מאָמענט פון אינערציע פֿאַר פּאַרטיקלען – פּראָבלעמען און לייזונגען

מאָמענט פון אינערציע פֿאַר פּאַרטיקלען – פּראָבלעמען און לייזונגען

1. צוויי באַלן פארבונדן דורך אַ שטאַנג, ווי געוויזן אין דער בילד אונטן. איגנאָרירט די מאַסע פון ​​דער שטאַנג . מאַסע פון ​​באַל P איז 600 גראַם און מאַסע פון ​​באַל Q איז 400 גראַם. וואָס איז דער מאָמענט פון טרעגקייט פון דער סיסטעם אַרום AB?

באַקאַנט:

די ראָטאַציע אַקס איז AB.

m _p = 600 גראַם = 0.6 ק"ג, m _q = 400 גראַם = 0.4 ק"ג

רפּ = 20 ס״מ = 0.2 מעטער, _רק = 50 ס״מ = 0.5 _מעטער

געוואָלט: דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער סיסטעם

לייזונג:

איך = m _p r _p ² + m _q r _q ²

איך = (0.6 ק"ג)(0.2 מ) ^² + (0.4 ק"ג)(0.5 מ) ^²

איך = (0.6 ק"ג)(0.04 מ² ⁾ + (0.4 ק"ג)(0.25 ^מ² )

איך = 0.024 ק״ג ^מ² + 0.1 ק״ג ^מ²

איך = 0.124 ק״ג ^מ²

2. די שטאַנג פון AB מיט אַ מאַסע פון ​​2 ק"ג האָט זיך געדרייט אַרום פּונקט A, דער מאָמענט פון טרעגקייט פון דער שטאַנג איז 8 ק"ג מ²אויב ראָטירט אַרום פּונקט O (AO = OB), וואָס איז דער מאָמענט פון טרעגקייט פון דער שטאַנג?

באַקאַנט:

מאַסע פון ​​שטאַנג AB (מ) = 2 ק"ג

אויב מען דרייט עס אַרום פּונקט A אַזוי אַז דער ראַדיוס פון ראָטאַציע (r) = לענג פון AB = r, דאַן איז דער מאָמענט פון אינערציע (I) = 8 ק"ג/מ²

געוואלט: אויב מען דרייט עס אַרום פּונקט O אַזוי אַז דער ראַדיוס פון ראָטאַציע (r) = לענג פון AO = לענג פון OB = 1/2 r, וואָס איז דעמאָלט דער מאָמענט פון טרעגקייט פון דער שטאַנג?

לייזונג:

איך = הער ²

8 ק״ג ^מ² = (2 ק״ג) ^ר²

8 מ² ⁼ (2) ^ר²

ר² = 8 ^{מ² /} 2

ר² = ^{4 מ²}

ר = 2 מעטער

אויב ראָטירט אַרום פּונקט O אַזוי ½ r = 1 מעטער, דעמאָלט דער מאָמענט פון אינערציע:

איך = מר² ⁼ (2 ק״ג)(1 מ²) ^² = (2 ק״ג)(1 מ² ⁾ = 2 ק״ג ^מ²

3. צוויי באַלן פארבונדן דורך אַ שטאַנג ווי געוויזן אין דער בילד אונטן. איגנאָרירט די מאַסע פון ​​דער שטאַנג. וואָס איז דער מאָמענט פון טרעגקייט פון דער סיסטעם.

באַקאַנט:

מאַסע פון ​​באַל A (מ_A) = 200 גראַם = 0.2 ק״ג

מאַסע פֿון באַל B (מ² _B ) = 400 גראַם = 0.4 ק״ג

דיסטאַנץ צווישן באַל A און די ראָטאַציע אַקס (r_A) = 0

דיסטאַנץ צווישן באַל ב און דער ראָטאַציע אַקס (r_B) = 25 ס״מ = 0.25 מעטער

געוואָלט: מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער סיסטעם

לייזונג:

דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​באַל A:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​באַל B:

איך _ב = (מ _ב )(ר _ב ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 ק"ג מ ²

דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער סיסטעם:

איך = איך_A + איך_B = 0 + 0.025 = 0.025 ק״ג מ״מ² = 25 רענטגענ 10^-3 קג עם²

4. פיר טיילכלעך מיט פארשידענע מאסן, געוויזן אין דער פיגור אונטן. באשטימט דעם מאמענט פון אינערציע פון ​​דער סיסטעם ארום דער האריזאנטאלער ליניע P.

באַשייד

די ראָטאַציע אַקס איז די האָריזאָנטאַלע ליניע פּ.

