פּראַדזשעקטאַל באַוועגונג

אַרטיקל וועגן דער פּראָיעקטיל באַוועגונג און בייַשפּיל פּראָבלעמען מיט לייזונגען

אָנהייב גיכקייט (v_o) און די קאָמפּאָנענטן פון אָנהייב גיכקייט (v_ox און וו_oy)

אַן אָביעקט וועמענס פּאַראַבאָלישע באַוועגונגען האָבן שטענדיק אַן אָנהייב־געשווינדיקייט. ווײַל פּאַראַבאָלישע באַוועגונג איז אַ קאָמבינאַציע פֿון באַוועגונגען אין די האָריזאָנטאַלע און ווערטיקאַלע ריכטונגען, האָט די אָנהייב־געשווינדיקייט אויך האָריזאָנטאַלע און ווערטיקאַלע קאָמפּאָנענטן.

אויב דער אביעקט באוועגט זיך פאראבאליש ווי אין פיגורן 1 און 3, דעמאלט ווערן די אנפאנגס-געשווינדיקייט אין דער האריזאנטאלער ריכטונג (v _ox ) און די אנפאנגס-געשווינדיקייט אין דער ווערטיקאלער ריכטונג (v _oy ) אויסגערעכנט מיט דער גלייכונג:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

אויב דער אביעקט באוועגט זיך פאראבאליש ווי פיגור 2 דאן v _o = v _ox (v _oy = 0)

גיכקייט (v_x און וו_y) און פּאָזיציע (x און y)

די גיכקייט אין די האָריזאָנטאַלע און ווערטיקאַלע ריכטונגען אין אַ געוויסן צייט אינטערוואַל ווערט קאַלקולירט מיט דער גלייכונג:

v _x = v _ox = קאנסטאנט ( איינהייטלעכע לינעארע באוועגונג )

v _y = v _oy + gt אדער v _y ² = v _oy ² + 2 gh (פריי-פאל באוועגונג)

די פאזיציע פון ​​אביעקטן אין די האריזאנטאלע (x) און ווערטיקאלע (y) ריכטונגען ביי א געוויסן צייט אינטערוואל ווערט אויסגערעכנט מיט דער גלייכונג:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

רעזולטאַט פון גיכקייט (v) און פּאָזיציע (h)

רעזולטירנדיקע גיכקייט ביי א באשטימטן צייט אינטערוואַל ווערט אויסגערעכנט מיט דער גלייכונג:

די ריכטונג פון אביעקטן אין א געוויסן צייט אינטערוואַל ווערט אויסגערעכנט מיט דער גלייכונג:

הערות:

1. די האָריזאָנטאַלע קאָמפּאָנענט פון פּאַראַבאָלישער באַוועגונג ווערט באַטראַכט ווי די איינהייטלעכע לינעאַרע באַוועגונג, אַזוי vox = vx איז שטענדיק קאָנסטאַנט.

2. די ווערטיקאַלע קאָמפּאָנענט פון פּאַראַבאָלישער באַוועגונג ווערט באַטראַכט ווי די פריי-פאַל באַוועגונג, אַזוי אויב דער אָביעקט באַוועגט זיך פּאַראַבאָליש, ווי פיגורן 1 און 3, איז די ווערטיקאַלע קאָמפּאָנענט פון דער גיכקייט פון דעם אָביעקט ביי מאַקסימום הייך נול (v _y = 0). אויב איר וואַרפט אַ מירמלשטיין גלייך אַרויף ביי אַ מאַקסימום הייך, רוט דער אָביעקט פֿאַר אַ מאָמענט (v _y = 0) איידער ער דרייט זיך אַראָפּ. דעריבער, די גיכקייט פון דעם אָביעקט וואָס באַוועגט דעם פּאַראַבאָלישן ביי מאַקסימום הייך = v _x = v _ox

3. אויב דער אביעקט באוועגט זיך פאראבאליש ווי געוויזן אין פיגור 2, ווערט די ווערטיקאלע קאמפאנענט פון דער פאראבאלישער באוועגונג באטראכט אלס די פריי-פאל באוועגונג. אויב דער אביעקט באוועגט זיך פאראבאליש ווי פיגורן 1 און 3, ווערט די ווערטיקאלע קאמפאנענט פון דער פאראבאלישער באוועגונג באטראכט אלס די אויפשטייגנדע ווערטיקאלע באוועגונג.

