דאַטן פאַרשפּרייטונג אַנאַליסיס ניצן סטאַנדאַרד דיווייישאַן
אין סטאַטיסטיק, איז פשוט פֿאַרשטיין דעם "צענטער" פֿון אַ דאַטן-זאַמלונג נישט גענוג. צוויי סעץ דאַטן קענען האָבן דעם זעלבן דורכשניט, אָבער זייערע כאַראַקטעריסטיקס זענען באַדייטנד אַנדערש צוליב זייער גראַד פֿון פֿאַרשפּרייטונג. דאָס איז וווּ דער באַגריף פֿון דאַטן-פֿאַרשפּרייטונג ווערט וויכטיק. איינע פֿון די מערסט פּאָפּולערע, שטאַרקע און אָפֿט גענוצטע מאָסן פֿון פֿאַרשפּרייטונג אין פֿאַרשידענע פֿעלדער - פֿון בילדונג און עקאָנאָמיק ביז געזונט און דאַטן וויסנשאַפֿט - איז סטאַנדאַרט-דעוויִאַציע. דער אַרטיקל דיסקוטירט דעם באַגריף, קאַלקולאַציע, אינטערפּרעטאַציע און באַניץ פֿון סטאַנדאַרט-דעוויִאַציע צו אַנאַליזירן ווי פֿאַרשפּרייט דאַטן זענען פֿון זייער צענטער-ווערט.
1. פארוואס דארף מען אנאליזירן דאטן פארשפרייטונג?
שטעלט זיך פאר צוויי קלאסן מיט א דורכשניטלעכן מאטעמאטיק טעסט כעזשבן פון 80. אין קלאס א, האבן כמעט אלע סטודענטן באקומען צווישן 78 און 82. אין קלאס ב, האבן עטליכע סטודענטן באקומען 50 און עטליכע 100. די דורכשניטן זענען די זעלבע, אבער די סיטואציעס אין די צוויי קלאסן זענען באזונדער אנדערש. קלאס א ווייזט קאנסיסטענטע אויפטוען, בשעת קלאס ב ווייזט א באדייטנדיקן אונטערשייד.
דורך אנאליזירן די פארשפרייטונג, קענען מיר:
– אָפּשאַצן די קאָנסיסטענסי אָדער וואַריאַציע פון אַ דערשיינונג.
– מעסטן ריזיקע (למשל וועריאציע אין אינוועסטמענט פארדינסטן).
– פאַרגלייַכן פּראָצעס פעסטקייט (למשל פּראָדוקציע קוואַליטעט).
– דעטעקטירן מעגלעכע אנאמאליעס אדער עקסטרעמע דאטן.
סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז דער הויפּט געצייַג פֿאַר דעם צוועק ווייַל עס מעסט ווי ווייט די דאַטן איז פארשפרייט פון די דורכשניטלעך.
2. דעפֿיניציע פֿון סטאַנדאַרט דעוויאַציע
די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע איז די קוואַדראַט וואָרצל פֿון דער וואַריאַנס. כאָטש די וואַריאַנס מעסט דעם דורכשניט פֿון די קוואַדראַטן פֿון די אונטערשיידן צווישן די דאַטן און דעם דורכשניט, גיט די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע צוריק די מעסטונג־איינהייטן צו זייער אָריגינעלער וואָג (למשל, טעסט־רעזולטאַטן, קילאָגראַמען, רופּיאַ, אאַז"וו). דאָס מאַכט די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע גרינגער צו אינטערפּרעטירן.
אינטואיטיוו:
– קליינע סטאַנדאַרט דיווייישאַן → געזאַמלטע דאַטן איז נאָענט צום דורכשניט (מער איינהייטלעך).
– גרויסע סטאַנדאַרט דיווייישאַן → דאַטן איז פארשפרייט ווייט פון די דורכשניט (מער דייווערס).
3. סטאַנדאַרט דיווייישאַן פאָרמולע: פּאָפּולאַציע קעגן מוסטער
אין סטאַטיסטיק, מאַכן מיר אונטערשיידן צווישן רעכענען סטאַנדאַרט דעוויאַציע פֿאַר פּאָפּולאַציעס און סאַמפּאַלז.