באַקאַנט:

מאַסע פון ​​פּאַרטיקל A (m_A) = מ

מאַסע פון ​​פּאַרטיקל B (m_B) = 2 מיליאָן

מאַסע פון ​​פּאַרטיקל C (m_C) = 3 מיליאָן

דורכגאַנג פון פּאַרטיקל ד (מ_D) = 4 מיליאָן

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל A און די ראָטאַציע אַקס (r_A) = ב

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל ב און די ראָטאַציע אַקס (r_B) = ב

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל C און די ראָטאַציע אַקס (r_C) = 2ב

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל ד און די ראָטאַציע אַקס (r_D) = 2ב

געוואָלט: דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דער סיסטעם אַרום דער האָריזאָנטאַלער ליניע P

לייזונג:

איך = מ_A r_A² + עם_B r_B² + עם_C r_C² + עם_D r_D²

איך = (עם) (ב) ^{קסנומקס} + (קסנומקסם) (ב) ^{קסנומקס} + (קסנומקסם) (קסנומקסב) ^{קסנומקס} + (קסנומקסם) (קסנומקסב) ^{קסנומקס}

איך = מב² + 2 מב² + (3 חדשים)(4 חדשים²) + (4מ)(4ב²)

איך = מב ² + 2 מב ² + 12 מב ² + 16 מב ²

איך = 31 ^מב²

5. פיר טיילכלעך פארבונדן דורך א שטאנג. איגנארירט די מאסע פון ​​דער שטאנג. באשטימט דעם מאמענט פון אינערציע ארום דער ראָטאַציע אַקס דורך טיילכל m₁ און עם₂, ווי געוויזן אין פיגור אונטן.

באקאנט

מאַסע פון ​​פּאַרטיקל 1 (מ²₁) = 1/4 ק"ג

מאַסע פון ​​פּאַרטיקל 2 (מ²₂) = 1/2 ק"ג

מאַסע פון ​​פּאַרטיקל 3 (מ²₃) = 1/4 ק"ג

מאַסע פון ​​פּאַרטיקל 4 (מ²₄) = 1/4 ק"ג

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל 1 און די ראָטאַציע אַקס (r₁) = 0

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל 2 און די ראָטאַציע אַקס (r₂) = 0

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל 3 און די ראָטאַציע אַקס (r₃) = 10 ס״מ = 10/100 מעטער = 1/10 מעטער

דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקל 4 און די ראָטאַציע אַקס (r₄) = 10 ס״מ = 10/100 מעטער = 1/10 מעטער

געוואָלט: דער מאָמענט פון אינערציע

לייזונג:

