הויפּט קאָמפּאָנענט אַנאַליז אין סטאַטיסטיק

הויפּט קאָמפּאָנענט אַנאַליז אין סטאַטיסטיק

הקדמה

הויפּט קאָמפּאָנענט אַנאַליז (PCA) איז אַ סטאַטיסטישע טעכניק געניצט צו רעדוצירן די דימענסיאָנאַליטעט פון דאַטן בשעת מען האַלט די עיקר כאַראַקטעריסטיקס פון די דאַטאַסעט. עס איז ברייט געניצט אין פעלדער ווי מוסטער דערקענונג, בילד פּראַסעסינג און גענאָמישע דאַטן אַנאַליז, וואו גרויסע דאַטן באַנדן קענען קאָמפּליצירן די ינטערפּרעטאַציע און פּראַסעסינג. PCA העלפֿט פאַרפּשוטערן דאַטן אָן פאַרלירן וויכטיקע אינפֿאָרמאַציע, מאַכנדיג עס אַ זייער נוציק געצייַג אין מאָדערנער דאַטן אַנאַליז.

גרונט טעאָריע פון ​​PCA

דער גרונט־פּרינציפּ פֿון PCA איז די טראַנספֿאָרמאַציע פֿון דאַטן אין אַ נײַעם סכום קאָאָרדינאַטן, וואו די מאַקסימום וועריאַביליטי אין די דאַטן ווערט געכאפט דורך דער ערשטער קאָמפּאָנענט, די צווייט־העכסטע וועריאַביליטי דורך דער צווייטער קאָמפּאָנענט, און אַזוי ווײַטער. די קאָמפּאָנענטן ווערן גערופֿן הויפּט־קאָמפּאָנענטן. דער פּראָצעס נעמט אַרײַן עטלעכע שליסל־טרעט:

1. דאַטן סטאַנדאַרדיזאַציע: פֿאַרשידענע דאַטן האָבן אָפֿט פֿאַרשידענע וואָג, וואָס קען אַפֿעקטירן PCA רעזולטאַטן. דעריבער, דאַטן ווערן געוויינטלעך סטאַנדאַרדיזירט דורך אַראָפּרעכענען דעם דורכשניט און צעטיילן מיטן סטאַנדאַרט דעוויִאַציע.

2. קא-וועריאנץ מאטריץ: דער נעקסטער שריט איז צו רעכענען די קא-וועריאנץ מאטריץ פון די סטאנדארדיזירטע דאטן. די מאטריץ העלפט פארשטיין ווי צוויי וועריאַבלען טוישן זיך צוזאמען.

3. אייגענווערט און אייגענוועקטאָר: דער אייגענווערט און אייגענוועקטאָר פון דער קאָוואַריאַנס מאַטריץ ווערן אויסגערעכנט. דער אייגענוועקטאָר באַשטימט די ריכטונג פון די הויפּט קאָמפּאָנענטן, בשעת דער אייגענווערט באַשטימט זייער באַדייטונג.

4. קאָמפּאָנענט סאָרטירונג: הויפּט קאָמפּאָנענטן ווערן סאָרטירט לויט זייערע אייגענע ווערטן, פֿון גרעסטן ביז קלענסטן. די אויסוואַל פֿון הויפּט קאָמפּאָנענטן איז געוויינטלעך באַזירט אויף אייגענע ווערטן, מיט קאָמפּאָנענטן מיט גרעסערע אייגענע ווערטן אויסגעקליבן פֿאַר ווייטערדיקע אַנאַליז.

5. דאַטן טראַנספאָרמאַציע: די אָריגינעלע דאַטן ווערן דערנאָך טראַנספאָרמירט אין הויפּט קאָמפּאָנענט פּלאַץ פֿאַר ווייטערדיקע אַנאַליז.

טריט אין PCA

1. זאַמלען דאַטן

דער ערשטער שריט אין PCA איז צו זאַמלען באַטייַטיקע דאַטן. די דאַטן מוזן זיין גרויס גענוג כּדי די אַנאַליז זאָל ברענגען באַדייַטנדיקע רעזולטאַטן. למשל, פֿאַר אַ געזונטהייט אַפּליקאַציע, קען מען זאַמלען פּאַציענט דאַטן ווי הייך, וואָג, בלוטדרוק, און אַזוי ווייטער.

2. דאַטן סטאַנדאַרדיזאַציע

נאכדעם וואס די דאטן ווערן געזאמלט, מוז יעדע אייגנשאפט (קאלום) אינעווייניג ווערן סטאנדארדיזירט. די סיבה הינטער סטאנדארדיזאציע איז צו זיכער מאכן אז יעדע אייגנשאפט ביישטייערט גלייך צום PCA, אומאפהענגיק פון איר אריגינעלער סקאלע. סטאנדארדיזאציע ווערט דערגרייכט דורך אפציען דעם דורכשניט פון יעדע אייגנשאפט און דערנאך צעטיילן עס מיטן סטאנדארט דעוויאציע.

פאָרמולאַציע:
\[ ז = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
וואו \(X\) איז דער אריגינעלער אייגנשאפט ווערט, \(\mu\) איז דער אייגנשאפט דורכשניט, און \(\sigma\) איז די אייגנשאפט סטאַנדאַרט דעוויאַציע.

3. שאַפֿן אַ קאָוואַריאַנס מאַטריץ

דער נעקסטער שריט איז צו שאַפֿן אַ קאָוואַריאַנס מאַטריץ פֿון די סטאַנדאַרדיזירטע דאַטן. אַ קאָוואַריאַנס מאַטריץ איז אַ קוואַדראַטישע מאַטריץ וואָס רעפּרעזענטירט די וועריאַביליטי פֿון פֿעיִקייטן און די באַציִונגען צווישן זיי.

