אייגנשאפטן פון דעריוואַטיווע פונקציעס

אייגנשאפטן פון דעריוואַטיווע פונקציעס

די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין קאַלקולוס וואָס מעסט די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון אַ פֿונקציע אין אַ געגעבענעם פּונקט. דעריוואַטיוון געבן וויכטיקע איינזיכטן אין דעם נאַטור און אייגנשאַפֿטן פֿון פֿונקציעס, אַרייַנגערעכנט די טענדענץ פֿון די ווערטן פֿון אַ פֿונקציע צו פֿאַרגרעסערן אָדער פֿאַרקלענערן זיך, דרייפּונקטן, און אַנדערע וויכטיקע אינפֿאָרמאַציע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן פֿאַרשידענע אייגנשאַפֿטן פֿון דער דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע און אירע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן.

1. דעפֿיניציע פֿון דעריוואַטיוו

די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע \(f \) אין אַ פּונקט \(x \) איז דער גרענעץ פֿון דער ענדערונג פֿון דער פֿונקציע \(f \) אין באַצוג צו דער ענדערונג פֿון דער וואַריאַבל \(x \) ווען די ענדערונג דערנענטערט זיך צו נול. מאַטעמאַטיש, די דעריוואַטיוו פֿון דער פֿונקציע \(f \) אין אַ פּונקט \(x \), באַצייכנט ווי \(f'(x) \) אָדער \( \frac{df}{dx} \), איז דעפֿינירט ווי:

[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} \]

די דעריוואַטיוו באַשרײַבט ווי די פֿונקציע \(f \) ענדערט זיך מיט קליינע ענדערונגען אין \(x \).

2. גרונטלעכע כּללים פון דיפערענציאַל

עס זענען דא עטלעכע גרונטלעכע כּללים וואָס זענען זייער נוצלעך אין דיפערענציאַלן. דאָ זענען עטלעכע פון ​​זיי:

א. קאָנסטאַנטע הערשאפט

אויב \(c \) איז אַ קאָנסטאַנט, דעמאָלט איז די דעריוואַטיוו פֿון \(c \) נול.

\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 \]

ב. אידענטיטעט רעגולאציעס

די דעריוואַטיוו פֿון \(x \) איז 1.

\[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \]

ג. ראַנג כּללים

אויב \(n \) איז אַ רעאַלע צאָל, דעמאָלט איז די דעריוואַטיוו פֿון \(x^n \):

[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \]

ד. קאָנסטאַנטע הערשן מאָל פֿונקציע

אויב \(c \) איז אַ קאָנסטאַנט, דעמאָלט איז די דעריוואַטיוו פֿון \(cf(x) \):

\[ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x) \]

ה. צוגאב רעגולאציעס

די דעריוואטיוו פון דער סומע פון ​​צוויי פונקציעס איז די סומע פון ​​די דעריוואטיוון פון יעדער פונקציע.

\[ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \]

ו. מולטיפּליקאַציע כּללים

די דעריוואַטיוו פֿון דעם פּראָדוקט פֿון צוויי פֿונקציעס f און g ווערט געגעבן דורך:

\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

ז. פֿאַרטיילונג כּללים

די דעריוואַטיוו פון דער דיוויזיע פון ​​צוויי פונקציעס \(f \) און \(g \) ווערט געגעבן דורך:

[\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]

ה. קייטן הערשן

אויב אַ פֿונקציע \(y \) איז אַ צוזאַמענשטעלונג פֿון צוויי פֿונקציעס, נעמלעך \(y = f(g(x)) \), דאַן ווערט איר דעריוואַטיוו געגעבן דורך דער קייטן-רעגולאַציע:

[\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) ⋅ g'(x)]

3. דעריוואַטעד אייגנשאַפטן

א. קאָנטינויִטעט און סאַסטיינאַביליטי

אויב אַ פֿונקציע \(f \) האט אַ דעריוואַטיוו אין אַ פּונקט \(a \), דאַן מוז די פֿונקציע זיין קאָנטינויִערלעך אין יענעם פּונקט. אָבער, קאָנטינויִערלעכקייט פֿון אַ פֿונקציע אין אַ פּונקט גאַראַנטירט נישט אַז די פֿונקציע האט אַ דעריוואַטיוו אין יענעם פּונקט. למשל, די אַבסאָלוטע ווערט פֿונקציע \(f(x) = |x| \) איז קאָנטינויִערלעך אין \(x = 0 \), אָבער האט נישט קיין דעריוואַטיוו אין יענעם פּונקט.

ב. צווייטע און העכערע דעריוואַטיוון

דורך דורכפירן איבערגעחזרטע דיפערענציאציע, קענען מיר באקומען די צווייטע דעריוואטיוו \( f”(x) \), די דריטע דעריוואטיוו \( f”'(x) \), און אזוי ווייטער. די צווייטע דעריוואטיוו גיט אינפארמאציע וועגן די קאנקאוויטי פון די פונקציע'ס גראף. אויב די צווייטע דעריוואטיוו איז פאזיטיוו, איז די פונקציע'ס גראף קאנקאוו ארויף, און אויב זי איז נעגאטיוו, איז די פונקציע'ס גראף קאנקאוו אראפ.

