ערוואַרטעטע ווערט פון בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
די בינאמיאלע פארטיילונג איז איינע פון די מערסט באגעגנטע דיסקרעטע ווארשיינליכקייט פארטיילונגען אין סטאטיסטיק און ווארשיינליכקייט. די פארטיילונג באשרייבט די צאל פון הצלחות אין א סעריע פון אומאפהענגיקע בינאריע פארזוכן (פארזוכן מיט נאר צוויי רעזולטאטן: הצלחה אדער דורכפאל). כדי בעסער צו פארשטיין די בינאמיאלע פארטיילונג, איז וויכטיג צו פארשטיין דעם קאנצעפט פון ערווארטעטער ווערט, וואס באשרייבט דעם דורכשניטלעכן ווערט פון א סעריע פון איבערגעחזרטע פארזוכן איבערן לאנגן טערמין. דער ארטיקל וועט איבערקוקן דעם קאנצעפט פון ערווארטעטער ווערט אין דעם קאנטעקסט פון דער בינאמיאלער פארטיילונג.
דעפֿיניציע פֿון בינאָמיאַלער פֿאַרשפּרייטונג
די בינאמיאלע פארטיילונג ענטשטייט אין קאנטעקסטן וואו מיר פירן אויס א צאל אידענטישע און אומאפהענגיקע פארזוכן, און יעדער פארזוך האט צוויי איינע פון די צוויי זייטן אויסשליסנדיקע רעזולטאטן, געווענליך באצייכנט אלס "ערפאלג" און "דורכפאל." למשל, ווארפן א מטבע (קאפ אדער שוואנץ), ענטפערן אויף אן עקזאמען פראגע (אמת אדער פאלש), אדער א מעדיצינישע פארזוך (געהיילט אדער נישט געהיילט).
די בינאמיאלע פארטיילונג ווערט דעפינירט דורך צוויי פאראמעטערס:
– n, צאָל פון פּראָבעס.
– p, די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אויף יעדן פּרוּוו.
גראָב גערעדט, אויב X איז אַ צופֿעליקע וועריאַבל וואָס רעפּרעזענטירט די צאָל סוקסעסן אין n פּראָבעס, דאַן פֿאָלגט X אַ בינאָמיאַל פֿאַרטיילונג מיט פּאַראַמעטערס n און p, באַצייכנט ווי X ~ בינאָמיאַל(n, p).
וואַרשיינלעכקייט פונקציע
די וואַרשיינלעכקייט פונקציע פון דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז ווי פאלגט:
\[ פּ(קס = ק) = \בינאָם{n}{ק} פּ^ק (1-פּ)^{נק} \]
די מאנא:
– \( \binom{n}{k} \) איז דער בינאָמיאַלער קאָעפֿיציענט, וואָס ווערט קאַלקולירט ווי \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k \) איז די געוואונטשענע צאָל פון סוקסעסן.
– \(n \) איז די צאָל פּראָבעס.
– \(p \) איז די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אויף יעדן פּרוּוו.
– \( (1-p) \) איז די ווארשיינליכקייט פון דורכפאל אין יעדן פארזוך.
ערוואַרטע ווערט
דער ערוואַרטעטער ווערט אדער דורכשניט פון אַ וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונג איז איינע פון די וויכטיקסטע מאָסן פון צענטראַלע לאָקאַציע. פֿאַר דער בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג, איז דער ערוואַרטעטער ווערט פון אַ צופֿעליקער וועריאַבל X וואָס קומט נאָך Binomial(n, p):
\[ E(X) = np \]
באַווייַז פון ערוואַרטעט ווערט
כדי צו פֿאַרשטיין פֿאַרוואָס דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון דער בינאָמיאַל פֿאַרטיילונג איז np, קענען מיר נוצן די לינעאַריטעט אייגנשאַפֿט פֿון דעם ערוואַרטעטן ווערט און זען ווי די בינאַרישע וועריאַבלען לייגן זיך צו צו זייער בייַשטייַער.
