ראָטאַציאָנעלע באַוועגונג – פּראָבלעמען און לייזונגען

ראָטאַציאָנעלע באַוועגונג – פּראָבלעמען און לייזונגען

טאָרק

1. א באַלקע 140 ס״מ לאַנג. עס זענען דריי כוחות וואָס ווירקן אויף דער באַלקע, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N, און F3 ₌ 40 N מיט ריכטונג און פּאָזיציע ווי געוויזן אין דער בילד אונטן. וואָס איז דער דריימאָמענט וואָס פאַרשאַפט די באַלקע זיך צו דרייען אַרום דעם צענטער פון מאַסע פון ​​דער באַלקע?

באַקאַנט:

דער צענטער פון מאַסע געפינט זיך אין צענטער פון דעם שטראַל.

לענג פון שטראַל (ל) = 140 ס״מ = 1.4 מעטער

קראַפט 1 (F₁) = 20 N, דער הייבער אָרעם 1 (l₁) = 70 ס״מ = 0.7 מעטער

קראַפט 2 (F₂) = 10 N, דער הייבער אָרעם 2 (l₂) = 100 ס״מ – 70 ס״מ = 30 ס״מ = 0.3 מעטער

קראַפט 3 (F₃) = 40 N, דער הייבער אָרעם 3 (l₃) = 70 ס״מ = 0.7 מעטער

געוואָלט: די מאַגניטוד פון טאָרק

לייזונג:

דער דריימאָמענט 1 דרייט דעם שטראַל זייגער־ריכטונג, אַזוי ווערט געגעבן אַ נעגאַטיוון סימן צום דריימאָמענט 1.

τ₁ = ו₁ l₁ = (20 נ)(0.7 מעטער) = -14 נ מעטער

דער דריימאָמענט 2 דרייט דעם שטראַל קעגן זייגער, אַזוי צוגעטיילט אַ פּאָזיטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 2.

τ₂ = ו₂ l₂ = (10 נ)(0.3 מעטער) = 3 נ מעטער

דער דריימאָמענט 3 דרייט זיך שטראַל זייגערווייז, אַזוי ווערט געגעבן אַ פּאָזיטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 3.

τ₃ = ו₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

די נעץ טאָרק:

Στ = -14 נם + 3 נם - 28 נם = - 42 נם + 3 נם = -39 נם

די מאַגניטוד פון די דריימאָמענט איז 39 נ⁻¹ מ. די ריכטונג פון ראָטאַציע פון ​​די שטראַל זייגערווייז, אַזוי איז געגעבן אַ נעגאַטיוו צייכן.

2. וואָס איז די נעץ דריימאָמענט וואָס אַרבעט אויף דעם שטראַל? די ראָטאַציע אַקס ביי פּונקט ד. (זינד 53)^o = 0.8)

באַקאַנט:

די ראָטאַציע אַקס ביי פּונקט ד

F₁ = 10 נ און ל₁ = ר₁ זינד θ = (40 ס״מ)(זינד 53^o) = (0.4 מעטער)(0.8) = 0.32 מעטער

F₂ = 10√2 N און ל₂ = ר₂ זינד θ = (20 ס״מ)(זינד 45^o) = (0.2 מעטער)(0.5√2) = 0.1√2 מעטער

F₃ = 20 נ און ל₃ = ר₁ זינד θ = (10 ס״מ)(זינד 90^o) = (0.1 מעטער)(1) = 0.1 מעטער

געוואָלט: די נעץ טאָרק

לייזונג:

τ₁ = ו₁ l₁ = (10 נ)(0.32 מעטער) = 3.2 נ״מ

(דער דריימאָמענט 1 דרייט זיך דעם שטראַל קעגן זייגער, אַזוי מיר געבן אַ פּאָזיטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 1)

τ₂ = ו₂ l₂ = (10√2 N)(0.1√2 m) = -2 Nm

(דער דריימאָמענט 2 דרייט זיך מיטן שטראַל זייגערווייז, אַזוי מיר געבן אַ נעגאַטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 2)

τ₃ = ו₂ l₂ = (20 נ)(0.1 מעטער) = 2 נ״מ

(דער דריימאָמענט 3 דרייט זיך דעם שטראַל קעגן זייגער, אַזוי מיר געבן אַ פּאָזיטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 3)

די נעץ טאָרק:

Στ = τ₁ – ט₁ + ט₃

Στ = 3.2 נ״מ – 2 נ״מ + 2 נ״מ

Στ = 3.2 נ״מ

3. וואָס איז די נעץ דריימאָמענט אויב די ראָטאַציע אַקס ביי פּונקט ד. (זינד 53^o = 0.8)

באַקאַנט:

די ראָטאַציע אַקס ביי פּונקט ד.

