אָפּעראַציעס אויף קאָמפּלעקסע נומערן.

אָפּעראַציעס אויף קאָמפּלעקסע נומערן

קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ מאַטעמאַטישער באַגריף וואָס קאָמבינירט רעאַלע און אימאַגינערע נומערן. זיי זענען יסודותדיק פֿאַר פילע צווייגן פון וויסנשאַפֿט, אַרייַנגערעכנט פיזיק, אינזשעניריע און מאַטעמאַטיק אַליין. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר אויספאָרשן די פֿאַרשידענע אָפּעראַציעס וואָס קענען דורכגעפֿירט ווערן אויף קאָמפּלעקסע נומערן, אַרייַנגערעכנט אַדיציע, סובטראַקציע, מאַלטיפּליקאַציע, דיוויזיע און מער.

פֿאַרשטיין קאָמפּלעקסע נומערן

יעדע קאָמפּלעקסע נומער קען געשריבן ווערן אין דער פֿאָרעם \(a+bi\), וואו \(a\) און \(b\) זענען רעאַלע נומערן און \(i\) איז אַן אימאַגינערע איינהייט וואָס באַפֿרידיקט \(i^2 = -1\). דער טערמין \(a\) ווערט גערופֿן דער רעאַלער טייל, בשעת \(b\) איז דער אימאַגינערע טייל פֿון דער קאָמפּלעקסער נומער. למשל, \(3 + 4i\) איז אַ קאָמפּלעקסע נומער מיט אַ רעאַלן טייל 3 און אַן אימאַגינערע טייל 4.

אלס א גרונטלעכע גלייכונג, האבן מיר:
\[ i^2 = -1 \]
וואָס מיינט אַז \(i\) איז די קוואַדראַט וואָרצל פון -1.

צוגאב און סובטראַקציע

אַדיציע און סובטראַקציע פון ​​קאָמפּלעקסע נומערן ווערן געטאָן דורך אַדיציע און סובטראַקציע פון ​​די רעאַלע און אימאַגינערע טיילן בהתאמה. לאָמיר זאָגן מיר האָבן צוויי קאָמפּלעקסע נומערן \(z_1 = a + bi \) און \(z_2 = c + di \), דעמאָלט:
\[ ז_1 + ז_2 = (אַ + ביי) + (C + די) = (אַ + C) + (ב + ד) איך \]
\[ ז_1 - ז_2 = (אַ + ביי) - (C + די) = (אַ - C) + (ב - ד) איך \]

קאָנטעקסט:
לאָמיר זאָגן אַז (z₁ = 3 + 4i) און (z₂ = 1 + 2i), דעמאָלט:
\[ ז_1 + ז_2 = (3+1) + (4+2)י = 4 + 6י \]
\[ ז_1 – ז_2 = (3-1) + (4-2)י = 2 + 2י \]

מולטיפּליקאַציע

מאַלטיפּליקאַציע פון ​​קאָמפּלעקסע נומערן ניצט דיסטריביוטיוון ווי אין אַלגעברע אָבער נעמט אין חשבון λλικη = -1. אַננעמען λλικη = a + bi און λλικη = c + di), דעמאָלט:
\[ ז_1 \ קדאָט ז_2 = (אַ + ביי) (C + די) = אַ + אַדי + בסי + בדי ^ 2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]

קאָנטעקסט:
לאָמיר זאָגן אַז (z₁ = 3 + 4i) און (z₂ = 1 + 2i), דעמאָלט:
\[ ז_1 \קדאָט ז_2 = (3 + 4י) (1 + 2י) \]
\[ = 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2i + 4i ⋅ 1 + 4i ⋅ 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]

פאַרשפּרייטונג

די דיוויזיע פון ​​קאמפלעקסע נומערן ווערט געטאן דורך טאפלען דעם ציילער און נענער מיטן קאניוגאט פונעם נענער. דער קאניוגאט פונעם קאמפלעקסן נומער (z = a + bi) איז (overline{z} = a – bi).