פאָרמולאַציע:
\[ קאָוו(רענטגענ, י) = E[(רענטגענ - ע[רענטגענ])(י - ע[י])] \]
וואו \(E\) איז די ערווארטונג אדער דורכשניט.

4. אויסרעכענען אייגענווערטן און אייגענוועקטאָרן

אזוי שנעל ווי די קא-וועריאנס מאטריץ איז באשאפן, איז דער נעקסטער שריט צו רעכענען די אייגענווערטן און אייגענוועקטאָרן. אייגענוועקטאָרן און אייגענווערטן זענען די רוקן-ביין פון PCA ווייל זיי באַשטימען די ריכטונג און באַדייטונג פון די הויפּט קאָמפּאָנענטן. א גרעסערע אייגענווערט ווייזט אויף מער וואַריאַנס אין דער ריכטונג געגעבן דורך דעם קאָרעספּאָנדירנדיקן אייגענוועקטאָר.

5. סאָרטירן קאָמפּאָנענטן באַזירט אויף אייגענווערטן

הויפּט קאָמפּאָנענטן ווערן סאָרטירט לויט זייערע אייגענע ווערטן, פֿון גרעסטן ביז קלענסטן. דער הויפּט קאָמפּאָנענט מיטן גרעסטן אייגענעם ווערט טראָגט ביי דעם גרעסטן ביי צו דער וועריאַביליטי אין די דאַטן.

6. אויסקלויבן די צאָל קאָמפּאָנענטן צו האַלטן

נישט אלע הויפט קאמפאנענטן דארפן ווערן געהאלטן. קאמפאנענט אויסוואל איז באזירט אויף אייגענווערטן. איין געוויינלעכער צוגאנג איז 'קומולאטיוו דערקלערטע וועריאנס,' וואס ווייזט וואספארא פראפארציע פון ​​דער גאנצער וועריאנס אין די דאטן ווערט דערקלערט דורך א צאל הויפט קאמפאנענטן.

7. דאַטן טראַנספאָרמאַציע

דער לעצטער שריט איז צו פארוואנדלען די ארגינעלע דאטן אין די קאארדינאטן פון דעם אויסגעקליבענעם הויפט קאמפאנענט-רוים. די ווערטן אין דעם הויפט קאמפאנענט-רוים ווערן נייע אטריביוטן וואס קענען ווייטער אנאליזירט ווערן.

פּקאַ אַפּליקאַציעס

קלאַסיפֿיקאַציע און מוסטער דערקענונג

פּי-סי-עי ווערט ברייט גענוצט אין קלאַסיפֿיקאַציע און מוסטער דערקענונג. דורך רעדוצירן די דימענסיאָנאַליטעט פון דאַטן, מאַכט פּי-סי-עי דעם קלאַסיפֿיקאַציע פּראָצעס מער עפֿעקטיוו און רעדוצירט קאָמפּיוטיישאַנאַל קאָמפּלעקסיטעט. למשל, אין פּנים דערקענונג, רעדוצירט פּי-סי-עי די דימענסיאָנאַליטעט פון פנימער אין בילדער אַזוי אַז קאָמפּיוטערס קענען זיי דערקענען שנעלער.

בילד פאַראַרבעטונג

פּי-סי-עי קען רעדוצירן בילד גרייס אָן פאַרלירן וויכטיקע דעטאַלן. די טעכניק ווערט אויך גענוצט צו עקסטראַקטן פֿעיִקייטן פֿון בילדער וואָס קענען גענוצט ווערן אין פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס ווי אָביעקט דערקענונג, ברעג דעטעקציע, און בילד סעגמענטאַציע.

גענאָם דאַטן אַנאַליז

אין ביאלאגיע, איז גענאמישע דאטן אפט זייער גרויס און קאמפליצירט. PCA ווערט גענוצט צו רעדוצירן די דימענסיאנאליטעט פון גענאמישע דאטן, מאכנדיג עס גרינגער צו אנטדעקן און אנאליזירן מוסטערן און קארעלאציעס אין די דאטן. דאס איז באזונדערס נוצלעך אין גענעטישע פארשונג און מעדיצין אנטוויקלונג.

פינאַנץ און עקאָנאָמיק

PCA ווערט גענוצט אין פּאָרטפעל ריזיקאָ אַנאַליז און אַקציע פּרייַז פאָרויסזאָגן. דורך רעדוצירן די דימענשאַנאַליטי פון פינאַנציעל דאַטן, קען אַנאַליז זיך מער פאָקוסירן אויף פאַקטאָרן וואָס האָבן אַ באַטייטיק השפּעה אויף דעם מאַרק.

קעסימפּולאַן

הויפּט קאָמפּאָנענט אַנאַליז (PCA) איז אַ שטאַרקע טעכניק אין סטאַטיסטיק און מאַשין לערנען. דורך רעדוצירן די דימענסיאָנאַליטעט פון דאַטן אָן פאַרלירן באַטייַטיק אינפֿאָרמאַציע, PCA אַלאַוז מער עפעקטיוו און ינטערפּרעטאַטיוו אַנאַליז. כאָטש PCA איז שטאַרק, עס איז וויכטיק צו פֿאַרשטיין זייַן לימיטיישאַנז: עס איז בלויז עפעקטיוו ווען די דאַטן זענען לינעאַר סטראַקטשערד. פֿאַרשטיין PCA און זייַן פּאָטענציעל אַפּלאַקיישאַנז אַלאַוז אונדז צו עקסטראַקט טיפֿער ינסייץ פון גרויס, קאָמפּלעקס דאַטאַסעץ, מאכן עס אַ יקערדיק געצייַג אין מאָדערן דאַטן אַנאַליז.