מעהאַלעך צווישן פ₁ און די ראָטאַציע אַקס (r_AD) = 40 ס״מ = 0.4 מעטער

דיסטאַנץ צווישן F₂ און די ראָטאַציע אַקס (r_BD) = 20 ס״מ = 0.2 מעטער

דיסטאַנץ צווישן F₃ און די ראָטאַציע אַקס (r_CD) = 10 ס״מ = 0.1 מעטער

F₁ = 10 ניוטאָן

F₂ = 10√2 ניוטאָן

F³ = 20 _{ניוטאָן}

אָן 53^o = קסנומקס

געוואָלט: די נעץ טאָרק

לייזונג:

דער מאָמענט פֿון דער קראַפט 1

Στ₁ = (פֿ₁)(ר_AD זינד 53^o) = (10 נ)(0.4 מ)(0.8) = 3.2 נ"מ

(דער דריימאָמענט 1 דרייט זיך דעם שטראַל קעגן זייגער, אַזוי מיר געבן אַ פּאָזיטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 1)

דער מאָמענט פֿון דער קראַפֿט 2

Στ₂ = (פֿ₂)(ר_BD זינד 45^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(דער דריימאָמענט 2 דרייט זיך מיטן שטראַל זייגערווייז, אַזוי מיר געבן אַ נעגאַטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 2)

דער מאָמענט פֿון דער קראַפֿט 3

Στ₃ = (פֿ₃)(ר_CD זינד 90^o) = (20 נ)(0.1 מ)(1) = 2 נ"מ

(דער דריימאָמענט 2 דרייט זיך דעם שטראַל קעגן זייגער, אַזוי מיר געבן אַ פּאָזיטיוון סימן צו דעם דריימאָמענט 3)

די נעץ טאָרק:

Στ = Στ₁ + סט₂ + סט₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 ניוטאן מעטער

דער מאָמענט פון אינערציע

4. לענג פון דראָט = 12 מעטער, ל₁ = 4 מעטער. איגנארירט די מאַסע פון ​​דראָט. וואָס איז די מאָמענט פון ינערשאַ פון די סיסטעם.

באַקאַנט:

מאַסע פון א (מ_A) = 0.2 ק"ג

מאַסע פון ​​ב (מ_B) = 0.6 ק"ג

דיסטאַנץ צווישן A און דער ראָטאַציע אַקס (r_A) = 4 מעטער

דיסטאַנץ צווישן B און דער ראָטאַציע אַקס (r_B) = 12 – 4 = 8 מעטער

געוואָלט: דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער סיסטעם

לייזונג:

דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​A

I_A = (מ_A)(ר_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 ק״ג מ״מ²

דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​B

I_B = (מ_B)(ר_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 ק״ג מ״מ²

דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער סיסטעם:

איך = איך_A + איך_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 ק״ג מ״מ²

ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק

5. א 6-N קראַפט ווערט אַפּליצירט צו אַ שנור וואָס איז אַרומגעוויקלט אַרום אַ פּולי מיט מאַסע M = 5 ק"ג און ראַדיוס R = 20 ס"מ. וואָס איז די ווינקל אַקסעלעריישאַן פון די פּולי? די פּולי איז אַ גלייכמעסיקער האַרטער צילינדער.

באַקאַנט:

קראַפט (F) = 6 ניוטאָן

מאַסע (M) = 5 ק״ג

ראַדיוס (R) = 20 ס״מ = 20/100 מ = 0.2 מ

געוואָלט: ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע (α)

לייזונג:

דער מאָמענט פֿון דער קראַפט:

τ = פר = (6 נוטאַן) (0.2 מעטער) = 1.2 ען עם

דער מאָמענט פון אינערציע פֿאַר אַ האַרטן צילינדער:

איך = 1/2 מר²

איך = 1/2 (5 ק"ג)(0.2 מ)²

איך = 1/2 (5 ק״ג)(0.04 מ״מ²)

איך = 1/2 (0.2)

איך = 0.1 ק״ג מ².

די ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע:

τ = Iα

α = τ / איך = 1.2 / 0.1 = 12 ראַד ס^-2

6. א בלאָק מיט אַ מאַסע = 4 ק״ג הענגט פֿון אַ שנור וואָס איז אַרומגעוויקלט אַרום אַ פּולי מיט אַ מאַסע = 8 ק״ג און אַ ראַדיוס R = 10 ס״מ. די אַקסעלעראַציע צוליב גראַוויטאַציע איז 10 מס.^-2 וואָס איז די לינעאַרע אַקסעלעראַציע פֿון דעם בלאָק? די פּולי איז אַ גלייכמעסיקער פֿעסטער צילינדער.

