שרייבן די דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע

שרייבן די דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע

הקדמה

אין מאטעמאטיק, ספעציעל קאלקולוס, איז די דעריוואטיוו א פונדאמענטאלער קאנצעפט וואס שפילט א קריטישע ראלע אין א ברייטע רייע פון ​​אנווענדונגען. דעריוואטיוון ווערן גענוצט נישט נאר אין טעארעטישע מאטעמאטיק, נאר אויך אין וויסנשאפט, אינזשעניריע, עקאנאמיק, און פילע אנדערע דיסציפלינען. דער ארטיקל וועט דיסקוטירן די דעריוואטיוו פון א פונקציע אין דעטאל, באהאנדלנדיג אירע גרונטלעכע יסודות, וויכטיגע רעגולאציעס, און אנווענדונג ביישפילן.

גרונטלעכע באַגריפֿן פֿון דעריוואַטיוון

דעפֿיניציע פֿון דעריוואַטיוון

די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע באַשרײַבט די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון דער פֿונקציע אין באַצוג צו איר אומאָפּהענגיקער וואַריאַבלע. אינטואיטיוו קען מען דעפֿינירן די דעריוואַטיוו ווי די שיפּוע פֿון דער טאַנגענט ליניע וואָס באַרירט דעם גראַף פֿון דער פֿונקציע אין אַ געוויסן פּונקט.

אויב y = f(x)), דעמאָלט ווערט די ערשטע דעריוואַטיווע פון ​​f אין באַצוג צו x באַצייכנט מיט f'(x) אדער dy(dx). די פֿאָרמאַלע דעפֿיניציע פֿון דער דעריוואַטיווע ווערט געגעבן דורך דעם פֿאָלגנדיקן לימיט:

[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]

דעריוואַטיוו נאָטאַציע

עס זענען דא עטלעכע נאטאציעס וואס ווערן גענוצט אין שרייבן דעריוואטיוון:

1. לייבניץ'ס נאטאציע: \( \frac{dy}{dx} \)
2. לאַגראַנזש נאָטאַציע: \( f'(x) \)
3. ניוטאָנס נאָטאַציע: \( y' \)
4. איילער נאטאציע: \( Df(x) \)

יעדע נאָטאַציע האט ספּעציפֿישע ניצט און קאָנטעקסטן אין וועלכע זיי ווערן מער אָפט גענוצט.

גרונטלעכע כּללים אין דיפערענציאַציע

צוגאב און סובטראַקציע כּללים

אויב \(f(x) \) און \(g(x) \) זענען צוויי דיפערענציאַבלע פונקציעס, דעמאָלט:

\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]

מולטיפּליקאַציע כּללים

פֿאַר צוויי פֿונקציעס \( u(x) \) און \( v(x) \):

[\frac{d}{dx} [u(x) ⋅ v(x)] = u'(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x)]

דיוויזיע רעגולאציעס

אויב \(u(x) \) און \(v(x) \) זענען צוויי פונקציעס, און \(v(x) \neq 0 \):

[\frac{d}{dx} \left[\frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]

קייטן הערשן

פֿאַר דער צוזאַמענשטעלונג פֿון צוויי פֿונקציעס \(f(u) \) און \(u(g) \):

[\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) ⋅ g'(x)]

ביישפילן פון אַפּליקאַציע

דעריוואַטיוון פון פּאָלינאָם פונקציעס

לאָמיר זאָגן אַז (f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1). כּדי צו געפֿינען די דעריוואַטיוו פֿון דער פֿונקציע, נוצן מיר די גרונט־רעגולאַציעס פֿון דיפֿערענציאַציע.

[f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1)]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]

דעריוואַטיוון פון עקספּאָנענציעלע און לאָגאַריטמישע פונקציעס

אויב \(f(x) = e^x \), דעמאָלט איז די דעריוואַטיוו פֿון דער עקספּאָנענציעלער פֿונקציע:

\[ f'(x) = e^x \]

פֿאַר דער נאַטירלעכער לאָגאַריטם פֿונקציע \( f(x) = \ln(x) \):

[f'(x) = \frac{1}{x} \]

דעריוואַטיוון פון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס

פֿאַר גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פֿונקציעס:

– אויב \(f(x) = \sin(x) \), דעמאָלט \(f'(x) = \cos(x) \)
– אויב \(f(x) = \cos(x) \), דעמאָלט \(f'(x) = -\sin(x) \)
– אויב \(f(x) = \tan(x) \), דעמאָלט \(f'(x) = \sec^2(x) \)

דעריוואַט פון קאָמפּאָזיט פונקציע

לאָמיר זאָגן אַז (f(x) = sin(2x)). מיר קענען אָנווענדן די קייטן-רעגולאַציע:

[f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]

אַוואַנסירטע דעריוואַטיוון

צווייטע און נאכפאלגנדע דעריוואטיוון

די צווייטע דעריוואַטיוו איז די דעריוואַטיוו פון דער ערשטער דעריוואַטיוו פונקציע. אויב \(y = f(x) \) דעמאָלט ווערט די צווייטע דעריוואַטיוו באַצייכנט מיט \(f”(x) \) אדער \( \frac{d^2y}{dx^2} \). און אַזוי ווייטער פֿאַר דער דריטער דעריוואַטיוו \(f”'(x) \) אדער \( \frac{d^3y}{dx^3} \).

לאָמיר זאָגן אַז (f(x) = x^4):

\[ f'(x) = 4x^3 \]
[f(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
[f"'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
[f""(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]

אַפּליקאַציעס פון דעריוואַטיוון אין פיזיק

אין פיזיק, ווערן דעריוואַטיוון אָפט גענוצט צו באַשטימען גיכקייט און אַקסעלעראַציע. לאָמיר זאָגן אַז s(t) איז אַ פונקציע פון ​​פּאָזיציע אין באַצוג צו צייט t. גיכקייט v(t) איז די ערשטע דעריוואַטיוו פון פּאָזיציע:

\[ v(t) = s'(t) \]

אַקסעלעראַציע \(a(t) \) איז די ערשטע דעריוואַטיווע פון ​​גיכקייט אדער די צווייטע דעריוואַטיווע פון ​​פּאָזיציע:

\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]

קעסימפּולאַן

די דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין קאַלקולוס מיט ברייטע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער. די אינטואיטיווע פֿאַרשטאַנד פֿון דער דעריוואַטיוו ווי דער שיפּוע פֿון אַ טאַנגענט ליניע גיט וויכטיקע איינבליקן אין די אייגנשאַפֿטן און נאַטור פֿון אַ פונקציע. פֿאַרשטיין און קענען אַפּליקירן כּללים פֿון דיפֿערענציאַציע ווי די קייט-רעגולאַציע, די פּראָדוקט-רעגולאַציע און די טייל-רעגולאַציע איז וויכטיק פֿאַר ווער עס יז וואָס שטודירט קאַלקולוס. דורך פּשוטע ביישפּילן און אַפּליקאַציעס אין פֿיזיק, האָפֿט דער אַרטיקל צו צושטעלן אַ קאָמפּרעהענסיוו פֿאַרשטאַנד פֿון שרייבן די דעריוואַטיוו פֿון אַ פונקציע.