א) באַפעלקערונג סטאַנדאַרד דיווייישאַן (σ)
אויב די דאַטן וואָס ווערן אַנאַליזירט זענען אַלע מיטגלידער פון דער באַפעלקערונג, איז די פאָרמולע:
\[
∫סיגמא = ∫קוואַדראַט (x_i – μ)^2}{N}
\]
אינפֿאָרמאַציע:
– \(x_i\) = i-טער דאטן ווערט
– \(\mu\) = באַפעלקערונג דורכשניט
– \(N\) = נומער פון באַפעלקערונג דאַטן
ב) מוסטער סטאַנדאַרט דיווייישאַן (s)
אויב די דאַטן וואָס ווערן אַנאַליזירט איז בלויז אַ טייל פֿון דער פּאָפּולאַציע (מוסטער), איז די פֿאָרמולע:
\[
ס = ∫(x_i – x)^2}{n-1)
\]
אינפֿאָרמאַציע:
– \(\bar{x}\) = מוסטער דורכשניט
– \(n\) = נומער פון מוסטער דאַטן
– \(n-1\) ווערט גערופן די גראַדן פון פרייהייט (בעסעל'ס קארעקציע), גענוצט אַזוי אַז די וואַריאַנס/סטאַנדאַרד דיווייישאַן שאַצונג איז אומפּאַרטיייש.
אין טעגלעכער פּראַקטיק, די דאַטן וואָס מיר האָבן איז געוויינטלעך אין דער פאָרעם פון מוסטערן, אַזוי די פאָרמולע \(n-1\) ווערט זייער אָפט געניצט.
4. טריט צו רעכענען סטאַנדאַרד דעוויאַציע
צו פֿאַרשטיין דעם פּראָצעס, דאָ זענען די אַלגעמיינע טריט פֿאַר קאַלקולירן מוסטער סטאַנדאַרט דיווייישאַן:
1. רעכנט אויס דעם דורכשניט (\(\bar{x}\)).
2. רעכנט אויס דעם חילוק צווישן יעדן דאטן און דעם דורכשניט (\(x_i – \bar{x}\)).
3. קוואדראטיר דעם חילוק \((x_i – \bar{x})^2\).
4. לייג צו אלע קוואדראטן.
5. טייל מיט \(n-1\) צו באַקומען די מוסטער וואַריאַנס.
6. נעמט די קוואדראט ווארצל פונעם רעזולטאט צו באקומען די סטאנדארט דעוויאציע (s).
פּשוט בייַשפּיל
לאָמיר זאָגן אַז די דאַטן ווערטן זענען: 70, 75, 80, 85, 90 (n = 5)
– דורכשניט: \(\bar{x} = (70+75+80+85+90)/5 = 80\)
– אונטערשייד: -10, -5, 0, 5, 10
– קוואדראטישע אונטערשייד: 100, 25, 0, 25, 100
– צאָל קוואַדראַטן: 250
– מוסטער וואַריאַנס: \(250/(5-1)=62,5\)
– סטאַנדאַרט דעוויִאַציע: \(s = \sqrt{62,5}\approx 7,91\)
די פּשוטע אינטערפּרעטאַציע: די ווערטן ווייכן אָפּ מיט אַ דורכשניט פון בערך 7,91 פונקטן פון דעם דורכשניט פון 80.
5. אינטערפּרעטאַציע פון סטאַנדאַרד דעוויאַציע אין דאַטן אַנאַליז
סטאַנדאַרט דיווייישאַן שטייט נישט אַליין; איר באַדייטונג דעפּענדס אויף קאָנטעקסט. אָבער, עטלעכע אַלגעמיינע גיידליינז קענען זיין נוציק:
– אויב די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז נאָענט צו 0, איז די דאַטן שטאַרק קאָנצענטרירט אַרום דעם דורכשניט.
– אויב די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז גרויס, זענען די דאַטן מער וועריאַבאַל, וואָס ווייַזט אויף נישט-איינהייטלעכקייט.
סטאַנדאַרט דעוויאַציע ווערט אויך אָפט געניצט פֿאַר:
– פארגלייכן צוויי גרופעס: למשל צוויי קלאסן מיטן זעלבן דורכשניט, אבער פארשידענע סטאנדארט דעוויאציעס.
– אָפּשאַצן פּראָצעס פעסטקייט: פֿאַבריק פּראָדוקציע מיט אַ קליינעם סטאַנדאַרט אָפּנייגונג פֿון פּראָדוקט גרייס מיינט מער קאָנסיסטענטע קוואַליטעט.
– מעסטן וואלאטיליטעט: אין פינאנץ, ווערט די סטאנדארט דעוויאציע פון אקציע צוריקקער אפט גענוצט אלס א ריזיקע אינדיקאטאר.