באַקאַנט:

מאַסע פון ​​​​די רילי (מ) = 8 ק"ג

ראַדיוס פון ריל (r) = 10 ס״מ = 0.1 מעטער

מאַסע פון ​​בלאָק (מ) = 4 ק"ג

אַקסעלעראַציע צוליב גראַוויטאַציע (g) = 10 m/ ^s²

וואָג (w) = מג = (4 ק"ג)(10 מ/ס² ⁾ = 40 ק"ג מ/ס² ⁼ 40 ניוטאָן

געוואָלט: די פריי-פאַל אַקסעלעראַציע פון ​​דעם בלאָק

לייזונג:

דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דעם האַרטן צילינדער:

איך = 1/2 מר² = 1/2 (8 ק"ג)(0.1 מ)² = (4 ק"ג)(0.01 מ²) = 0.04 ק״ג מ״מ²

דער מאָמענט פֿון דער קראַפט:

τ = פר = (40 ן) (0.1 עם) = 4 נם

די ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

די לינעאַרע אַקסעלעראַציע:

אַ = ר α = (0.1) (100) = 10 עם / s²

7. א בלאָק מיט אַ מאַסע פון ​​m הענגט פֿון אַ שנור וואָס איז אַרום אַ פּולי געוויקלט. אויב די פריי פאַלן אַקסעלעראַציע פון ​​דעם בלאָק איז am/s², וואָס איז דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער פּולי..

באַקאַנט:

וואָג = w = מג

לעווער אָרעם = R

די ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע = α

די פריי-פאַל אַקסעלעראַציע פון ​​דעם בלאָק = אַ מיליסעקונדעס^-2

געוואלט: דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער פּולי (I)

לייזונג:

די פֿאַרבינדונג צווישן דער לינעאַרער אַקסעלעראַציע און דער ווינקלדיקער אַקסעלעראַציע:

a = Rα

α = a / R

דער מאָמענט פון אינערציע:

τ = Iα

איך = τ : α = τ : אַ / ר = τ (ר / אַ) = τ ר אַ^-1

דער ווינקלדיקער מאָמענטום

8. א 0.2-גראַם פּאַרטיקל באַוועגט זיך אין אַ קרייז מיט אַ קאָנסטאַנטער גיכקייט פון 10 מעטער/סעקונדע. דער ראַדיוס פון דעם קרייז איז 3 סענטימעטער. וואָס איז דער ווינקל מאָמענטום פון דעם פּאַרטיקל?

באַקאַנט:

מאַסע פון ​​פּאַרטיקלען (מ) = 0.2 גראַם = 2 x 10^-4 kg

ווינקל־גיכקייט (ω) = 10 ראַד סעק.^-1

ראַדיוס (r) = 3 ס״מ = 3 x 10^-2 מעטער

געוואָלט: דער ווינקל מאָמענטום פון דעם פּאַרטיקל

לייזונג:

די גלייכונג פון די ווינקל מאָמענטום:

ל = איך ω

I = דער ווינקל מאָמענטום, I = דער מאָמענט פון אינערציע, ω = די ווינקל גיכקייט

דער מאָמענט פון אינערציע (פֿאַר פּאַרטיקלען):

איך = הער² = (2 X 10^-4 )(3 x 10^-2)² = (2 X 10^-4 )(9 x 10^-4) = 18 X 10^-8

דער ווינקל מאָמענטום:

ל = איך ω = (18 x 10^-8)(10 ראַד ס^-1) = 18 X 10^-7 קג עם² s^-1

1. וואָס איז ראָטאַציאָנעלע באַוועגונג?
   • ענטפערראָטאַציע באַוועגונג באַציט זיך צו דער באַוועגונג פון אַן אָביעקט אַרום אַ פעסטע אַקס. דאָס איז די סאָרט באַוועגונג אין וועלכער יעדער פּונקט פון דעם אָביעקט באַוועגט זיך אין אַ קרייז אַרום דער אַקס.
2. ווי אזוי איז לינעארע גיכקייט פארבונדן מיט ווינקל גיכקייט אין ראָטאַציע באַוועגונג?
   • ענטפערלינעאַרע גיכקייט ($v$) פון א פונקט אין א דרייענדיקן אביעקט איז גלייך פראפארציאנעל צו זיין דיסטאנץ ($r$) פון דער ראָטאַציע אַקס און די ווינקל גיכקייט ($\omega$) פון דעם אביעקט. די באַציִונג ווערט געגעבן דורך $v=r\cdot \omega$.
3. וואָס איז דער מאָמענט פון אינערציע, און ווי איז עס פֿאַרבונדן מיט ראָטאַציאָנעלער באַוועגונג?
   • ענטפערמאָמענט פון אינערציע איז דער ראָטאַציאָנעלער אַנאַלאָג פון מאַסע אין לינעאַרער באַוועגונג. עס מעסט אַן אָביעקט'ס קעגנשטעל צו ענדערונגען אין זיין ראָטאַציאָנעלן צושטאַנד. דער מאָמענט פון אינערציע איז אָפּהענגיק פון ביידע די מאַסע פון ​​אַן אָביעקט און זיין פאַרשפּרייטונג אין באַצוג צו דער ראָטאַציע אַקס.
4. ווי אזוי קען מען זיך אָנווענדן צו ניוטאָנס ערשטער געזעץ פון באַוועגונג אויף ראָטאַציאָנעלער באַוועגונג?
   • ענטפער: פּונקט ווי אַן אָביעקט אין לינעאַרער באַוועגונג בלייבט אין באַוועגונג סיידן עס ווערט באַווירקט דורך אַן עקסטערנעם קראַפט, וועט אַן אָביעקט אין ראָטאַציע באַוועגונג בלייבן אין יענעם צושטאַנד סיידן עס ווערט באַווירקט דורך אַן עקסטערנעם דריימאָמענט.
5. וואָס איז די באַדייטונג פון דעם ראַדיוס פון גיראַציע?
   • ענטפערדער ראַדיוס פון דרייונג גיט אַ מאָס פון דער פאַרשפּרייטונג פון אַן אָביעקט'ס מאַסע אַוועק פון זיין ראָטאַציע אַקס. עס באַשרײַבט אין עיקר ווי ווײַט פון דער אַקס די גאַנצע מאַסע פון ​​דעם אָביעקט וואָלט געדאַרפט זײַן קאָנצענטרירט כּדי צו האָבן דעם זעלבן מאָמענט פון טרעגקייט ווי די אָריגינעלע פאַרשפּרייטונג.
6. וואָס איז ווינקל מאָמענטום און ווי ווערט עס קאָנסערווירט?
   • ענטפערווינקל מאָמענטום איז דער ראָטאַציאָנעלער עקוויוואַלענט פון לינעאַרער מאָמענטום. עס איז דער פּראָדוקט פון אַן אָביעקט'ס מאָמענט פון אינערציע און זיין ווינקל גיכקייט. אין אַ פארמאכטן סיסטעם, בלייבט דער גאַנצער ווינקל מאָמענטום קאָנסטאַנט סיידן עס ווערט באַאיינפלוסט דורך אַן עקסטערנעם דריימאָמענט, וואָס אונטערשטרייכט די קאָנסערוואַציע פון ​​ווינקל מאָמענטום.
7. ווי אזוי באַאיינפלוסט טאָרק ראָטאַציע באַוועגונג?
   • ענטפערדריימאָמענט איז דער ראָטאַציאָנעלער עקוויוואַלענט פון קראַפט. עס פאַראורזאַכט ענדערונגען אין דער ראָטאַציאָנעלער באַוועגונג פון אַן אָביעקט. די באַציִונג ווערט געגעבן דורך ניוטאָן'ס צווייטן געזעץ פֿאַר ראָטאַציע: $\tau =I\cdot \alpha$, ווו $\tau$ איז דער טאָרק, $I$ איז דער מאָמענט פון אינערציע, און $\alpha$ איז די ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע.
8. ווי אזוי איז דער צענטער פון מאַסע אַנדערש פון דעם צענטער פון ראָטאַציע?
   • ענטפערכאָטש זיי קענען זיך צוזאַמענפֿאַלן, איז דער צענטער פֿון מאַסע דער פּונקט וואו מען קען אָננעמען אַז די גאַנצע מאַסע פֿון אַן אָביעקט איז קאָנצענטרירט פֿאַר די צוועקן פֿון חשבונות אין לינעאַרער באַוועגונג, בשעת דער צענטער פֿון ראָטאַציע איז דער פּונקט (אָדער אַקס) אַרום וועלכן אַן אָביעקט דרייט זיך.
9. וואָס איז די ראָלע פֿון דער צענטריפּעטאַלער קראַפֿט אין ראָטאַציאָנעלער באַוועגונג?
   • ענטפערצענטריפּעטאַלע קראַפט איז די נעץ קראַפט וואָס ווירקט אויף אַן אָביעקט וואָס באַוועגט זיך אין אַ קייַלעכדיקן וועג, געריכטעט צו דעם צענטער פון ראָטאַציע. עס איז פאַראַנטוואָרטלעך פֿאַר האַלטן אַן אָביעקט אין זיין קרומען וועג און פאַרהיטן עס פון באַוועגן זיך אין אַ גלייכער ליניע צוליב טרעגקייט.

10. ווי איז ראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע פֿאַרבונדן מיטן מאָמענט פֿון אינערציע און ווינקל־געשווינדיקייט?

    • ענטפערראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע איז די ענערגיע רעכט צו דער ראָטאַציע פון ​​אַן אָביעקט אַרום אַן אַקס. עס ווערט געגעבן דורך דער פאָרמולע: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², ווו $I$ איז דער מאָמענט פון אינערציע און $\omega$ איז די ווינקל-געשווינדיקייט.