ביישפּיל פּראָבלעמען:

1. א קויל ווערט געשאָסן אין אַ האָריזאָנטאַלער ריכטונג מיט אַן אָנהייב גיכקייט פון 20 מעטער/סעק. אויב די ביקס איז 5 מעטער העכער דער ערד, באַשטימט:

(א) צייט אין לופט

(ב) די מאַקסימום הייך

(ג) די האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ

(ד) די שנעלקייט פון דער קויל ווען זי שלאָגט דעם באָדן

לייזונג:

באַוועגונג אין דער האָריזאָנטאַלער ריכטונג ווערט אַנאַליזירט ווי די איינהייטלעכע לינעאַרע באַוועגונג, בשעת באַוועגונג אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג ווערט אַנאַליזירט ווי די פריי-פאַל באַוועגונג.

באקאנט:

v _ox = 20 מ/ס, v _oy = 0 מ/ס, h = 5 מ, g = 9.8 מ/ ^ס²

א) צייט אין לופט

די לייזונג איז ווי באַשטימען דעם צייט אינטערוואַל (t) אין דער פריי-פאַל באַוועגונג.

באַקאַנט: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

געזוכט: ט

ב) די מאַקסימום הייך

מאַקסימום הייך = ה = 5 מעטער.

ג) האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ (ד)

די לייזונג איז ווי באַשטימען די דיסטאַנץ אויף דער גלייכמעסיקער לינעאַרער באַוועגונג

באַקאַנט: v _ox = 20 m/s, t = 1 סעקונדע

געזוכט: ד

ד = ווי

ד = (20 מעטער/סעקונדע)(1 סעקונדע) = 20 מעטער

ד) גיכקייט ווען די קויל שלאָגט דעם באָדן

v _tx = v _ox = 20 מעטער/סעקונדע

ווי _טיי = ?

ערשטנס, רעכענען מיר אויס די לעצטע גיכקייט אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג (vty). די לייזונג איז ווי באַשטימען די לעצטע גיכקייט פון דער פריי-פאַל באַוועגונג.

באַקאַנט: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

געזוכט: v _ty

vt ₌ v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

vt ₌ (9.8 מעטער/סעקונדע ² )(1 סעקונדע)

vt = 9.8 מעטער/ _{סעקונדע}

די שנעלקייט פון א קויל ווען עס שלאָגט דעם באָדן:

ריכטונג פון קויל:

ווייל v _tx איז אין דער ריכטונג פון דער פאזיטיווער x-אקס (רעכטס) און v _ty איז אין דער ריכטונג פון דער נעגאטיווער y-אקס (אראפ),

די ריכטונג פון דער קויל ווען זי שלאָגט דעם באָדן איז -26.1 ^גראַד צו דער פּאָזיטיווער x-אַקס (זעט בילד אונטן).

2. די קאַנאָן האָט געשאָסן אַ קויל מיט אַ 30 ^{גראַד ווינקל} צום האָריזאָנטאַל מיט אַ גיכקייט פֿון 60 מעטער/סעקונדע. באַשטימט:

(א) די מאַקסימום הייך

(ב) די גיכקייט פון דער קויל ביי דער מאקסימום הייך

(ג) צייט אין לופט

(ד) די האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ

(e) די שנעלקייט פון דער קויל ווען זי שלאָגט דעם באָדן. לאָמיר זאָגן אַז דער באָדן איז פלאַך. 🙂

לייזונג:

באַוועגונג אין דער האָריזאָנטאַלער ריכטונג ווערט אַנאַליזירט ווי די איינהייטלעכע לינעאַרע באַוועגונג, באַוועגונג אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג ווערט אַנאַליזירט ווי די אויפגייענדיקע ווערטיקאַלע באַוועגונג.