לאָמיר דעפינירן \(X \) ווי די צאָל סוקסעסן אין n בינאַרע פּראָבעס. מער ספּעציפֿיש, לאָמיר \(X_i \) זיין אַ צופֿעליקע וועריאַבל וואָס באַצייכנט דעם רעזולטאַט פֿון דעם i-טן פּראָבע, מיט \(X_i = 1 \) אויב דער i-טער פּראָבע איז אַ סוקסעס, און \(X_i = 0 \) אויב עס איז אַ דורכפֿאַל. דערנאָך קענען מיר שרײַבן \(X \) ווי:
[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
זינט יעדע \(X_i \) איז א בינארישע וועריאַבל מיט א ווארשיינליכקייט פון סוקסעס p, איז דער ערווארטעטער ווערט פון \(X_i \):
[E(X_i) = 1 ⋅p + 0 ⋅(1-p) = p]
מיר קענען ניצן די לינעאַריטעט אייגנשאַפט פון ערוואַרטעטן ווערט פֿאַר דעם ערוואַרטעטן ווערט פון X:
[E(X) = E(X_1 + X_2 + ∫ + X_n)]
[E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ∫ + E(X_n)]
[E(X) = p + p + ∫+ p]
\[ E(X) = np \]
דאָס ווײַזט אַז דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון דער בינאָמיאַלער פֿאַרטיילונג איז np.
אילוסטראַטיוו בייַשפּיל
באַטראַכט דעם פאַל וואו מיר וואַרפן אַ גערעכטע מטבע 10 מאָל. לאָמיר פרעגן וואָס דער ערוואַרטעטער ווערט פון דער צאָל וואַרפן וואָס רעזולטירן אין קאָפּ וואָלט זיין.
אין דעם פאַל:
– n = 10 (צאָל פון מטבעות וואַרפן)
– p = 0.5 (ווארשיינלעכקייט צו באקומען קאפ, ווייל די מטבע איז גערעכט)
אַזוי, דער ערוואַרטעטער ווערט איז:
[E(X) = np = 10 × 0.5 = 5]
דאָס מיינט אַז אויב מיר וואַרפן אַ מטבע 10 מאָל איבער און איבער איבער אַ לאַנגער טערמין, וועלן מיר אין דורכשניט באַקומען קאָפּ 5 מאָל.
וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע
אין צוגאב צו דעם ערווארטעטן ווערט, איז עס אויך וויכטיג צו פארשטיין די וועריאנץ און סטאנדארט דעוויאציע פון דער בינאמיאלער פארטיילונג.
פֿאַר דער בינאָמיאַלער פֿאַרטיילונג, זענען די וואַריאַנס \( \sigma^2 \) און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע \( \sigma \) ווי פֿאָלגט:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
וואַריאַנס מעסט ווי ווייט די דאַטן זענען פארשפרייט פון דעם ערוואַרטעטן ווערט. די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז די קוואַדראַט וואָרצל פון דער וואַריאַנס און מעסט אויך די פארשפרייטונג פון די דאַטן, אָבער אין די זעלבע איינהייטן ווי די אָריגינעלע דאַטן.
קעסימפּולאַן
די בינאמיאלע פארטיילונג איז א יסודות'דיגער קאנצעפט אין סטאטיסטיק און ווארשיינליכקייט, וואס מען טרעפט אָפט אין פארשידענע רעאל-וועלט אנווענדונגען, פון ביזנעס ביז סאציאלע וויסנשאפטן און ביאלאגיע. דער ערווארטעטער ווערט פון דער בינאמיאלער פארטיילונג, אויסגערעכנט אלס np, גיט וויכטיגע איינבליקן אין דער דורכשניטלעכער צאל סוקסעסן אין א סעריע פון בינאריע פארזוכן. דורך פארשטיין די קאנצעפטן פון ערווארטעטער ווערט, וואריאנץ, און סטאנדארט דעוויאציע, קענען מיר באקומען א קלארערע פארשטענדעניש פון די אייגנשאפטן פון דער בינאמיאלער פארטיילונג און ווי זי באשרייבט געוויסע פענאמענען אין טעגליכן לעבן.
די וויסן איז גאָר נוצלעך ניט נאָר אין דאַטן אַנאַליז און סטאַטיסטיק, נאָר אויך אין באַשלוס-מאכן וואָס פארלאנגט עוואַלואַציע פון וואַרשיינלעכקייט און אַנסערטאַנטי. פֿאַרשטיין די ערוואַרטעטע ווערט און די בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג קען אונדז העלפֿן מאַכן מער גענויע פאָרויסזאָגן און מאַכן מער אינפאָרמירטע באַשלוסן.
