וועקטאָר סובטראַקציע

וועקטאָר סובטראַקציע: באַסיקס, געזעצן און אַפּליקאַציעס

וועקטאָר סובטראַקציע איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק, פיזיק און אינזשעניריע. אין וואָכעדיקן לעבן טרעפן מיר אָפט סיטואַציעס וואו מיר דאַרפן סובטראַקירן צוויי אָדער מער וועקטאָרן, למשל ביים אויסרעכענען ווינט ריכטונג אָדער די באַוועגונג פון אָביעקטן. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן וועקטאָר רעדוקציע אין טיפקייט, אַרייַנגערעכנט איר דעפיניציע, גרונטפּרינציפּן, געזעצן און אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער.

וועקטאָר דעפֿיניציע

א וועקטאָר איז אַ קוואַנטיטעט וואָס האט ביידע גרייס (אָדער לענג) און ריכטונג. ביישפילן פון וועקטאָרן זענען גיכקייט, אַקסעלעראַציע, קראַפט און עלעקטריש פעלד. וועקטאָרן ווערן געוויינטלעך רעפּרעזענטירט ווי פייַלן אויף דיאַגראַמען, וואו די לענג פון דעם פייַל ווייזט די גרייס און די ריכטונג פון דעם פייַל ווייזט די ריכטונג פון דער קוואַנטיטעט.

מאטעמאטיש, ווערן וועקטאָרן אין צוויי דימענסיעס אָפט געשריבן אין דער פֿאָרעם \( \mathbf{a} = (a_1, a_2) \) אדער אין דער אַלגעמיינער פֿאָרעם \( \mathbf{a} = ai + bj \), וואו \( i \) און \( j \) זענען איינהייט־וועקטאָרן אין די x- און y-ריכטונגען.

וועקטאָר סובטראַקציע: גרונטלעכע קאָנצעפּטן

וועקטאָר סובטראַקציע איז אין עיקר די אָפּעראַציע פון ​​צולייגן נעגאַטיווע וועקטאָרן. אויב מיר האָבן צוויי וועקטאָרן \( \mathbf{a} \) און \( \mathbf{b} \), דאַן איז די סובטראַקציע \( \mathbf{a} – \mathbf{b} \) די זעלבע ווי \( \mathbf{a} + (- \mathbf{b} \). דער נעגאַטיווער וועקטאָר פון וועקטאָר \( \mathbf{b} \) איז אַ וועקטאָר וואָס האט די זעלבע מאַגניטוד אָבער פאַרקערטע ריכטונג.

מאטעמאטיש, אויב \( \mathbf{a} = (a_1, a_2) \) און \( \mathbf{b} = (b_1, b_2) \), דעמאָלט:

[\mathbf{a} – \mathbf{b} = (a_1, a_2) – (b_1, b_2) = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)\]

בייַשפּיל פון וועקטאָר סובטראַקציע אין צוויי דימענסיעס

לאָמיר זאָגן מיר האָבן צוויי וועקטאָרן אין צוויי דימענסיעס, \( \mathbf{a} = (4, 3) \) און \( \mathbf{b} = (1, 2) \). די סובטראַקציע פון ​​די צוויי וועקטאָרן איז:

[\mathbf{a} – \mathbf{b} = (4 – 1, 3 – 2) = (3, 1)\]

וועקטאָר סובטראַקציע אין דריי דימענסיעס

דער באַגריף פֿון וועקטאָר סובטראַקציע אין דריי דימענסיעס איז ענלעך צו דעם אין צוויי דימענסיעס. אויב \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) און \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \), דאַן:

[\mathbf{a} – \mathbf{b} = (a_1, a_2, a_3) – (b_1, b_2, b_3) = (a_1 – b_1, a_2 – b_2, a_3 – b_3)\]

למשל, אויב \( \mathbf{a} = (5, 7, 2) \) און \( \mathbf{b} = (2, 3, 4) \), דעמאָלט איז די סובטראַקציע:

[\mathbf{a} – \mathbf{b} = (5 – 2, 7 – 3, 2 – 4) = (3, 4, -2)\]

געזעץ פון וועקטאָר סובטראַקציע

עטלעכע גרונטלעכע געזעצן גילטן פאר וועקטאָר סובטראַקציע, ענלעך צו די פאר וועקטאָר אַדיציע. דאָ זענען די הויפּט געזעצן:

1. קאָמוטאַטיוו: וועקטאָר סובטראַקציע איז נישט קאָמוטאַטיוו, דאָס הייסט:

\[ \mathbf{אַ} – \mathbf{ב} \נעק \mathbf{ב} – \mathbf{אַ} \]

למשל, אויב \( \mathbf{a} = (4,3) \) און \( \mathbf{b} = (1,2) \):

[\mathbf{a} – \mathbf{b} = (4-1, 3-2) = (3,1)\]

דערווייל:

[b – a = (1-4, 2-3) = (-3, -1)]