באַקאַנט: v _o = 60 מ/ס, טהעטאַ = 30 ^o.

באַזירט אויף באַקאַנטע דאַטן, רעכענען מיר ערשט אויס די ווערטיקאַלע (v _oy ) און האָריזאָנטאַלע (v _ox ) קאָמפּאָנענטן פון דער אָנהייב גיכקייט (v _o ).

א) די מאַקסימום הייך (ה)

די לייזונג איז ווי באַשטימען די מאַקסימום הייך אויף דער אויפשטייגנדיקער ווערטיקאַלער באַוועגונג.

באקאנט:

v _ox = v _o cos θ = (60)(קאָס 30) = (60)(0.87) = 52 עם/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(זינד 30) = (60)(0.5) = 30 עם/ס

א) מאַקסימום הייך (ה)

די לייזונג איז ווי באַשטימען די מאַקסימום הייך אויף דער ווערטיקאַלער אויפשטייגנדיקער באַוועגונג.

באקאנט:

v _oy = 30 m/s (דאס איז די אנפאנגס גיכקייט פון דער קויל)

v _ty = 0 מ/ס (אין דער מאקסימום הייך, די ווערטיקאַלע גיכקייט פון דער קויל = 0 מ/ס. דאס איז די לעצטע גיכקייט.)

ג = – 9.8 מעטער/סעקונדע ²

געזוכט: ה

vt² = ^v _o² + ^2gh_​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) שעה

0 = 900 – 19.6 שעה

900 = 19.6 שעה

ה = 900 / 19.6

ה = 45.9 מעטער

די מאַקסימום הייך דערגרייכט דורך דער קויל = 45.9 מעטער.

ב) די גיכקייט ביי דער מאקסימום הייך

ביי דער מאקסימום הייך, די גיכקייט אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג = 0 מעטער/סעקונדע. ביי דער מאקסימום הייך, איז דא די איינציקע גיכקייט אין דער האָריזאָנטאַלער ריכטונג. די גיכקייט אין דער האָריזאָנטאַלער ריכטונג ביי דער מאקסימום הייך איז גלייך צו דער אָנהייב גיכקייט אין דער האָריזאָנטאַלער ריכטונג, וואָס איז 52.2 מעטער/סעקונדע. די ריכטונג פון גיכקייט אין דער האָריזאָנטאַלער ריכטונג איז שטענדיק קאָנסטאַנט, דאָס הייסט, אין דער ריכטונג פון דער פּאָזיטיווער x-אַקס (אויב די באַוועגונג פון אַן אָביעקט איז באַשריבן אין דער דיאַגראַמע אויבן).

ג) צייט אין דער לופט

די לייזונג איז ווי באַשטימען דעם צייט אינטערוואַל (t) אין דער דיסקוסיע פון ​​דער ווערטיקאַלער אויפשטייגנדיקער באַוועגונג.

באקאנט:

v _oy = 30 m/s (דאס איז די אנפאנגס-געשווינדיקייט פון דער קויל אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג)

ג = – 9.8 מעטער/סעקונדע ²

ה = 0 מעטער (ווען די קויל קערט זיך צוריק צום באָדן, די פֿאַרשייבונג פֿון דער קויל אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג = 0 מעטער)

געזוכט: ט

ה = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) ט + ½ (-9.8 מעטער/סעקונדע ² ) ט ²

0 = (30) ט – 4.9 ט ²

(30) ט = 4.9 ט ²

30 = 4.9 ט

ט = 30 / 4.9

ט = 6.12 סעקונדעס

צייט אין לופט = 6.12 סעקונדעס

ד) האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ (ד)

די לייזונג איז ווי באַשטימען די דיסטאַנץ (ד) אויף דער גלייכמעסיקער לינעאַרער באַוועגונג.