אַננעמען אַז (z_1 = a + bi) און (z_2 = c + di), דעמאָלט:
\[ \frac{ז_1}{ז_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
געמערט מיטן קאָניוגאַט פֿונעם נענער:
\[ = \frac{(אַ + ביי)(C - די)}{(C + די)(C - די)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]

קאָנטעקסט:
לאָמיר זאָגן אַז (z₁ = 3 + 4i) און (z₂ = 1 + 2i), דעמאָלט:
קאָניוגאַט (z_2 = 1 – 2i).
\[ \frac{ז_1}{ז_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 - 2י)}{(1 + 2i)(1 - 2י)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
עס איז באַקאַנט אַז \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]

מאָדולוס און אַרגומענטן

דער מאָדולוס פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער איז די דיסטאַנץ פֿון דעם אָנהייב אין דער קאָמפּלעקסער פֿלאַך ביזן פּונקט רעפּרעזענטירט דורך דער קאָמפּלעקסער נומער. דער מאָדולוס פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער \(z = a + bi \) ווערט אויסגעדריקט ווי \( |z| \) און ווערט אויסגערעכנט דורך:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

קאָנטעקסט:
אויב (z = 3 + 4i), דעמאָלט:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

דער אַרגומענט פֿון אַ קאָמפּלעקסער נומער איז דער ווינקל וואָס די קאָמפּלעקסע נומער פֿאָרמירט מיט דער רעאַלער אַקס אין דער קאָמפּלעקסער פלאַך און ווערט געוויינטלעך אויסגעדריקט אין ראַדיאַנען אָדער גראַדן.

פּאָליאַר פאָרעם

קאָמפּלעקסע נומערן קענען אויך אויסגעדריקט ווערן אין פּאָלאַרער פֿאָרעם. די פֿאָרעם פֿאַרפּשוטערט אָפֿט קאַלקולאַציעס וואָס האָבן צו טאָן מיט פּאָטענצן און וואָרצלען פֿון קאָמפּלעקסע נומערן. אַ קאָמפּלעקסע נומער קען אויסגעדריקט ווערן ווי:
[ז = r(קאָס θ + i סינוס θ)]
וואו r איז דער מאָדולוס און heta איז דער אַרגומענט פֿון דער קאָמפּלעקסער צאָל.

אַנדערע קאָמפּלעקסע אָפּעראַטאָרן: עקספּאָנענציעל און לאָגאַריטמיש

קאָנווערטירן קאָמפּלעקסע נומערן צו עקספּאָנענציעלע פאָרעם קען מען טאָן מיט אוילער'ס פאָרמולע:
\[ z = re^{i\theta} \]
וואו θ איז די באַזע פֿון דעם נאַטירלעכן לאָגאַריטם, און θ איז דער אַרגומענט פֿון θ.

עקספּאָנענטיאַציע פון ​​קאָמפּלעקסע נומערן איז זייער נוצלעך אין פילע אָפּעראַציעס, ספּעציעל אין פוריע אַנאַליז און לאַפּלאַס טראַנספאָרמאַציעס.

קעסימפּולאַן

קאָמפּלעקסע נומערן זענען אַ יסודותדיק געצייַג וואָס איז גאָר נוצלעך אין סאָלווען אַ ברייט פאַרשיידנקייט פון פּראָבלעמען אין מאַטעמאַטיק און וויסנשאַפֿט. באַהערשן גרונטלעכע אָפּעראַציעס ווי אַדיציע, סובטראַקציע, טאפליקאַציע און דיוויזיע איז אַ וויכטיקער ערשטער שריט. דערצו, פֿאַרשטיין די קאָנצעפּטן פון מאָדולוס, אַרגומענט און קאָנווערסיע צו פּאָלאַרע און עקספּאָנענציעלע פֿאָרמען פֿאַרבעסערט אונדזער פיייקייט צו ויספאָרשן די אַפּליקאַציעס פון קאָמפּלעקסע נומערן אין אַ ברייט פאַרשיידנקייט פון פֿעלדער.

דורך פֿאַרשטיין און אָנווענדן קאָמפּלעקסע נומערן, קענען מיר סאָלווען פּראָבלעמען וואָס זענען שווער אָדער אפילו אוממעגלעך צו סאָלווען מיט רעאַלע נומערן אַליין. ווי אַ שטאַרקער אַנאַליטישער געצייַג, בלייבן קאָמפּלעקסע נומערן אַן אינטעגראַלער טייל פון מאַטעמאַטיק און וויסנשאַפטלעכע אַפּליקאַציעס ביזן היינטיקן טאָג.