2. אסאסיאטייוו: וועקטאָר סובטראַקציע אין קאָמבינאַציע מיט אַדיציע איז אסאסיאטייוו, נעמליך:

[\mathbf{a} – (\mathbf{b} – \mathbf{c}) = (\mathbf{a} – \mathbf{b}) + \mathbf{c}]

וועקטאָר סובטראַקציע אַפּליקאַציעס

וועקטאָר סובטראַקציע ווערט ברייט גענוצט אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע און אינזשעניריע פֿעלדער. דאָ זענען עטלעכע ביישפּילן:

1. פיזיק

אין פיזיק, ווערט וועקטאָר סובטראַקציע גענוצט צו באַשטימען די רעזולטאַט קראַפט, מאָמענט, דיספּלייסמאַנט, רעלאַטיווע גיכקייט, און מער. למשל, אויב צוויי כוחות ווירקן אויף אַן אָביעקט, קען די נעץ קראַפט ווערן אויסגערעכנט מיט וועקטאָר סובטראַקציע. לאָמיר זאָגן אַז צוויי כוחות \( \mathbf{F_1} \) און \( \mathbf{F_2} \) ווירקן אויף אַן אָביעקט אין פאַרקערטע ריכטונגען; די נעץ קראַפט \( \mathbf{F} \) ווערט אויסגערעכנט ווי:

[\mathbf{F} = \mathbf{F_1} – \mathbf{F_2} \]

2. אינזשעניריע און טעכנאָלאָגיע

אין ציווילער אינזשעניריע, קען מען ניצן וועקטאָר סובטראַקציע צו אנאליזירן כוחות וואָס ווירקן אויף סטרוקטורן, ווי בריקן אדער געביידעס. למשל, אינזשענירן קענען ניצן וועקטאָר סובטראַקציע צו באַשטימען די קראַפט וואָס ווירקט אין אַ ספּעציפֿישן פּונקט אין אַ סטרוקטור צוליב אַן אָנגעווענדטער לאַסט.

3. נאַוויגאַציע און לופטפארט

אין לופט און ים נאַוויגאַציע, איז וועקטאָר סובטראַקציע עסענציעל פֿאַר נאַוויגירן רוטעס פֿון איין פּונקט צום אַנדערן, ספּעציעל ווען עס זענען ווינט שטערונגען אָדער אָקעאַן שטראָמען. למשל, אויב אַן עראָפּלאַן פֿליט מיט אַ געוויסער גיכקייט קעגן דעם ווינט, ווערט וועקטאָר סובטראַקציע גענוצט צו באַשטימען די עראָפּלאַן'ס אמתע גיכקייט און ריכטונג.

4. ראָבאָטיק און קאָנטראָל סיסטעמען

אין ראָבאָטיק, ווערט וועקטאָר סובטראַקציע גענוצט פֿאַר וועג פּלאַנירונג און שטערונג אויסמיידונג. ראָבאָטן דאַרפֿן גענוי רעכענען זייער פּאָזיציע אין באַצוג צו זייער סביבה.

ביישפילן פון אַפּליקאַציע פון ​​וועקטאָר סובטראַקציע

לאָמיר זאָגן אַז אַ שיף באַוועגט זיך מיט אַ גיכקייט \( \mathbf{v_ship} \) און איז געריכטעט קעגן אַ וואַסער־שטראָם וואָס באַוועגט זיך מיט אַ גיכקייט \( \mathbf{v_current} \). כּדי צו באַשטימען די גאַנצע גיכקייט פֿון שיף אין באַצוג צו דער ערד, קענען מיר נוצן וועקטאָר־סוטראַקציע:

\[ \mathbf{v_total} = \mathbf{v_ships} – \mathbf{v_current} \]

אַננעמען אַז (v_kapal) = (10, 15) קילאָמעטער/שעה און (v_arus) = (2, 3) קילאָמעטער/שעה, דאַן:

\[ \mathbf{v_total} = (10 – 2, 15 – 3) = (8, 12) \] קילאמעטער/ה.

קעסימפּולאַן

וועקטאָר סובטראַקציע איז אַ פונדאַמענטאַלע אָפּעראַציע מיט וויכטיקע אַפּליקאַציעס אין אַ ברייט פאַרשיידנקייט פון פעלדער. אַ גוט פארשטאנד פון אירע פונדאַמענטאַלע פּרינציפּן און אַפּליקאַציעס דערמעגלעכט אונדז צו סאָלווען קאָמפּלעקסע פּראָבלעמען אין פיזיק, אינזשעניריע און אַנדערע פעלדער. דורך פארשטיין די פונדאַמענטאַלע קאָנצעפּטן, געזעצן און אַפּליקאַציעס פון וועקטאָר סובטראַקציע, קענען מיר גרינגער דורכפירן די אַנאַליז און קאַלקולאַציעס וואָס זענען פארלאנגט אין אַ פאַרשיידנקייט פון פּראָפעסיאָנעלע און וויסנשאַפטלעכע סיטואַציעס.