באקאנט:

v _ox = 52.2 מעטער/סעקונדע

ט = 6.12 סעקונדעס

געזוכט: ד

ד = vt = (52.2 מעטער/סעקונדע)(6.12 סעקונדעס) = 319.5 מעטער

ה) גיכקייט ווען די קויל שלאָגט דעם באָדן

v _tx = v _ox = 52.2 מעטער/סעקונדע

ווי _טיי = ?

ערשטנס, רעכענען מיר אויס די לעצטע גיכקייט אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג (v _ty ). די לייזונג איז צו באַשטימען די לעצטע גיכקייט אויף דער ווערטיקאַלער אויפשטייגנדיקער באַוועגונג.

געוואונטשט: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 סעקונדעס

געזוכט: v _ty

ווי _טיי = ווי _אוי + גאט

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

וויפיל _טיי = (30) – (60)

v _ty = -30 מעטער/סעקונדע

א נעגאטיוו סימן ווייזט אז די ריכטונג פון דער לעצטער גיכקייט איז אראפ. באמערקט אז די אנפאנגס-גיכקייט אין דער ווערטיקאלער ריכטונג איז גלייך צו דער לעצטער גיכקייט אין דער ווערטיקאלער ריכטונג.

די שנעלקייט פון דער קויל ווען זי שלאָגט דעם באָדן:

די ריכטונג פון דער קויל:

זינט v _tx איז אין דער ריכטונג פון דער פאזיטיווער x-אקס (רעכטס) און vty איז אין דער ריכטונג פון דער נעגאטיווער y-אקס (אראפ),

די ריכטונג פון דער קויל'ס גיכקייט ווען זי שלאָגט דעם באָדן איז -30 ^גראַד אַרום דער פּאָזיטיווער x-אַקס (זעט בילד אונטן).

3. א באַל ווערט געוואָרפן פֿון דעם ראַנד פֿון אַ 50 מעטער הויכן בנין מיט אַן אָנהייב־געשווינדיקייט פֿון 10 מעטער/סעק. אויב דער באַל ווערט געוואָרפן ביי 30° אַרום דעם האָריזאָנטאַלן, באַשטימט:

(א) די צייט אינטערוואַל ווען די פּילקע דערגרייכט דעם באָדן

(ב) די שנעלקייט פון דעם באַל ווען עס שלאָגט דעם באָדן

(ג) די האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ וואָס דער באַל קען דערגרייכן ווערט געמאָסטן פֿון דעם ברעג פֿון דעם בנין

(ד) די מאַקסימום הייך וואָס דער באַל דערגרייכט

לייזונג:

ערשטנס, רעכענען מיר אויס די ווערטיקאַלע קאָמפּאָנענט (v _oy ) און די האָריזאָנטאַלע קאָמפּאָנענט (v _ox ) פון דער אָנהייב־געשווינדיקייט (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 מעטער/סעקונדע)(0.87) = 8.7 מעטער/סעקונדע

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 מעטער/סעקונדע)(0.5) = 5 מעטער/סעקונדע

א) די צייט אינטערוואַל ווען די פּילקע דערגרייכט דעם באָדן

די לייזונג איז ווי באַשטימען דעם צייט אינטערוואַל (t) אין אַ ווערטיקאַלער אויפשטייגנדיקער באַוועגונג. די מאַגניטוד פון דעם וועקטאָר וועמענס ריכטונג איז אויפשטייגנדיק ווערט אויסגעקליבן צו זיין פּאָזיטיוו, די מאַגניטוד פון דעם וועקטאָר וועמענס ריכטונג איז אַראָפּשטייגנדיק ווערט אויסגעקליבן צו זיין נעגאַטיוו. די באַל פּאָזיציע וואו עס ווערט געוואָרפן ווערט אויסגעקליבן ווי אַ רעפערענץ פונקט. h איז נעגאַטיוו ווייל די ערד ייבערפלאַך איז אונטער דעם רעפערענץ פונקט, g איז נעגאַטיוו ווייל די ריכטונג פון אַקסעלעראַציע פון ​​גראַוויטאַציע איז אַראָפּשטייגנדיק.