ג. קריטישער פונקט

א קריטישער פונקט פון א פונקציע \(f \) איז א פונקט וואו די ערשטע דעריוואטיוו \(f'(x) \) איז נול אדער עקזיסטירט נישט. א קריטישער פונקט קען זיין א סטאציאנערער פונקט (לאקאלער מינימום, לאקאלער מאקסימום, אדער זאטל פונקט). ווייטערדיגע אנאליז מיטן צווייטן דעריוואטיוו אדער ערשטן דעריוואטיוו טעסט ווערט גענוצט צו קלאסיפיצירן דעם טיפ קריטישן פונקט.

ד. ראַטע פון ​​ענדערונג

די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע קען גענוצט ווערן צו באַשטימען די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון אַ פֿענאָמען. אין פֿיזיק, די דעריוואַטיוו פֿון פּאָזיציע אין באַצוג צו צייט גיט גיכקייט, און די דעריוואַטיוו פֿון גיכקייט אין באַצוג צו צייט גיט אַקסעלעראַציע. אין עקאָנאָמיק, די דעריוואַטיוו פֿון דער גאַנצער קאָסטן פֿונקציע אין באַצוג צו פּראָדוקציע גיט מאַרדזשינאַלע קאָסטן.

ה. פארגרעסערן און פארקלענערן פונקציעס

אויב \(f'(x) > 0 \) אויף א געגעבענעם אינטערוואַל, דעמאָלט וואַקסט \(f \) מאָנאָטאָניש אויף יענעם אינטערוואַל. פאַרקערט, אויב \(f'(x) < 0 \), דעמאָלט פאַלט \(f \) מאָנאָטאָניש אויף יענעם אינטערוואַל. דאָס איז זייער נוצלעך אין פונקציע אַנאַליז צו באַשטימען דאָס נאַטור פון אַ פונקציע אויף פֿאַרשידענע אינטערוואַלן פון איר דאָמען. 4. אַפּליקאַציע פון ​​דעריוואַטיוון אין פֿאַרשידענע פעלדער a. עקאָנאָמיק אין עקאָנאָמיק, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט צו אַנאַליזירן מאַרגינאַליזאַציע. למשל, מאַרגינאַל קאָסטן, וואָס איז די דעריוואַטיוו פון דער גאַנץ קאָסטן פונקציע אין באַצוג צו דער קוואַנטיטעט פון פּראָדוקציע. דאָס העלפֿט באַשטימען די נאָך קאָסטן פון פּראָדוצירן איין נאָך איינהייט פון אַ פּראָדוקט.

\[ \text{מארדזשינאלע קאסט} = \frac{d}{dQ}[\text{גאנצע קאסט}] \] ב. אינזשעניריע אין אינזשעניריע, ווערן דעריוואטיוון גענוצט צו באשטימען די ראטע פון ​​ענדערונג אין פיזישע סיסטעמען, ווי למשל שנעלקייט און פארגיכערונג אין מעכאנישער באוועגונג, אדער טעמפעראטור ענדערונג אין טערמישע פראצעסן. ג. דאטן וויסנשאפט און מאשין לערנען אין דאטן וויסנשאפט און מאשין לערנען, ווערן גראדיענטן — וואס זענען וועקטארן פון טיילווייזע דעריוואטיוון — גענוצט אין אפטימיזאציע אלגאריטמען צו מינימיזירן פארלוסט אדער קאסט פונקציעס. דער גראדיענט אראפגאנג אלגאריטם, למשל, פארלאזט זיך אויף קאמפיוטינג דעריוואטיוון צו געפינען די אפטימאלע פאראמעטערס אין א מאשין לערנען מאדעל. ד. פיזיק אין פיזיק, ווערן דעריוואטיוון גענוצט צו באשרייבן פארשידענע נאטירלעכע דערשיינונגען. ניוטאן'ס געזעצן פון באוועגונג, למשל, נוצן דעריוואטיוון צו באשטימען די באציאונג צווישן קראפט, מאסע, און פארגיכערונג. \[ F = ma \quad \text{מיט} \quad a = \frac{dv}{dt} \] ה. פינאנץ אין פינאנץ, ווערן דעריוואטיוון גענוצט צו באשטימען די סענסיטיוויטי פון דעם פרייז פון אן אפציע אדער אנדערע פינאנציעלע אינסטרומענט צו ענדערונגען אין פארשידענע וועריאַבלען, באקאנט אלס "די גריכן". מסקנא די דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע איז אַ פונדאַמענטאַל און ברייט באַגריף אין קאַלקולוס מיט ברייטע אַפּליקאַציעס אין כּמעט יעדן פעלד פון וויסנשאַפֿט. פֿון די יסודות פון דיפערענציאַל גלייכונגען ביז סאָפיסטיקירטע אַפּליקאַציעס אין אינזשעניריע, עקאָנאָמיק און דאַטן וויסנשאַפֿט, איז פֿאַרשטיין די אייגנשאַפֿטן פון דעריוואַטיוון וויכטיק פֿאַר אַ ברייטע אַנאַליז און פּראָבלעם סאָלווינג אין אַ ברייטע קייט פון דיסציפּלינעס. ווי אַן אַנאַליטיש געצייַג, דעריוואַטיוון לאָזן אונדז מאָדעלירן, אויספאָרשן און אָפּטימיזירן קאָמפּלעקסע רעאַלע דערשיינונגען.