6. באַציִונג צווישן סטאַנדאַרט דעוויאַציע און נאָרמאַלער פאַרשפּרייטונג
אין דאַטן וואָס פֿאָלגן אַ נאָרמאַלע פֿאַרשפּרייטונג, האָט די סטאַנדאַרט דעוויאַציע אַ זייער שטאַרקע אינטערפּרעטאַציע דורך דער עמפּירישער הערשן:
– בערך 68% פון די דאַטן איז אין דעם קייט \(\bar{x} \pm 1s\)
– בערך 95% פון די דאַטן איז אין דעם קייט \(\bar{x} \pm 2s\)
– בערך 99,7% פון די דאַטן איז אין דעם קייט \(\bar{x} \pm 3s\)
די כלל איז נוצלעך צו שאַצן וויפֿל דאַטן איז "נאָרמאַל" אַרום דעם דורכשניט און מאַכט עס גרינגער צו דעטעקטירן עקסטרעמע ווערטן. אָבער, עס איז וויכטיק צו געדענקען אַז די כלל איז פּינקטלעך נאָר אויב די דאַטן זענען טאַקע נאָענט צו נאָרמאַל.
7. סטאַנדאַרד דעוויאַציע קעגן אַנדערע מאָסן פון פאַרשפּרייטונג
כאָטש סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז זייער פאָלקס, עס זענען אנדערע מאָסן פון דיספּערזשאַן וואָס זענען אויך וויכטיק:
– ראַנגע: דער חילוק צווישן די מאַקסימום און מינימום ווערטן. פּשוט אָבער זייער סענסיטיוו צו אויסנאַם ווערטן.
– IQR (אינטערקווארטיל קייט): די קייט צווישן קווארטיל 1 און קווארטיל 3. מער קעגנשטעליק צו אויסנאמען ווי סטאנדארט דעוויאציע.
– MAD (מעדיאַן אַבסאָלוטע דעוויִאַציע): אַ שטאַרקע מאָס באַזירט אויף דעם מעדיאַן, פּאַסיק פֿאַר דאַטן מיט פילע אַויסנאַם-ווערטן.
די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע איז העכער ווען די דאַטן זענען רעלאַטיוו "ריין" און די פאַרשפּרייטונג איז נישט צו שטאַרק עקוויוואַלענט. אויב די דאַטן אַנטהאַלטן פילע אַויסנאַם-ווערטער, קען די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע ווערן גרעסער און ווייניקער רעפּרעזענטאַטיוו פון דער מערהייט פון די דאַטן.
8. מעלות און באגרענעצונגען פון סטאַנדאַרט דעוויאַציע
וידעפדיק
– ניצט אַלע דאַטן (נישט נאָר עקסטרעמע ווערטן).
– האט אַ שטאַרקע טעאָרעטישע באַזע און ווערט אָפט גענוצט אין פילע אַוואַנסירטע סטאַטיסטישע מעטאָדן.
– גרינג צו אינטערפּרעטירן ווײַל די איינסן זענען די זעלבע ווי די אָריגינעלע דאַטן.
לימיטאַציעס
– זייער סענסיטיוו צו אויסנאַם-ווערטער ווײַל עס באַטראַפֿט דעם קוואַדראַט פֿון דעם אונטערשייד.
– די אויסטײַטשונג פֿון "גרויס" אָדער "קליין" הענגט אָפּ פֿון מאָסשטאַב און קאָנטעקסט.
– אין שטארק נישט-נאָרמאַלע פאַרשפּרייטונגען, קען די סטאַנדאַרט דעוויאַציע זיין ווייניקער רעפּרעזענטאַטיוו.
9. מסקנא
אנאליזירן דאטן פארשפרייטונג איז א קריטישער שריט אין פארשטיין די אייגנשאפטן פון א דאטן-זאמלונג. די סטאנדארט-דעוויאציע גיט א קלארע מאס ווי ווייט דאטן פארשפרייט זיך פון דורכשניט, און העלפט אונז אפשאצן די קאנסיסטענץ, ריזיקע, און קוואליטעט פון א פראצעס אדער דערשיינונג. דורך פארשטיין ווי אזוי צו רעכענען און אינטערפרעטירן דאס, קענען מיר מאכן מער אינפארמירטע באשלוסן, צי אין אקאדעמישע פארשונג, פערפארמענס-אפשאצונג, קוואליטעט-קאנטראל, אדער ביזנעס-אנאליז.
לעסאָף, סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז נישט נאָר אַ נומער, נאָר אַ וויכטיקע צוזאַמענפאַסונג פון דער אומזיכערקייט און וואַריאַציע וואָס איז איינגעוואָרצלט אין די דאַטן. פֿאַר אַ מער ראָבוסטער אַנאַליז, זאָל מען נוצן סטאַנדאַרט דיווייישאַן צוזאַמען מיט אַנדערע מאָסן - ווי דער מעדיאַן, IQR, אָדער דאַטן וויזואַליזאַציע - צו צושטעלן אַ מער פולשטענדיק און פּינקטלעך בילד פון דער פאַרשפּרייטונג.