איך = מ₁ r₁² + עם₂ r₂² + עם₃ r₃² + עם₄ r₄²

איך = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

איך = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

איך = 1/400 + 1/400

איך = 2/400

איך = 1/200 ^ק״ג.מ²

1. וואָס איז דער מאָמענט פון אינערציע פֿאַר אַ פּאַרטיקל?
   • ענטפערפֿאַר אַן איינציקן טיילכל מיט אַ מאַסע $m$ אין אַ ווייַטקייט $r$ פֿון אַן אַקס פֿון ראָטאַציע, איר מאָמענט פֿון אינערציע $I$ איז געגעבן דורך I=m×r².
2. פארוואס ווערט דער מאָמענט פון אינערציע אָפט גערופן דער "ראָטאַציאָנעלער אַנאַלאָג" פון מאַסע?
   • ענטפערפּונקט ווי מאַסע איז אַ מאָס פֿון אַן אָביעקט'ס קעגנשטעל צו ענדערונגען אין זײַן טראַנסלאַציאָנעלער באַוועגונג (צוליב ניוטאָן'ס צווייטן געזעץ), איז דער מאָמענט פֿון אינערציע אַ מאָס פֿון אַן אָביעקט'ס קעגנשטעל צו ענדערונגען אין זײַן ראָטאַציאָנעלער באַוועגונג.
3. ווי אזוי ווירקט ענדערן די דיסטאַנץ פון אַ פּאַרטיקל פון זיין ראָטאַציע אַקס אויף זיין מאָמענט פון אינערציע?
   • ענטפערדער מאָמענט פון אינערציע איז פּראָפּאָרציאָנעל צום קוואַדראַט פון דער דיסטאַנץ פון דער ראָטאַציע אַקס. אויב איר פאַרדאָפּלט די דיסטאַנץ, וועט דער מאָמענט פון אינערציע זיך פאַרגרעסערן מיט אַ פאַקטאָר פון פיר.
4. פארוואס איז דער קוואדראט פון דער דיסטאַנץ (r²) גענוצט אין דער פֿאָרמולע פֿאַר דעם מאָמענט פֿון אינערציע אַנשטאָט נאָר די דיסטאַנץ?
   • ענטפערדער קוואדראט פון דער דיסטאַנץ ווערט גענוצט צוליב דעם וועג ווי קינעטישע ענערגיע אין ראָטאַציע אַרבעט. אין ראָטאַציאָנעלער באַוועגונג, ביישטייערט יעדער טיילכל פון אַן אָביעקט צו דער ראָטאַציאָנעלער קינעטיקער ענערגיע באַזירט אויף ביידע זיין מאַסע און זיין דיסטאַנץ פון דער אַקס אין קוואַדראַט.
5. ווי אזוי ענדערט זיך דער מאָמענט פון טרעגקייט פון אַ פּאַרטיקל אויב איר מאַסע ווערט טריפּאַלד בשעת די דיסטאַנץ פון דער אַקס בלייבט קאָנסטאַנט?
   • ענטפעראויב די מאַסע ווערט טריפּאַלד און די דיסטאַנץ ווערט געהאַלטן קאָנסטאַנט, וועט דער מאָמענט פון אינערציע זיך אויך טריפּאַלד ווייל עס איז גלייך פּראָפּאָרציאָנעל צו דער מאַסע.
6. קען אַ פּאַרטיקל האָבן אַ מאָמענט פון אינערציע פון ​​נול? אויב יאָ, אונטער וועלכע באַדינגונג?
   • ענטפעריא, א טיילכל וועט האבן א מאמענט פון אינערציע פון ​​נול אויב עס געפינט זיך גלייך אויף דער ראָטאַציע אַקס, מאכנדיג זיין דיסטאַנץ $r$ פֿון דער אַקס גלייך צו נול.
7. פארוואס האבן פארשידענע אביעקטן מיט דער זעלבער מאסע און גרייס פארשידענע מאמענטן פון אינערציע ווען זיי דרייען זיך ארום פארשידענע אקסן?
   • ענטפערדי פאַרשפּרייטונג פון מאַסע אַרום דער ראָטאַציע אַקס באַשטימט דעם מאָמענט פון אינערציע. אפילו אויב צוויי אָביעקטן האָבן די זעלבע מאַסע און גרייס, קענען זייערע מאַסע פאַרשפּרייטונגען אין באַצוג צו דער ראָטאַציע אַקס זיין אַנדערש, וואָס פירט צו פאַרשידענע מאָמענטן פון אינערציע.
8. איז דער מאָמענט פון אינערציע אַ סקאַלאַר אָדער וועקטאָר קוואַנטיטעט?
   • ענטפערמאָמענט פון אינערציע איז אַ סקאַלאַרע קוואַנטיטעט. אָבער, פֿאַר שטייפע קערפּערס מיט קאָמפּלעקסע פֿאָרמען און קייפל ראָטאַציע אַקסן, ווערט עס רעפּרעזענטירט דורך אַ טענזאָר.
9. אויב צוויי פּאַרטיקלען, יעדער מיט מאַסע $m$, זענען פלאצירט אין ווייטע שטחים r_1​ און r₂​ פֿון דער ראָטאַציע אַקס, וואָס איז דער קאָמבינירטער מאָמענט פֿון אינערציע?
   • ענטפערדער מאָמענט פון אינערציע איז אַדיטיווע פֿאַר באַזונדערע פּאַרטיקלען. אַזוי, דער קאָמבינירטער מאָמענט פון אינערציע I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. ווי אזוי איז דער מאָמענט פון אינערציע פֿאַרבונדן מיט דער קאָנסערוואַציע פֿון ווינקלדיקן מאָמענטום?

    • ענטפערווינקל מאָמענטום $L$ איז דער פּראָדוקט פֿון מאָמענט פֿון אינערציע $I$ און ווינקל-געשווינדיקייט $\omega$, רעפּרעזענטירט דורך דער גלייכונג $L=I\times \omega$אויב קיין עקסטערנע דריימאָמענטן ווירקן נישט אויף אַ סיסטעם, וועט דער ווינקל מאָמענטום בלייבן קאָנסטאַנט. דאָס מיינט אַז אויב דער מאָמענט פון אינערציע ענדערט זיך (ווי ביי אַ פיגור סקייטער וואָס ציט אריין די הענט), מוז די ווינקל גיכקייט זיך צופּאַסן צו האַלטן דעם פּראָדוקט קאָנסטאַנט.