באקאנט:

v _oy = 5 מעטער/סעקונדע, h = – 5 מעטער, g = – 9.8 מעטער/סעקונדע ²

געזוכט: ט

ה = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 ט + ½ (-9.8) ט ²

-5 = 5 ט – 4.9 ט ²

-4.9 ט ² + 5 ט + 5 = 0

ניצט די קוואַדראַטישע פאָרמולע:

צייט אין לופט = צייט אינטערוואַל זינט דער באַל איז געוואָרפן געוואָרן ביז ער האָט דערגרייכט דעם באָדן = 1.64 סעקונדעס.

ב) גיכקייט פון דעם באַל ווען עס שלאָגט די ייבערפלאַך פון דער ערד

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 מעטער/סעקונדע

ווי _טיי = ?

ערשטנס, רעכענען מיר אויס די לעצטע גיכקייט אין דער ווערטיקאַלער ריכטונג (v _ty ). די לייזונג איז ווי באַשטימען די לעצטע גיכקייט אויף דער ווערטיקאַלער אויפשטייגנדיקער באַוועגונג.

באַקאַנט: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 סעקונדעס

געזוכט: v _ty

ווי _טיי = ווי _אוי + גאט

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 מעטער/סעקונדע

דאָס נעגאַטיווע סימן ווײַזט אָן אַז די ריכטונג פֿון דער לעצטער גיכקייט איז אַראָפּ.

די שנעלקייט פון דער קויל ווען זי שלאָגט דעם באָדן:

די ריכטונג פון דער קויל'ס שנעלקייט = די ריכטונג פון דער קויל'ס באוועגונג ווען זי שלאָגט דעם באָדן:

די שנעלקייט פון דער קויל ווען זי שלאָגט דעם באָדן:

ווייל vtx איז אין דער ריכטונג פון דער פאזיטיווער x-אקס (רעכטס) און vty איז אין דער ריכטונג פון דער נעגאטיווער y-אקס (אראפ),

די ריכטונג פון דער קויל ווען זי שלאָגט דעם באָדן איז -52o אַרום דער פּאָזיטיווער x-אַקס (זעט בילד אונטן).

ג) די האָריזאָנטאַלע דיסטאַנץ וואָס דער באַל קען דערגרייכן ווערט געמאָסטן פֿון דעם ברעג פֿון דעם בנין.

די לייזונג איז ווי באַשטימען די דיסטאַנץ וואָס איז געפאָרן (ד) אויף דער גלייכמעסיקער לינעאַרער באַוועגונג.

באַקאַנט: t = 1.64 סעקונדעס, v _x = 8.7 מ/ס

געזוכט: ד

ד = וואט = (8.7 מעטער/סעקונדע)(1.64 סעקונדעס) = 14.3 מעטער

ד) די מאַקסימום הייך וואָס דער באַל דערגרייכט

באַקאַנט: v _oy = 5 מ/ס, v _ty = 0 מ/ס ( ווערטיקאַלער קאָמפּאָנענט פון דער גיכקייט ביי דער מאַקסימום הייך = 0 מ/ס), g = -9.8 מ/ ^ס².

געזוכט: ה

ווי _טיי ² = ווי _אוי ² + 2 ג

0 מעטער/סעקונדע = (5 מעטער/סעקונדע) ^² + 2(-9.8 מעטער/סעקונדע² ⁾ (שעה)

0 מעטער/סעקונדע = 25 (מעטער/סעקונדע) ^² + (-19.6 מעטער/סעקונדע² ⁾ (שעה)

25 (מ/ס) ^² = -19.6 מ/ס² (שעה)

ה = 25 (מ/ס) ^² : -19.6 מ/ס² ⁼ 1.3 מעטער

די מאַקסימום הייך וואָס דער באַל דערגרייכט = 1.3 מעטער איבערן שפּיץ פֿונעם בנין = 1.3 מעטער + 50 מעטער = 51.3 מעטער איבער דער ייבערפֿלאַך פֿונעם באָדן.