציע: הויכע קאָנסיסטענץ. למשל, אַ פּראָדוקציע פּראָצעס מיט אַ זייער קליינער סטאַנדאַרט דעוויִאַציע אין פּראָדוקט גרייס ווייזט אויף סטאַבילע קוואַליטעט.
– גרויסע סטאַנדאַרט דיווייישאַן: הויכע וואַריאַציע. ביי אינוועסטירן, מיינט אַ הויכע סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון צוריקקער הויכע וואַלאַטילאַטי (העכערע ריזיקע).
– פֿאַרגלייַך צווישן גרופּעס: אויב צוויי גרופּעס האָבן די זעלבע דורכשניט אָבער אַנדערע סטאַנדאַרט דעוויִאַציעס, איז די גרופּע מיט דער קלענערער דעוויִאַציע מער האָמאָגעניש.

אבער, ס'איז וויכטיג צו געדענקען אז סטאנדארט דעוויאציע איז סענסיטיוו צו אויסנאמען. אן איינציקער עקסטרעמער ווערט קען באדייטנד פארגרעסערן די וואריאנץ און סטאנדארט דעוויאציע. דעריבער, ווערט פארטיילונג אנאליז אפט קאמפלעמענטירט דורך וויזואליזאציעס (היסטאגראמען, באקספלאטן) אדער שטארקע מעסטונגען ווי די IQR (אינטערקווארטיל ראיאן).

6. באַציִונג מיט נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג און עמפּירישע כּללים

אין אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג (גלאָק קורווע), האָט די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע אַ זייער שטאַרקע באַדייטונג. עס איז דאָ אַן עמפּירישע כלל וואָס ווערט אָפֿט גענוצט:
– בערך 68% פון די דאַטן איז אין דעם קייט \(\bar{x} \pm 1s\)
– בערך 95% פון די דאַטן איז אין דעם קייט \(\bar{x} \pm 2s\)
– בערך 99,7% פון די דאַטן איז אין דעם קייט \(\bar{x} \pm 3s\)

די כלל העלפט צו מאַכן שנעלע אינטערפּרעטאַציעס, למשל אָפּשאַצן צי אַ ווערט איז "נישט נאַטירלעך" אָדער נאָך אין דעם אַלגעמיינעם קייט.

7. אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער

1) בילדונג: מאָניטאָרירן די פאַרשפּרייטונג פון סטודענטן גראַדעס. קליינע אָפּנייגונגען ווייַזן אויף גלייכע לערן-רעזולטאַטן, בשעת גרויסע אָפּנייגונגען קענען ווייַזן אויף גאַפּס אין פארשטאנד.
2) אינדוסטריע: קוואַליטעט קאָנטראָל. וואַריאַנס ווערט גענוצט צו אָפּשאַצן פּראָדוקציע קאָנסיסטענסי.
3) פינאַנץ: מעסט אַקציע פּרייַז וואַלאַטילאַטי, פּאָרטפעל ריטורנז, און ינוועסטמענט ריזיקירן.
4) געזונט: באאבאכטן וועריאציעס אין בלוט דרוק, צוקער לעוועלס, אדער אנדערע קלינישע אינדיקאטארן אין א פאציענט באפעלקערונג.
5) סאציאלע פארשונג: אפשאצן די העטעראגעניטעט פון אנקעטע-ענטפערס און די פארשיידנקייט פון די אייגנשאפטן פון די ענטפערער.

8. געוויינטלעכע טעותים און פּראַקטישע עצות

עטלעכע געוויינטלעכע טעותים:
– ניצן מוסטער וועריאַנס (דיווייזאָר \(n-1\)) אפילו כאָטש די דאַטן זענען די גאַנצע פּאָפּולאַציע, אָדער פֿאַרקערט.
– אינטערפּרעטירן וואַריאַנס אָן באַטראַכטן אירע קוואַדראַט איינהייטן; עס איז זיכערער צו נוצן סטאַנדאַרט דיווייישאַן פֿאַר אינטערפּרעטאַציע.
– איגנארירן אויסנאַם-ווערטער; ס'איז בעסטער צו קאָנטראָלירן די דאַטן ערשט.
– פאַרגלייַכן סטאַנדאַרט דיווייישאַנז צווישן דאַטן מיט פאַרשידענע סקאַלעס אָן נאָרמאַליזאַציע; אין עטלעכע פאלן, נוצן דעם קאָעפיציענט פון וועריאַציע (CV) ד.ה. \(CV = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%\) פֿאַר אַ יושרדיקערן פאַרגלייַך.

קלאָוזינג

וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע זענען יסודותדיקע מכשירים פֿאַר פֿאַרשטיין דאַטן פֿאַרשפּרייטונג. וואַריאַנס גיט אַ שטאַרקע מאַטעמאַטישע יסוד, בשעת סטאַנדאַרט דעוויִאַציע גיט אַ מאָס וואָס איז גרינגער צו אינטערפּרעטירן ווייַל עס איז ענלעך צו די אָריגינעלע דאַטן. דורך נוצן די צוויי מאָסן, קענען מיר קלאָרער אָפּשאַצן די קאָנסיסטענסי, ריזיקירן, און דיפעראַנסיז אין די פֿאַרשפּרייטונג קעראַקטעריסטיקס צווישן דאַטן סעץ. אין דאַטן אַנאַליסיס פּראַקטיק, וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע זענען בעסטער געניצט אין קאַנדזשאַנגקשאַן מיט מאָסן פון צענטראַל טענדענץ און וויזשוואַלאַזיישאַן צו צושטעלן אַ גאַנץ בילד פון די דאַטן און מאַכן מער ינפאָרמד דיסיזשאַנז.

אויב איר ווילט, קען איך צולייגן מער קאָמפּליצירטע רעכענונג ביישפילן (למשל גרופּירטע דאַטן), אדער דערקלערן די שייכות פון סטאַנדאַרט דיווייישאַן מיט z-סקאָר און אַויסלייער דעטעקציע.